Оскільки оцінки є випадковими змінними, їх значення лише за випадковим збігом можуть в точності дорівнювати характеристикам генеральної сукупності. Зазвичай буде присутній певна помилка, яка може бути великий чи малої, позитивною або негативною, в залежності від чисто випадкових складових величин у вибірці.
Хоча це і неминуче, на інтуїтивному рівні бажано, проте, щоб оцінка в середньому за досить тривалий період була акуратною. Висловлюючись формально, ми хотіли б, щоб математичне сподівання оцінки дорівнювало б відповідної характеристиці генеральної сукупності. Якщо це так, то оцінка називається несмещенной. Якщо це не так, то оцінка називається зміщеною, І різниця між її математичним очікуванням і відповідної теоретичної характеристикою генеральної сукупності називається зміщенням.
Почнемо з вибіркового середнього. Чи є воно несмещенной оцінкою теоретичного середнього? чи рівні и ? Так, це так, що безпосередньо випливає з (A.18).
величина включає дві складові - и . значення дорівнює середній чисто випадкових складових величин у вибірці, і, оскільки математичне очікування такої складової в кожному спостереженні дорівнює нулю, математичне очікування дорівнює нулю. отже,
. (A.19)
Проте отримана оцінка - не єдино можлива несмещенная оцінка . Припустимо для простоти, що у нас є вибірка всього з двох спостережень - и . Будь-яке зважене середнє спостережень и було б несмещенной оцінкою, якщо сума ваг дорівнює одиниці. Щоб показати це, припустимо, що ми побудували узагальнену формулу оцінки:
. (A.20)
Математичне очікування одно:
. (A.21)
якщо сума и дорівнює одиниці, то ми маємо и є несмещенной оцінкою .
Таким чином, в принципі число незміщене оцінок нескінченно. Як вибрати одну з них? Чому насправді ми завжди використовуємо вибіркове середнє з ? Можливо, ви вважаєте, що було б несправедливим давати різним спостереженнями різні ваги або що подібної асиметрії слід уникати в принципі. Ми, однак, не дбаємо тут про справедливість або про симетрії як такої. Далі ми побачимо, що є і більш відчутна причина.
До сих пір ми розглядали тільки оцінки теоретичного середнього. Вище стверджувалося, що величина , Що визначається відповідно до табл. А.6, є оцінкою теоретичної дисперсії . Можна показати, що математичне очікування одно , І ця величина є несмещенной оцінкою теоретичної дисперсії, якщо спостереження у вибірці незалежні один від одного. Доказ цього математично нескладно, але занадто багато роботи, і тому ми його опускаємо.
Моделювання сезонних коливань | Автокорреляция в залишках. Критерій Дарбіна-Уотсона | Дискретна випадкова змінна | Математичне сподівання дискретної випадкової величини | Математичні очікування функцій дискретних випадкових змінних | Правила розрахунку математичного очікування | Теоретична дисперсія випадкової змінної | Імовірність в безперервному випадку | Постійна і випадкова складові випадкової змінної | Способи оцінювання і оцінки |