загрузка...
загрузка...
На головну

Імовірність в безперервному випадку

  1. Hайти межі функцій, користуючись правилом Лопіталя (для випадків, коли воно є).
  2. Алергічні реакції на раніше проводилися щеплення. Рішення про вакцинацію в цьому випадку приймає лікар, і проводиться вона в умовах алергологічного стаціонару.
  3. Базова ймовірність попадання
  4. Буріння (в разі необхідності) структурних свердловин
  5. У більшості випадків естрадному драматургу слід домагатися, щоб тема програми, її склад давали можливість органічного, смислового з'єднання двох відділень.
  6. В які інстанції слід звертатися в разі порушення прав і свобод, гарантованих Європейським Союзом?
  7. В якому випадку антиконкурентну угоду може бути визнано правомірним?

З дискретними випадковими змінними дуже легко звертатися, оскільки вони за визначенням приймають значення з деякого кінцевого набору. Кожне з цих значень пов'язано з певною ймовірністю, що характеризує його «вага». Якщо ці «ваги» відомі, то не важко розрахувати теоретичне середнє (Математичне очікування) і дисперсію.

Ви можете уявити зазначені «ваги» як певні кількості «пластичної маси», рівні можливостям відповідних значень. Сума ймовірностей і, отже, сумарний «вага» цієї «маси» дорівнює одиниці. Це показано на рис. A.1 для прикладу, де величина є сума очок, що випали при киданні двох гральних кісток. величина  приймає значення від 2 до 12, і для всіх цих значень показано кількість відповідної «маси».

Мал. A.1.

На жаль, аналіз часто проводиться для безперервних випадкових величин, які можуть приймати нескінченне число значень. Оскільки неможливо уявити собі «пластичну масу», розділену на нескінченне число частин, використовуємо далі інший підхід.

Проілюструємо наші міркування на прикладі температури в кімнаті. Для визначеності припустимо, що вона змінюється в межах від 55 до 75 ° за Фаренгейтом, і спочатку припустимо, що всі значення в цьому діапазоні різновірогідні.

Оскільки число різних значень, прийнятих показником температури, нескінченно, тут безглуздо намагатися розділити «пластичну масу» на малі частини. Замість цього можна «розмазати» її по всьому діапазону. Оскільки всі температури від 55 до 75 ° F різновірогідні, вона повинна бути «розмазана» рівномірно, як це показано на рис. A.2.

Мал. A.2.

У цьому прикладі, як і у всіх інших, ми будемо вважати, що «пластична маса розмазана» на одиничної площі. Це пов'язано з тим, що сукупна ймовірність завжди дорівнює одиниці. В даному випадку наша «маса» покрила прямокутник, і оскільки підстава цього прямокутника дорівнює 20, його висота  визначається зі співвідношення:

 , (A.10)

так як твір підстави і висоти дорівнює площі. Отже, висота дорівнює 0,05, як це показано на малюнку.

Знайшовши висоту прямокутника, ми можемо відповісти на запитання на кшталт: з якою ймовірністю температура буде перебувати в діапазоні від 65 до 70 ° F? Відповідь визначається величиною «замазати» площі (або, кажучи більш формально, сукупної ймовірністю), Що лежить в діапазоні від 65 до 70 ° F, представленої заштрихованої фігурою на рис. A.3. Підстава заштрихованого прямокутника дорівнює 5, його висота дорівнює 0,05 і, відповідно, площа - 0,25. Шукана ймовірність дорівнює 1/4, що в будь-якому випадку очевидно, оскільки проміжок від 65 до 70 ° F становить 1/4 всього діапазону.

Мал. A.3.

Висота заштрихованої площі становить те, що формально називається щільністю ймовірності в цій точці, і якщо ця висота може бути записана як функція значень випадкової змінної, то ця функція називається функцією щільності ймовірності. У нашому прикладі вона записується як  , де  - Температура, і

 . (A.11)

Як перше наближення функція щільності ймовірності показує ймовірність знаходження випадкової змінної всередині одиничного інтервалу навколо даної точки. У нашому прикладі ця функція всюди дорівнює 0,05, звідки випливає, що температура знаходиться, наприклад, між 60 і 61 ° F з ймовірністю 0,05.

У нашому випадку графік функції щільності ймовірності горизонтален, і її зазначена інтерпретація точна, проте в загальному випадку ця функція безперервно змінюється, і її інтерпретація дає лише наближення. Далі ми розглянемо приклад, коли ця функція непостійна, оскільки не всі температури різновірогідні. Припустимо, що центральне опалення працює таким чином, що температура ніколи не падає нижче 65 ° F, а в жаркі дні температура перевищує цей рівень, не перевищуючи, як і раніше, 75 ° F. Ми будемо вважати, що щільність ймовірності максимальна при температурі 65 ° F і далі вона рівномірно убуває до нуля при 75 ° F (рис. A.4).

Мал. A.4.

Загальна «забруднена» площа, як завжди, дорівнює одиниці, оскільки сукупна ймовірність дорівнює одиниці. Площа трикутника дорівнює половині твори підстави на висоту, тому отримуємо:

 , (A.12)

і висота при 65 ° F дорівнює 0,20.

Припустимо знову, що ми хочемо знати ймовірність знаходження температури в проміжку між 65 і 70 ° F. Вона представлена ??заштріхованной площею на рис. A.5, і якщо ви трохи пам'ятаєте геометрію, то зможете перевірити, що вона дорівнює 0,75. Якщо ви віддаєте перевагу процентне вимірювання, то це означає, що з ймовірністю 75% температура потрапить в діапазон 65-70 ° F і тільки з імовірністю 25% - в діапазон 70-75 ° F.

Мал. A.5.

В даному випадку функція щільності ймовірності записується як  , де

 . (A.13)

Перш ніж продовжити виклад, згадаємо про хорошу і погану новинах. «Погана новина» - це те, що якщо ви хочете розрахувати ймовірності для більш складних функцій з криволінійними графіками, то елементарна геометрія стає непридатною. Взагалі кажучи, ви повинні скористатися інтегральним обчисленням або спеціальними таблицями (якщо останні існують). Інтегральне числення використовується також і при визначенні математичного очікування і дисперсії неперервної випадкової величини.

«Хороша новина» - в тому, що спеціальні таблиці існують для всіх функцій, які будуть цікавити нас на практиці. Крім того, математичне очікування і дисперсія мають практично таке ж значення для безперервних випадкових величин, що і для дискретних, для них вірні ті ж самі правила.



Попередня   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34   35   Наступна

Методи оцінки параметрів структурної форми моделі | тимчасові ряди | Автокорреляция рівнів часового ряду | Моделювання тенденції часового ряду | Моделювання сезонних коливань | Автокорреляция в залишках. Критерій Дарбіна-Уотсона | Дискретна випадкова змінна | Математичне сподівання дискретної випадкової величини | Математичні очікування функцій дискретних випадкових змінних | Правила розрахунку математичного очікування |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати