загрузка...
загрузка...
На головну

Узагальнений метод найменших квадратів (ОМНК)

  1. Case-метод Баркера
  2. I. 2. 1. Марксистсько-ленінська філософія - методологічна основа наукової психології
  3. I. 2.4. Принципи та методи дослідження сучасної психології
  4. I. Методичні рекомендації
  5. I. Методичні рекомендації
  6. I. Методичні рекомендації
  7. I. Методичні рекомендації

При порушенні гомоскедастичність і наявності автокореляції помилок рекомендується традиційний метод найменших квадратів (відомий в англійській термінології як метод OLS - Ordinary Least Squares) замінювати узагальненим методом, Тобто методом GLS (Generalized Least Squares).

Узагальнений метод найменших квадратів застосовується до перетвореним даними і дозволяє отримувати оцінки, які володіють не тільки властивістю незсуненості, але і мають менші вибіркові дисперсії. Зупинимося на використанні ОМНК для коригування гетероскедастичності.

Як і раніше, будемо припускати, що середнє значення залишкових величин дорівнює нулю. А ось дисперсія їх не залишається незмінною для різних значень фактора, а пропорційна величині  , Тобто

,

де  - Дисперсія помилки при конкретному  -м значенні фактора;  - Постійна дисперсія помилки при дотриманні передумови про гомоскедастичність залишків;  - Коефіцієнт пропорційності, який змінюється зі зміною величини фактора, що й обумовлює неоднорідність дисперсії.

При цьому передбачається, що  невідома, а в відношенні величин  висуваються певні гіпотези, що характеризують структуру гетероскедастичності.

У загальному вигляді для рівняння  при  модель набуде вигляду:  . У ній залишкові величини гетероскедастичними. Припускаючи в них відсутність автокореляції, можна перейти до рівняння з гомоскедастичність залишками, поділивши всі змінні, зафіксовані в ході  -го спостереження, на  . Тоді дисперсія залишків буде величиною постійною, т. Е. .

Іншими словами, від регресії  по  ми перейдемо до регресії на нових змінних: и  . Рівняння регресії набуде вигляду:

,

а вихідні дані для даного рівняння матимуть вигляд:

, .

По відношенню до звичайної регресії рівняння з новими, перетвореними змінними є зважену регресію, в якій змінні и  взяті з вагами .

Оцінка параметрів нового рівняння з перетвореними змінними призводить до зваженого методу найменших квадратів, для якого необхідно мінімізувати суму квадратів відхилень виду

.

Відповідно отримаємо наступну систему нормальних рівнянь:

Якщо перетворені змінні и  взяти в відхиленнях від середніх рівнів, то коефіцієнт регресії  можна визначити як

.

При звичайному застосуванні методу найменших квадратів до рівняння лінійної регресії для змінних в відхиленнях від середніх рівнів коефіцієнт регресії  визначається за формулою:

.

Як бачимо, при використанні узагальненого МНК з метою коригування гетероскедастичності коефіцієнт регресії  являє собою зважену величину по відношенню до звичайного МНК з вагою .

Аналогічний підхід можливий не тільки для рівняння парної, але і для множинної регресії. Припустимо, що розглядається модель виду

,

для якої дисперсія залишкових величин виявилася пропорційна .  є коефіцієнт пропорційності, який приймає різні значення для відповідних  значень факторів и  . З огляду на те що

,

розглянута модель набуде вигляду

,

де помилки гетероскедастичними.

Для того щоб отримати рівняння, де залишки  гомоскедастичність, перейдемо до нових перетвореним змінним, розділивши всі члени вихідного рівняння на коефіцієнт пропорційності  . Рівняння з перетвореними змінними складе

.

Це рівняння не містить вільного члена. Разом з тим, знайшовши змінні в новому перетвореному вигляді і застосовуючи звичайний МНК до них, отримаємо іншу специфікацію моделі:

.

Параметри такої моделі залежать від концепції, прийнятої для коефіцієнта пропорційності  . В економетричних дослідженнях досить часто висувається гіпотеза, що залишки  пропорційні значенням фактора. Так, якщо в рівнянні

припустити, що  , Тобто и  , То узагальнений МНК передбачає оцінку параметрів наступного трансформованого рівняння:

.

Застосування в цьому випадку узагальненого МНК приводить до того, що спостереження з меншими значеннями перетворених змінних  мають при визначенні параметрів регресії щодо більшу вагу, ніж з початковими змінними. Разом з тим, слід мати на увазі, що нові перетворені змінні отримують нове економічний зміст і їх регресія має інший зміст, ніж регресія за вихідними даними.

Приклад. нехай  - витрати виробництва,  - Обсяг продукції,  - Основні виробничі фонди,  - Чисельність працівників, тоді рівняння

є моделлю витрат виробництва з об'ємними факторами. Припускаючи, що  пропорційна квадрату чисельності працівників  , Ми отримаємо в якості результативної ознаки витрати на одного працівника  , А в якості факторів наступні показники: продуктивність праці  і фондоозброєність праці  . Відповідно трансформована модель набуде вигляду

,

де параметри , ,  чисельно не збігаються з аналогічними параметрами попередньої моделі. Крім цього, коефіцієнти регресії змінюють економічний зміст: з показників сили зв'язку, що характеризують середнє абсолютне зміна витрат виробництва зі зміною абсолютної величини відповідного фактора на одиницю, вони фіксують при узагальненому МНК середня зміна витрат на працівника; зі зміною продуктивності праці на одиницю при незмінному рівні фовдовооруженності праці; і зі зміною фондоозброєності праці на одиницю при незмінному рівні продуктивності праці.

Якщо припустити, що в моделі з початковими змінними дисперсія залишків пропорційна квадрату об'єму продукції,  , Можна перейти до рівняння регресії виду

.

У ньому нові змінні:  - Витрати на одиницю (або на 1 руб. Продукції),  - Фондомісткість продукції,  - Трудомісткість продукції.

Гіпотеза про пропорційність залишків величиною фактора може мати реальне підґрунтя: при обробці недостатньо однорідної сукупності, що включає як великі, так і дрібні підприємства, великим об'ємним значенням фактора може відповідати велика дисперсія результативної ознаки і велика дисперсія залишкових величин.

При наявності однієї пояснює змінної гіпотеза  трансформує лінійне рівняння

в рівняння

,

в якому параметри и  помінялися місцями, константа стала коефіцієнтом нахилу лінії регресії, а коефіцієнт регресії - вільним членом.

Приклад. Розглядаючи залежність заощаджень  від доходу  , За попередніми даними було отримано рівняння регресії

.

Застосовуючи узагальнений МНК до даної моделі в припущенні, що помилки пропорційні доходу, було отримано рівняння для перетворених даних:

.

Коефіцієнт регресії першого рівняння порівнюють з вільним членом другого рівняння, тобто 0,1178 і 0,1026 - оцінки параметра  Залежно заощаджень від доходу.

Перехід до відносних величин істотно знижує варіацію фактора і відповідно зменшує дисперсію помилки. Він являє собою найбільш простий випадок обліку гетероскедастичності в регресійних моделях за допомогою узагальненого МНК. Процес переходу до відносних величин може бути ускладнений висуненням інших гіпотез про пропорційність помилок щодо включених в модель факторів. Використання тієї чи іншої гіпотези передбачає спеціальні дослідження залишкових величин для відповідних регресійних моделей. Застосування узагальненого МНК дозволяє отримати оцінки параметрів моделі, що володіють меншою дисперсією.



Попередня   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   Наступна

економетрики | Парна регресія і кореляція | Лінійна модель парної регресії і кореляції | Нелінійні моделі парної регресії і кореляції | Множинна регресія і кореляція | Рівняння множинної регресії | Властивості оцінок на основі МНК | І показники якості регресії | Системи економетричних рівнянь | Структурна і приведена форми моделі |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати