загрузка...
загрузка...
На головну

Методи математичного моделювання

  1. I. 2.4. Принципи та методи дослідження сучасної психології
  2. I. Методи перехоплення.
  3. I. Суб'єктивні методи дослідження ендокринної системи.
  4. I. Суб'єктивні методи дослідження кровотворної системи.
  5. I. Суб'єктивні методи дослідження органів жовчовиділення і підшлункової залози.
  6. I. Суб'єктивні методи дослідження органів сечовиділення.
  7. II. Методи несанкціонованого доступу.
 < 21.1. Математична модель системи (об'єкта)  21.3. Технологія математичного ... >

Методи моделювання, які вирішують задачу ідентифікації математичної моделі, можна класифікувати на чотири основні групи: аналітичні, чисельні, імітаційні, ймовірносно-статистичні [4], [9], [10], [14], [15], [16], [ 17].

Історично першими були розроблені аналітичні методи моделювання, і склався аналітичний підхід до дослідження систем.

Аналітичні методи моделювання. Аналітичні методи дозволяють отримати характеристики системи як деякі функції параметрів її функціонування. Таким чином, аналітична модель являє собою систему рівнянь, при вирішенні якої отримують параметри, необхідні для оцінки системи (час відповіді, пропускну здатність і т.д.).

Приклад 1. Модель, що описує шлях S (t), Пройдений автомобілем при рівноприскореному русі з моменту початку руху:

S (t) = ?0t + at2, (21.4)

де ?0, a - Початкова швидкість і прискорення.

Для того щоб обчислити значення S (t) в заданий момент часу t досить підставити конкретні значення ?0 и a в рівняння (4.4) і виконати аналітичний розрахунок S (t).

Приклад 2. Процес малих коливань маятника описується звичайним диференціальним рівнянням:

 , (21.5)

де m, l - Маса і довжина підвісу маятника;

g - прискорення вільного падіння;

? (t) - Кут відхилення маятника в момент часу t.

З цього рівняння вільного коливання маятника можна знайти точні значення цікавлять характеристик за допомогою аналітичних методів рішення диференціальних рівнянь.

Приклад 3. Невелике підприємство може випускати продукцію двох типів, при-бувальщина від реалізації одиниці продукції першого типу складає 600 у.о., другого типу - 500 у.о. Для виготовлення одиниці продукції першого типу необхідно затратити 10 одиниць матеріалу, трудові ресурси - 5 чол. / Год .; другого типу - 7 одиниць матеріалу, трудові ресурси - 4 чол. / год. Загальні ресурси підприємства на планований період: 1000 одиниць матеріалу, 800 чол. / Год. Визначити оптимальний план випуску продукції, який максимізує прибуток підприємства.

Дане завдання відноситься до класу оптимізаційних (завдання цілочисельного лінійного програмування). Математична модель задачі має вигляд:

 (21.6.)

де x1, x2 - Кількість одиниць продукції відповідно першого і другого типів.

Вирішується це завдання аналітично за допомогою симплекс-методу. В результаті рішення задачі точно визначаються оптимальні значення x1, x2 і прибуток підприємства z.

Переваги аналітичних методів: висока точність обчислень.

Недоліки аналітичних методів:

· Розроблені тільки для вузького класу моделей, завдань;

· При виведенні формул, на яких вони ґрунтуються і які використовуються для розрахунку цікавлять параметрів, необхідно прийняти певні припущення і спростити модель. Наприклад, рівняння (4.4) описує рух автомобіля в ідеальних умовах: відсутність опору повітря, тертя і т.п.

Зміна станів реальної системи (об'єкта) відбувається під впливом безлічі як зовнішніх, так і внутрішніх чинників, переважна більшість з яких носять стохастичний характер. Внаслідок цього, а також великої складності більшості реальних систем, застосування аналітичних методів обмежена.

При аналітичному моделюванні комп'ютер використовується в якості обчислювача по аналітичним залежностям. Розроблено пакети прикладних програм, в яких реалізовані аналітичні методи рішення систем алгебраїчних, диференціальних, інтегральних рівнянь; методи вирішення оптимізаційних задач. наприклад, Mathlab, Maple, MathCard.

Чисельні методи моделювання. Математична модель також представляє со-бой систему лінійних, нелінійних рівнянь, але вирішується система рівнянь методами обчислювальної математики. Всі чисельні методи передбачають ітераційне рішення задачі. На нульовій ітерації задається початкове рішення (наближення) і оцінюється його точність, на наступних ітераціях початкове наближення послідовно уточнюється. Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде досягнута задана точність рішення, що не буде виконаний заданий критерій зупинки.

Приклад 4. Чисельний метод бисекции (ділення відрізка навпіл) застосовується для розв'язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь виду: f (x) = 0, причому f (x) - Безперервна функція [9].

Суть методу зводиться до наступного: задається початкове наближення кореня (x0) на відрізку [A, b]. Крапка x0 розбиває відрізок на дві рівні частини: [A, x0] и [x0, B]. вихідний відрізок [A, b] задовольняє умові: f (a) f (b) <0. Тоді згідно з теоремою Больцано-Коші всередині відрізка [A, b] існує точка c, В якій значення функції дорівнює нулю, тобто f (с) = 0, з ? [a, b]. Далі обчислюються значення функції на кінцях відрізків [A, x0] и [x0, B] і знаходиться відрізок, на кінцях якого функція приймає значення різних знаків. Саме цей відрізок на наступній ітерації ділиться навпіл. Процес побудови послідовності відрізків дозволяє знайти нуль функції f (x) (корінь рівняння f (x) = 0) З будь-якої заданої точністю [6].

Наведемо один крок ітерацій. нехай на (N-1)-м кроці знайдений відрізок [an-1, bn-1] ? [a, b], Такий, що f (an-1) F (bn-1) <0. Ділимо його навпіл точкою ? = (an-1 + bn-1) / 2 і обчислюємо f (?). якщо f (?) = 0, то ? = (an-1 + bn-1) / 2 - корінь рівняння. якщо f (?) ? 0, То з двох отриманих відрізків вибираємо той, на кінцях якого функція має протилежні знаки, так як корінь рівняння належить цьому відрізку. Таким чином,

an = an-1, bn = ?, якщо f (?) f (an-1) <0,

an = ?, bn = bn-1, Якщо f (?) f (an-1)> 0. (21.7.)

Якщо потрібно знайти корінь з точністю до ?, То поділнавпіл триває до тих пір, поки довжина відрізка не стане менше 2?. Тоді координата середини відрізка і є значення кореня з необхідною точністю ?.

Розроблено чисельні методи для вирішення нелінійних рівнянь (метод бисекции, метод простих ітерацій, метод Ньютона, метод Чебишева, метод Данко і т.д.), систем нелінійних рівнянь (метод простих ітерацій, метод Ньютона, метод найшвидшого спуску і т.д.) , рішення задачі пошуку мінімуму нелінійної функції (метод градієнтного спуску, метод Нелдера-Міда і т.д.).

Клас задач, які вирішуються чисельними методами, значно ширше. Чисельні методи не дають точних рішень, але дозволяють задати будь-яку ступінь точності рішення. Використання чисельних методів виправдано, коли аналітичні методи не існують, наприклад, математична модель описується занадто складним нелінійним рівнянням або системою нелінійних рівнянь.

Чисельні методи також як і аналітичні реалізовані в пакетах прикладних програм, наприклад, Mathlab, Maple, MathCard.

Імітаційні методи моделювання [5]. З розвитком обчислювальної техніки широке застосування отримали імітаційні методи моделювання для аналізу систем, переважаючими в яких є стохастичні впливу.

Суть імітаційного моделювання полягає в імітації процесу функціонування системи в часі, з дотриманням таких же співвідношень тривалості операцій як в системі оригіналі. При цьому імітуються елементарні явища, що становлять процес; зберігається їх логічна структура, послідовність протікання в часі. Результатом імітаційного моделювання є отримання оцінок характеристик системи.

Відомий американський вчений Роберт Шеннон дає наступне визначення [17]: «Імітаційне моделювання - Процес конструювання моделі реальної системи і постановки експериментів на цій моделі з метою або зрозуміти поведінку системи, або оцінити (в рамках обмежень, що накладаються деяким критерієм або сукупністю критеріїв) різні стратегії, що забезпечують функціонування даної системи ».

Все імітаційні моделі використовують принцип чорного ящика. Це означає, що вони видають вихідний сигнал системи при вступі до неї деякого вхідного сигналу. Тому на відміну від аналітичних методів для отримання результатів необхідно здійснювати «прогін» імітаційних моделей, тобто подачу деякої послідовності сигналів, об'єктів або даних на вхід моделі і фіксацію вихідної інформації, а не «вирішувати» їх. Відбувається свого роду «вибірка» станів об'єкта моделювання (стану - властивості системи в конкретні моменти часу) з простору (безлічі) станів (сукупність всіх можливих значень станів). Наскільки репрезентативною виявиться ця вибірка, настільки результати моделювання будуть відповідати дійсності. Цей висновок показує важливість застосування ймовірнісно-статистичних методів оцінки результатів імітації.

У процесі імітаційного моделювання використовується метод статистичного моделювання, Який спочатку розвивався як метод статистичних випробувань (Монте-Карло). Це чисельний метод, що складається в одержанні оцінок імовірнісних характеристик, які збігаються з рішенням аналітичних задач (наприклад, з рішенням рівнянь або обчисленням певного інтеграла). Згодом цей метод став застосовуватися для імітації процесів, що відбуваються в системах, усередині яких є джерело випадковості або які схильні до випадкових впливів. Він отримав назву методу статистичного моделювання.

Методи імітаційного моделювання широко застосовуються при дослідженні систем масового обслуговування.

під системою масового обслуговування (СМО) розуміють динамічну систему, призначену для ефективного обслуговування потоку заявок (вимог на обслуговування) при обмеженнях на ресурси системи. Під це визначення підходить значна частина реальних систем, які нас оточують: бібліотека, аеропорт, лікарня, університет, обчислювальна система, виробнича система і т.д.

Приклад 5. Як приклад СМО наведемо інформаційно-пошукову систему. Система включає розподілений банк даних, організований на базі трьох віддалених один від одного обчислювальних центрів А, В і С. Всі центри пов'язані між собою каналами передачі інформації, які працюють в дуплексному режимі незалежно один від одного. У кожен з центрів надходять заявки на проведення інформаційного пошуку, де вони попередньо обробляються, в результаті чого формуються запити для центрів А, В і С. В центрі, що отримав заявку від користувача, починається пошук інформації за запитом, а на інші центри по відповідних каналах передаються тексти запитів, після чого там також може початися пошук інформації. Тексти відповідей передаються відповідним каналом в центр, який отримав заявку на пошук. Замовлення вважається виконаним, якщо отримані відповіді від усіх трьох центрів.

Необхідно розрахувати показники ефективності функціонування інформаційно-пошукової системи: число заявок, що надійшли і обслужених в кожному центрі; ймовірність завантаження комп'ютерів центрів; характеристики черги запитів до комп'ютерів кожного центру; середній час обслуговування заявок в кожному центрі і т.д.

Характерним для наведеної задачі і для інших подібних завдань з різних предметних областей є:

· Умова подвійний випадковості: випадковий момент часу надходження заявки на обслуговування (в інформаційно-пошукову систему, на телефонну станцію, на пункт швидкої допомоги, на вхід процесора і т.д.); випадкова тривалість часу обслуговування;

· Наявність черг (завдань до комп'ютерів обчислювального центру, судів перед шлюзами, деталей на обробку і т.д.).

Рішення завдання імітаційним методом передбачає розіграш інтервалів між надходженням заявок на інформаційний пошук в центри А, В і С і інтервалів обслуговування заявок, відповідно до заданого закону; обчислення моментів приходу заявок в систему і закінчення обслуговування заявок; обчислення для кожної заявки її часу очікування в черзі на обслуговування і простою системи (в очікуванні заявки). Складаються алгоритм і комп'ютерна програма, які імітують роботу СМО або протягом заданого проміжку часу, або з обслуговування заданого кількості заявок. Результат роботи програми: оцінка показників ефективності функціонування системи (середній час очікування заявок в черзі, ймовірність простою і т.д.).

Застосування імітаційних методів моделювання доцільно при виконанні певних умов [17]:

1. Не існує закінченої математичної постановки даної задачі, або ще не розроблені аналітичні методи рішення сформульованої математичної моделі. До цієї категорії відносяться багато моделей масового обслуговування, пов'язані з розглядом черг.

2. Аналітичні методи є, але математичні процедури настільки складні і трудомісткі, що імітаційне моделювання дає більш простий спосіб вирішення завдання.

3. Крім оцінки певних характеристик системи, необхідно здійснити на імітаційній моделі спостереження за ходом процесу протягом певного періоду.

Додатковою перевагою імітаційного моделювання можна вважати широкі можливості його застосування в сфері освіти і професійної підготовки. Використання імітаційної моделі дозволяє експериментатору бачити і «розігрувати» на моделі реальні процеси і ситуації.

Недоліки імітаційних методів: низька точність в порівнянні з аналітичними методами; неможливість поставити необхідну точність рішення, як в чисельних методах.

Переваги імітаційних методів: застосування для вирішення широкого класу за-дач, можливість врахувати при моделюванні будь-стохастичні впливу на систему.

На ринку програмних продуктів широко представлено програмне забезпечення, що реалізує імітаційні методи моделювання. До нього відносяться середовища імітаційного моделювання GPSS, SimScript, Simula, Arena, Extend, AveSim, AnyLogic і інші; програмні комплекси, які спеціалізуються на моделюванні вузького кола систем однієї конкретної предметної області. наприклад, пакети імітаційного моделювання виробничих систем (AutoMod, WITNESS, QUEST, ProModel і інші); пакети імітаційного моделювання для медичних установ (MedModel); пакети імітаційного моделювання мереж зв'язку (COMNET, OPNET Modeler, IT Decision Guru).

Ймовірносно-статистичні методи моделювання. Застосовуються для опису залежностей між вихідними характеристиками системи і вхідними змінними (параметрами) системи, в разі якщо ці залежності [4]:

· Стохастичні за своєю природою, тобто дозволяють встановлювати лише імовірнісні логічні співвідношення між досліджуваними подіями А і В, а саме співвідношення типу «з факту здійснення події А слід, що подія В повинно статися, але не обов'язково, а лише з певною ймовірністю р;

· Виявляються на підставі вибіркових даних статистичного спостереження за аналізованими подіями або змінними.

Приклад 6. Досліджується залежність між прибутком підприємств галузі (y) І обсягом виробництва (x1), Фондом заробітної плати (x2). Є вихідні дані по 100 підприємствам галузі за минулий рік. Найпростіша модель взаємозв'язку між показниками описується статистичної лінійної моделлю (моделлю лінійної регресії):

y = ax1 + bx2 + c + ?, (21.8.)

де a, b, c - Параметри моделі;

? - Випадковий залишок.

Параметри моделі оцінюється на основі використання ймовірнісно-статистичних методів (методів регресійного аналізу). Випадковий залишок відображає вплив на у неврахованих факторів і / або помилок вимірювань. В результаті застосування мо-діли можна спрогнозувати середню прибуток підприємства галузі при заданих значеннях обсягу виробництва і фонду заробітної плати (наприклад, на наступний рік) з певною ймовірністю р.

Ймовірносно-статистичні методи широко використовуються при обробці результатів, отриманих імітаційними методами моделювання, в ході імітаційного експерименту, як зазначалося вище.

Приклад 7. Необхідно побудувати залежність між середнім часом обробки заявки на інформаційний пошук (y) І інтервалом між надходженнями заявок (x1), Інтервалом обслуговування заявок (x2) для прикладу 5.

Проводиться імітаційний експеримент: при різних значеннях x1, x2 імітується обробка заданого числа заявок і обчислюється середнє значення y при кожному прогоні імітаційної моделі (при заданих на певному рівні значеннях x1, x2). В результаті виходить вибірка вихідних даних, по якій оцінюються параметри моделі виду (21.8.).

Побудовану модель далі можна використовувати для оцінки середнього часу обслуговування інформаційного запиту при заданих вхідних змінних з певною ймовірністю р.

Гідності й недоліки застосування ймовірнісно-статистичних методів такі ж, як і у імітаційних методів моделювання.

Розроблено велике прикладне статистичне програмне забезпечення, в якому реалізовані ймовірносно-статистичні методи, наприклад, пакети Statistica, SPSS, StatGraphs і багато інших.

 < 21.1. Математична модель системи (об'єкта)  21.3. Технологія математичного ... >

^ Вгору



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Вступ | Моделювання як метод пізнання | Форми подання моделей | Класифікація математичних моделей | Етап. Вивчення апріорної інформації про об'єкт дослідження. | Етап. Рішення задач моделювання, підведення підсумків. | Поняття інформаційної моделі | етапи моделювання | Графи, мережі, дерева | поняття алгоритму |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати