загрузка...
загрузка...
На головну

аналітичний спосіб

  1. DIV, SPAN - Використовуються для виділення частини документа певним способом. Обов'язковий закриває тег!
  2. Forensic - судовий; аналітичний
  3. II. Рішення логічних задач табличним способом
  4. II.6.2.) Організація і правоздатність корпорацій.
  5. III. Метод визначення платоспроможності фізичних осіб, розроблена Ощадбанком Росії.
  6. III. санітарно - освітній - формування здорового способу життя.
  7. V. 18. 5. Природні передумови здібностей і талантів

При наявності прямокутних координат X і Y вершин n -угольніка його площа можна обчислити за формулами аналітичної геометрії; виведемо одну з таких формул.

Нехай в трикутнику ABC координати вершин рівні X1, Y1 (A), X2, Y2 (B) і X3, Y3 (C) - рис.6.2.

рис.6.2

З вершин трикутника опустимо перпендикуляри на осі координат і позначимо їх довжину, як показано на рис.6.2.

Площа трикутника P буде дорівнює сумі площ двох трапецій I (aABc) і II (bBCc) за вирахуванням площі трапеції III (aACc)

P = PI + PII-PIII. (6.9)

Висловимо площа кожної трапеції через її заснування і висоту:

PI = 0.5 (X1 + X2) * (Y1-Y2);
 PI = 0.5 (X2 + X3) * (Y3-Y2); (6.10)
 PI = 0.5 (X3 + X1) * (Y1-Y3);

Щоб позбутися від множника 0.5, будемо обчислювати подвоєну площу трикутника. Виконаємо множення, наведемо подібні члени, винесемо загальні множники за дужки і отримаємо:

2 * P = X1 * (Y2-Y3) + X2 * (Y3-Y1) + X3 * (Y1-Y2)

або в загальному вигляді:

 (6.11)

У цій формулі індекс "i" показує номер вершини трикутника; індекс "i" означає, що потрібно брати наступну або попередню вершину (при обході фігури за годинниковою стрілкою).

Якщо при угрупованню членів виносити за дужки Y1, то вийде формула:

 (6.12)

Обчислення за обома формулами дають однаковий результат, тому на практиці можна користуватися будь-який з них.

Хоча формули (6.11) і (6.12) виведені для трикутника, неважко показати, що вони придатні для обчислення площі будь-якого n - кутника.

Оцінка точності площі. У більшості випадків ділянки на місцевості мають форму неправильного n - кутника, причому кількість вершин багатокутника n може бути від 30 до 20 і більше. Площа таких ділянок обчислюють аналітичним способом за прямокутним координатам вершин, які, в свою чергу, визначають в результаті обробки геодезичних вимірювань. При цьому для кожної вершини багатокутника отримують координати і помилку її положення щодо вихідних пунктів, які задають систему координат на місцевості.

Виведемо формулу для оцінки площі багатокутника по відомим внутрішнім кутах, довжинах його сторін і помилок положення mti його вершин.

На рис.6.3 зображений фрагмент багатокутника з вершинами i-1, i, i + 1, i + 2 і сторонами li-1, li, li + 1.

Проведемо на вершинах i і i + 1 окружності радіусами mti і mt (i + 1) і побудуємо бісектриси кутів ?i і ?i + 1. Потім відновимо перпендикуляри до сторони li і знайдемо проекції відрізків mti і mt (i + 1) на ці перпендикуляри:

 (6.13)

 (6.14)

рис.6.3

Побудуємо трапецію, підставами якої є відрізки mi і mi + 1, а заввишки - сторона li і знайдемо площа цієї трапеції ?Pi. Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку півсуми підстав на висоту, а оскільки підставами трапеції є проекції ср.кв. помилок, то замість напівсуми потрібно взяти квадратичную полусумму підстав; таким чином,

 (6.15)

де

c = Sin (? / 2).

Площа трапеції, побудованої на одному боці багатокутника, є частиною помилки площі всього багатокутника; виконавши квадратичне підсумовування площ ?Pi по всім сторонам, отримаємо:

або

 (6.16)

З формули (6.16) можна отримати формулу середньої квадратичної помилки площі правильного багатокутника з однаковою помилкою положення mt всіх його вершин:

mP = an * mt * L, (6.17)

де: L - периметр багатокутника,
 an - коефіцієнт, що залежить від n - кількості вершин;

його значення:

n
 an  0.204  0.250  0.256  0.250  0.243  0.231  0.222  0.212
n
 an  0.205  0.197  0.179  0.156  0.143  0.128  0.091  0.065

Формула (6.17) є базовою і при оцінці площі неправильних n-кутників, для яких помилка площі mp виявляється лише на кілька відсотків більше, ніж для правильного n - кутника. Так, якщо площа неправильного n - кутника при тому ж периметрі в два рази менше площі правильного n-кутника, то помилка його площі збільшується лише на 20%.

При неоднакових помилки положення вершин багатокутника у формулі (6.17) досить замість mt поставити mt (ср).

Прикладом застосування формули (6.17) є оцінка площі ділянок, координати вершин яких отримані з топографічних планів. Наприклад, для плану масштабу 1: 2000 помилку положення точок можна прийняти рівною mt = 0.50 мм * M = 1 м (за умови, що основа плану досить жорстка і її деформацією можна знехтувати). При площі ділянки 0.12 га та кількості вершин n = 4 (5 або 6) середня квадратична помилка його площі при правильній формі (периметр L = 140 м) буде дорівнює 35 кв.м, а при неправильній формі (периметр L> 140 м) вона може досягати 40 кв.м.

Іншим прикладом застосування формули (6.17) може служити оцінка площі багатокутника, координати вершин якого отримані з полярної зарубки, виконаної з одного пункту-станції.

При використанні точних приладів (електронних тахеометрів або систем GPS) частка помилок вимірювань в помилку положення точок значно менше частки помилки їх фіксації mф на місцевості. Прийнявши mti = mф, можна використовувати формулу (6.17) для будь-яких способів отримання координат вершин багатокутника.

Площа правильного n-кутника можна виразити через його периметр:

 (6.18)

І з формули (6.17) отримати формулу відносної помилки площі:

 (6.19)

де

 (6.20)

наприклад:

для трикутника (n = 3) mp / P = 4.24 * mt / L,

для чотирикутника (n = 4) mp / P = 4.00 * mt / L,

для п'ятикутника (n = 5) mp / P = 3.72 mt / L,

для шестикутника (n = 6) mp / P = 3.46 mt / L.

Таким чином, для наближеної оцінки площі 3-4-5-6- кутника в аналітичному способі можна застосовувати формулу:

mp / P = 4 * mt / L; (6.21)

помилка цієї формули може досягати 15% - 20% для ділянок, форма яких помітно відрізняється від форми правильного n -угольніка.

 



Попередня   55   56   57   58   59   60   61   62   63   64   65   66   67   68   69   70   Наступна

Обчислення відміток реперів разомкнутого ходу технічного нівелювання | Поняття про тригонометричному нівелюванні | Поняття про гидростатическом нівеліріваніі | Поняття про барометричному нівелюванні | Масштаби топографічних карт | Разграфка і номенклатура топографічних карт | координатна сітка | Умовні знаки топографічних карт | Орієнтування карти на місцевості | Цифрові топографічні карти |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати