Зворотній кутова зарубка

До елементарним вимірам відноситься і вимір кута ? на точці, P між напрямками на два пункти A і B з відомими координатами XA, YA і XB, YB (рис.2.10). Однак, це вимір виявляється теоретично досить складним, тому розглянемо його окремо.

Проведемо коло через три точки A, B і P. Зі шкільного курсу геометрії відомо, що кут з вершиною на окружності вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Центральний кут, що спирається на ту ж дугу, вимірюється всій дугою, отже, він буде дорівнює 2? (рис.2.10).

рис.2.10

Відстань b між пунктами A і B вважається відомим, і з прямокутного трикутника FCB можна знайти радіус R кола:

(2.41)

Рівняння кола має вигляд:

(2.42)

де XC і YC - координати центру кола. Їх можна обчислити, вирішивши або пряму кутову, або лінійну зарубку з пунктів A і B на точку C. У рівнянні (2.42) X і Y - координати будь-якої точки кола, в тому числі і точки P, але для знаходження двох координат точки P одного такого рівняння недостатньо.

Зворотною кутовий засечкой називають спосіб визначення координат точки P за двома кутами ?1 і ?2, виміряним на точці, P між напрямками на три пункти з відомими координатами A, B, C (рис.2.11).

Графічне рішення. Наведемо спосіб Болотова графічного розв'язання оберненої кутової засічки. На аркуші прозорого паперу (кальки) потрібно побудувати кути ?1 і ?2 із загальною вершиною P; потім накласти кальку на креслення і, переміщаючи її, домогтися, щоб напрямки кутів на кальці проходили через пункти A, B, C на кресленні; переколотив точку P з кальки на креслення.

Вихідні дані: XA, YA, XB,
YB, XC, YC;

Вимірювані елементи: ?1, ?2.

Невідомі елементи: X, Y.

рис.2.11

Аналітичне рішення. Аналітичне рішення зворотної кутової засічки передбачає її розкладання на простіші завдання, наприклад, на 2 прямих кутових зарубки і одну лінійну, або на 3 лінійних зарубки і т.д. Відомо більше 10-ти способів аналітичного рішення, але ми розглянемо тільки один - через послідовне вирішення трьох лінійних зарубок.

Припустимо, що положення точки P відомо, і проведемо дві окружності: одну радіусом R1 через точки A, B і P і іншу радіусом R2 через точки B, C і P (рис.2.11). Радіуси цих кіл отримаємо за формулою (2.41):

(2.43)

Якщо координати центрів кіл - точок O1 і O2 будуть відомі, то координати точки P можна визначити за формулами лінійної засічки: з точки O1 по відстані R1 і з точки O2 - по відстані R2.

Координати центру O1 можна знайти за формулами лінійної засічки з точок A і B по відстанях R1, причому з двох рішень потрібно взяти те, яке відповідає величині кута ?1: якщо ?1 <90o, то точка O1 знаходиться праворуч від лінії AB, якщо ?1> 90o , то точка O1 знаходиться зліва від лінії AB.

Координати центру O2 знаходяться за формулами лінійної засічки з точок B і C по відстаням R2, і одне рішення з двох можливих вибирається по тим же правилом: якщо ?2 <90o, то точка O2 знаходиться праворуч від лінії BC, якщо ?2> 90o, то точка O2 знаходиться зліва від лінії BC.

Завдання не має рішення, якщо всі чотири точки A, B, C і P знаходяться на одному колі, так як обидві окружності зливаються в одну, і точок їх перетину не існує.

Попередня 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Наступна