загрузка...
загрузка...
На головну

Початкові відомості з теорії помилок

  1. HTML: Загальні відомості.
  2. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів.
  3. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 1 сторінка
  4. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 2 сторінка
  5. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 3 сторінка
  6. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 4 сторінка
  7. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 5 сторінка

Теорія помилок вимірів вивчає властивості помилок і закони їх розподілу, методи обробки вимірювань з урахуванням їхніх помилок, а також способи обчислення числових характеристик точності вимірювань ний. При багаторазових вимірюваннях однієї і тієї ж величини резуль тати вимірювань виходять неоднаковими. Цей очевидний факт говорить про те, що вимірювання супроводжуються різними за величиною і за знаком помилками. Завдання теорії помилок - пошук найоптимальніших надійного значення виміряної величини, оцінка точності результатів вимірювань і їх функцій і встановлення допусків, що обмежують використання результатів обробки вимірювань.

За своєю природою помилки бувають грубі, систематичні і випадкові.

Грубі помилки є результатом промахів і прорахунків. Їх можна уникнути при уважному і акуратному відношенні до роботи і організації надійного польового контролю вимірювань. У теорії помилок грубі помилки не вивчаються.

Систематичні помилки мають певне джерело, напрям і величину. Якщо джерело систематичної помилки виявлено і вивчено, то можна отримати формулу впливу цієї помилки на результат вимірювання і потім ввести в нього поправку; це виключить вплив систематичної помилки. Поки джерело будь-якої систематичної помилки не знайдений, доводиться вважати її випадковою помилкою, що погіршує якість вимірювань.

Випадкові помилки вимірювань обумовлені точністю способу вимірювань (строгістю теорії), точністю вимірювального приладу, кваліфікацією виконавця і впливом зовнішніх умов. Закономірності випадкових помилок проявляються в масі, тобто, при великій кількості вимірів; такі закономірності називають статистичними. Звільнити результат одиничного вимірювання від випадкових помилок неможливо; неможливо також передбачити випадкову помилку одиничного вимірювання. Теорія помилок займається в основному вивченням випадкових помилок.

Випадкова справжня помилка виміру ? - це різниця між виміряним значенням величини l і її істинним значенням X:

 (1.25)

Властивості випадкових помилок. Випадкові помилки підкоряються деяким закономірностям:

за даних умов вимірювань абсолютні значення випадкових помилок не перевершують деякого межі; якщо будь-яка помилка виходить за цю межу, вона вважається грубою,

позитивні і негативні випадкові помилки рівноможливими,

середнє арифметичне випадкових помилок прагне до нуля при необмеженому зростанні числа вимірів. Третя властивість випадкових помилок записується так:

 (1.26)

малі за абсолютною величиною випадкові помилки зустрічаються частіше, ніж великі.

Крім того, у всій масі випадкових помилок не повинно бути явних закономірностей ні за знаком, ні по величині. Якщо закономірність виявляється, значить тут позначається вплив якоїсь систематичної помилки.

Середня квадратична помилка одного виміру. Для оцінки точності вимірювань можна застосовувати різні критерії; в геодезії таким критерієм є середня квадратична помилка. Це поняття було введено Гауссом; він же розробив основні положення теорії помилок. Середня квадратична помилка одного виміру позначається буквою m і обчислюється за формулою Гаусса:

 (1.27)

де: ;
 n - кількість вимірювань однієї величини.

Середня квадратична помилка дуже чутлива до великих за абсолютною величиною помилок, так як кожна помилка зводиться в квадрат. У той же час вона є стійким критерієм для оцінки точності навіть при невеликому кількість вимірювань; починаючи з деякого n подальше збільшення числа вимірювань майже не змінює значення m; доведено, що вже при n = 8 значення m виходить досить надійним.

Гранична помилка ряду вимірів позначається ?пред; вона зазвичай приймається рівною 3 * m при теоретичних дослідженнях і 2 * m або 2.5 * m при практичних вимірах. Вважається, що з тисячі вимірів тільки три помилки можуть досягати або трохи перевершувати значення ?пред = 3 * m.

Ставлення mx / X називається середньоквадратичне відносної помилкою; для деяких видів вимірювань відносна помилка більш наочна, ніж m. Відносна помилка виражається дробом з чисельником, рівним 1, наприклад, mx / X = 1/10 000.

Середня квадратична помилка функції виміряних величин. Виведемо формулу середньої квадратичної помилки функції декількох аргументів довільного виду:

F = f (X, Y, Z ...), (1.28)

тут: X, Y, Z ... - істинні значення аргументів,
 F - справжнє значення функції.

В результаті вимірювань отримані виміряні значення аргументів lX, lY, lZ, при цьому:

 (1.29)

де ?X, ?Y, ?Z - випадкові справжні помилки вимірювання аргументів.

Функцію F можна виразити через виміряні значення аргуметом і їх справжні помилки:

Розкладемо функцію F в ряд Тейлора, обмежившись першим ступенем малих збільшень ?X, ?Y, ?Z:

 (1.30)

різниця  є випадковою істинної помилкою функції з протилежним знаком, тому:

 (1.31)

Якщо виконати n вимірювань аргументів X, Y, Z, то можна записати n рівнянь виду (1.31). Зведемо всі ці рівняння в квадрат і складемо їх; сумарне рівняння розділимо на n і отримаємо

В силу третьої властивості випадкових помилок члени, що містять твори випадкових помилок, будуть незначними за величиною, і їх можна не враховувати; таким чином,

 (1.32)

Як окремі випадки формули (1.32) можна написати вираження для середньої квадратичної помилки деяких функцій:

Якщо функція має вигляд твори кількох аргументів,

F = x * y * z,

то для неї можна записати вираз відносної помилки функції:

 (1.33)

яке в деяких випадках виявляється більш зручним, ніж формула (1.32).

Принцип рівних впливів. У геодезії часто доводиться визначати середні квадратичні помилки аргументів за заданою середньоквадратичне помилку функції. Якщо аргумент всього один, то рішення задачі не представляє труднощі. Якщо число аргументів t більше одного, то виникає задача знаходження t невідомих з одного рівняння, яку можна вирішити, застосовуючи принцип рівних впливів. Згідно з цим принципом всі складові правої частини формули (1.32) або (1.33) вважаються рівними між собою.

Арифметична середина. Нехай є n вимірювань однієї величини X, то-есть,

 (1.34)

Складемо ці рівності, сумарне рівняння розділимо на n і отримаємо:

 (1.35)

величина  (1.36)

називається середнім арифметичним або простою арифметичною серединою. Запишемо (1.35) у вигляді

по третьому властивості помилок (1.26) можна написати:

що означає, що при необмеженому зростанні кількості вимірювань проста арифметична середина прагне до істинного значення вимірюваної величини. При обмеженій кількості вимірювань арифметична середина є найбільш надійним і достовірним значенням вимірюваної величини.

Запишемо формулу (1.36) у вигляді

і підрахуємо середню квадратичну помилку арифметичної середини, яка позначається буквою M. Відповідно до формули (1.32) напишемо:

або

Але ml1 = ml2 = ... = mln = m за умовою задачі, так як величина X вимірюється при одних і тих же умовах. Тоді в квадратних дужках буде n * m2, одне n скоротиться і в підсумку отримаємо:

M2 = m2 / n

або

 (1.37)

тобто, середня квадратична помилка арифметичної середини в корінь з n раз менше помилки одного виміру.

Обчислення середньої квадратичної помилки по ухиленням від арифметичної середини. Формулу Гаусса (1.27) застосовують лише в теоретичних викладках і при дослідженнях приладів і методів вимірювань, коли відомо справжнє значення вимірюваної величини. На практиці воно, як правило, невідомо, і оцінку точності виконують за ухиленням від арифметичної середини.

Нехай є ряд равноточних вимірювань величини X:

l1, l2, ..., ln.

Обчислимо арифметичну середину X0 = [1] / n і утворюємо різниці:

 (1.38)

Складемо всі різниці і отримаємо [l] - n * X0 = [V]. За визначенням арифметичної середини n * X0 = [l], тому:

[V] = 0. (1.39)

Величини V називають вероятнейшими помилками вимірювань; саме за їх значенням і обчислюють на практиці середню квадратичну помилку одного виміру, використовуючи для цього формулу Бесселя:

 (1.40)

Наведемо висновок цієї формули. Утворити різниці випадкових справжніх помилок вимірювань ? і ймовірність помилок V:

 (1.41)

Різниця (X0 - X) дорівнює істинної помилку арифметичної середини; позначимо її ?0 і перепишемо рівняння (1.41):

 (1.42)

Зведемо все рівняння (1.42) в квадрат, складемо їх і отримаємо:

.

Другий доданок в правій частині цього виразу дорівнює нулю по властивості (1.39), отже,

.

Розділимо це рівняння на n і врахувавши, що [?2] / n = m2, отримаємо:

 (1.43)

Замінимо справжню помилку арифметичної середини ?0 її середньої квадратичною помилкою  ; така заміна практично не змінить правій частині формули (1.43). Отже,

,
 звідки ;

після перенесення (n-1) в праву частину і вилучення квадратного кореня виходить формула Бесселя (1.40).

Для обчислення середньої квадратичної помилки арифметичної середини на підставі (1.37) виходить формула:

 (1.44)

Ваги вимірів. Вимірювання бувають равноточние і неравноточних. Наприклад, один і той же кут можна виміряти точним або технічним теодолітом, і результати таких вимірювань будуть неравноточних. Або один і той же кут можна виміряти різною кількістю прийомів; результати теж будуть неравноточних. Зрозуміло, що середні квадратичні помилки неравноточних вимірювань будуть неоднакові. З досвіду відомо, що вимір, виконане з більшою точністю (з меншою помилкою), заслуговує на більшу довіру.

Вага вимірювання - це умовне число, що характеризує надійність вимірювання, ступінь його довіри; вага позначається буквою p. Значення ваги вимірювання отримують за формулою:

p = C / m2 (1.45)

де C - в загальному випадку довільне позитивне число.

При неравноточних вимірах однієї величини найбільш надійне її значення набувають за формулою средневесовой арифметичної середини:

 (1.46)
 або X0 = [l * p] / [p].

Помилку вимірювання, вага якого дорівнює 1, називають середньою квадратичною помилкою одиниці ваги; вона позначається буквою m. З формули (1.45) отримуємо


 звідки  (1.47)

тобто, за число C приймають квадрат помилки одиниці ваги.

Підрахуємо вага P средневесовой арифметичної середини. За визначенням ваги маємо:

 (1.48)

Згідно (1.46) і (1.32) напишемо:

Підставами сюди замість mli2 їх вираження через вагу m2 = C / p, тоді:

Підставами цей вислів в формулу (1.48) і отримаємо,

P = [p], (1.49)

тобто, вага средневесовой арифметичної середини дорівнює сумі ваг окремих вимірювань.

У разі равноточних вимірювань, коли ваги всіх вимірювань однакові і дорівнюють одиниці, формула (1.49) приймає вид:

P = n. (1.50)

При обробці великих груп вимірювань (при зрівнянні геодезичних побудов по МНК) обчислюються значення помилки одиниці ваги, ваги вимірів і інших елементів після зрівнювання, а помилка будь-якого зрівняного елемента підраховується за формулою:

 (1.51)

де pi - вага i-того елемента.

 



Попередня   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   Наступна

прямокутні координати | полярні координати | Центральна проекція | горизонтальна проекція | спотворення відстаней | Спотворення висот точок | Орієнтування відповідно до географічної меридіану точки | Орієнтування по осьового меридіану зони | Орієнтування по магнітному меридіану точки | румби ліній |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати