На головну

Основні ідеї кількісної і порядкової теорій натурального числа

  1. Amp; 10. Основні напрямки сучасної філософія історії
  2. I Основні інформаційні процеси і їх реалізація за допомогою комп'ютерів
  3. I. Основні і допоміжні процеси
  4. II. 6.4. Основні види діяльності та їх розвиток у людини
  5. II. Обчислювальні іменники в англійській мові мають форму єдиного (Singular) і множинного (Plural) числа.
  6. II. Основні завдання та їх реалізація
  7. III. Основні етапи міжнародних відносин в Новий час.

Кількісна теорія.

Г. Кантор, XIX в. Основні поняття - безліч, взаимнооднозначное відповідність.

У тому випадку, якщо кожному елементу множини Х відповідає єдиний елемент з безлічі У, то кажуть, що між цими множинами встановлено взаимнооднозначное відповідність.

 
Х У

       
   
 
 


Розглянемо 2 нескінченних безлічі:

(1) безліч натуральних чисел 1, 2, 3, 4, 5, ... n, ...

(2) безліч парних натур. чисел 2, 4, 6, ... 2n, ... (підмножина (1));

Так як ряд парних чисел можна пронумерувати за допомогою натуральних чисел, то між цими двома множинами можна встановити взаимнооднозначное відповідність. Якщо між безліччю і його деяким підмножиною можна встановити взаимнооднозначное відповідність, то безліч є кінцевим.

Якщо між двома кінцевими множинами можна встановити взаимнооднозначное відповідність, то ці множини називаються рівночисельний.

Ставлення «бути рівночисельний» на безлічі всіх множин є рефлексивним, симетричним, транзитивним, а значить, є відношенням еквівалентності. Тому ставлення «бути рівночисельний» розбиває безліч всіх множин на класи. У ці класи потраплять найрізноманітніші безлічі. Спільне між ними - однакову кількість елементів (в клас «5» - 5 кольорів, 5 пальців).

натуральним числом називають загальне властивість класу не порожніх, кінцевих, рівночисельний множин.

Покажемо, як операції над числами визначаються через операції над множинами.

Позначимо через n (А) кількість елементів у множині А.

Введемо операцію складання над числами через операцію об'єднання над множинами.

Сумою чисел a і b називається кількість елементів в об'єднанні множин А і В, що дорівнює

а + b = n (АEВ) = n (А) + n (В), за умови, що АCВ = ?.

Порядкова теорія натурального числа.

Джузеппе Пеано, XIX в. Основні поняття: одиниця (е), операції: безпосередньо слідувати за, додавання, множення.

В основі теорії - аксіоми Пеано, які є властивостями натурального ряду чисел.

1 аксіома. Одиниця безпосередньо не йде ні за яким натуральним числом.

2 аксіома. Будь-яке натуральне число безпосередньо слід не більше, ніж за одним натуральним числом.

3 аксіома. Якщо до натуральному числу х додати 1, то отримаємо безпосередньо наступне натуральне число х ', тобто х + 1 = х '.

4 аксіома. За допомогою додавання одиниці до натурального числа можна отримати весь ряд натуральних чисел.

5 аксіома. Якщо натуральне число х помножити на 1, то отримаємо саме натур. число, тобто х • 1 = х.

х + у '= х + (у + 1) = (х + у) + 1 = (х + у)'

Ми бачимо, що в кількісної теорії поняття числа визначається через безліч, а операції над числами - через операції над множинами. В порядкової теорії дан принцип освіти кожного числа, поняття числа визначається через систему аксіом.

Пізнання дитиною поняття числа відбувається одночасно в рамках кількісної і порядкової теорій.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

системи числення | Відносини між множинами | Операції над множинами | Відносини між елементами безлічі. властивості відносин | Розбиття множини на класи | Уявлення про безліч об'єктів | Розвиток у дітей діяльності рахунку | Розвиток поняття числа | Формування вміння групувати предмети (2 6 років) | Формування уявлень про множинність і одиничності предметів (з 3 до 5 років) |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати