загрузка...
загрузка...
На головну

Передавальні функції і характеристики розімкнутих систем

  1. B.3. Системи економетричних рівнянь
  2. CASE-технологія створення інформаційних систем
  3. D.3. Системи економетричних рівнянь
  4. I. 2. 2. Сучасна психологія і її місце в системі наук
  5. I. Процес об'єднання Італії і його вплив на систему міжнародних відносин
  6. I. Суб'єктивні методи дослідження ендокринної системи.
  7. I.2.3) Система римського права.

 Системи автоматичного управління в більшості випадків є замкнутими. Однак при їх аналізі і проектуванні часто попередньо розглядається разомкнутая ланцюг ланок, яка потім замикається.

Розрізняють послідовне, паралельне і паралельне зі зворотним зв'язком з'єднання ланок (Мал. 21).

1. Послідовним з'єднанням ланок називають таке з'єднання, коли вихідна величина попередньої ланки, є вхідною величиною наступної ланки (рис.21, а). Якщо послідовно з'єднуються ланки m и n, то ym = xn.

Передавальна функція всьому ланцюгу:

Передавальні функції ланок:

 де: Y (p), Y(p), ..., Yn(p) - Зображення по Лапласа відповідних змінних.

Якщо перемножити праві і ліві частини отриманих рівностей отримаємо:

Оскільки всі проміжні змінні Y 1(p), Y2(p), ..., Yn-1(p), При перемножении скоротяться, то:

Передавальна функція розімкнутої ланцюга послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передаточних функцій всіх ланок.

Переходячи від передавальних функцій до частотним характеристикам системи, тобто вважаючи що p = j?, Отримаємо:

 - Передавальна функція.

представивши  у вигляді:  , Знаходимо:

· АЧХ: ;

· ФЧХ: ;

· Асимптотична ЛАЧХ:

Таким чином, при послідовному з'єднанні ланок амплітудно-частотні характеристики перемножуються, логарифмічно амплітудно-частотні та фазові частотні характеристики складаються.

Розглянемо отримання частотних характеристик розімкнутої ланцюга при послідовному з'єднанні ланок. Нехай передавальна функція розімкнутої ланцюга має вигляд:

.

Причому 0,5 ? можна не враховувати «горб» АЧХ коливального ланки).

Логарифмічну асимптотическую АЧХ можна побудувати безпосередньо по передавальної функції. ЛАЧХ є ламаної лінією. При цьому згідно з характеристиками типових ланок кожному співмножників (Tp +1) в знаменнику відповідає точка зламу характеристики при w = 1 / T з подальшим нахилом мінус 20 дБ / декаду, а кожному співмножників такого ж типу в чисельнику відповідає точка зламу також при w = 1 / T, Але з наступним нахилом плюс 20 дБ / декаду. співмножником типу T2p2+ 2?Tp +1 в знаменнику відповідає злам характеристики при w = 1 / T з нахилом мінус 40 дБ / декаду.

2. Паралельним з'єднанням ланокназивається таке з'єднання, коли на вході всіх ланок подається одна і та ж величина, а вихідні сигнали підсумовуються (Мал. 21, б). Якщо паралельно з'єднуються n ланок, то вхідний сигнал x = x1 = ... = Xi = ... = Xn, А вихідний сигнал:

.

Переходячи до зображення і враховуючи, що Y(p) = Wi(p) •Xi(p), Отримаємо:

 , Тобто - передавальна ф-я.

отже:

перехідна функція: , вагова функція: .

Таким чином, при паралельному з'єднанні ланок передавальні, перехідні і вагові функції кожної ланки підсумовуються.

3. При паралельному з'єднанні ланок зі зворотним зв'язком зворотний зв'язок може бути позитивною, якщо сигнал зворотного зв'язку хос складається з вхідним сигналом х, Або негативною, якщо сигнал зворотного зв'язку хос віднімається з х (Мал. 21, в).

При наявності негативного зворотного зв'язку (ОС) схема описується наступним рівнянням:

.

В свою чергу Xос(p) Визначається відповідно до виразу:

.

Підставивши значення Xос(p) В вираз для Y(p), Отримаємо:

.

Вирішимо це рівняння щодо Y(p):

.

Звідси:

.

Передатна характеристика системи при наявності позитивної / негативного зворотного зв'язку:

.

Методика побудови ЛАЧХ зводиться до наступного (Мал. 22):

1) визначення сполучають частот типових ланок в порядку зростання:

; ; ; ; ;

 2) обчислення на частоті w = 1 ординати L(1) = 20 • lgk, де k - Загальний коефіцієнт передачі розімкнутої системи. Через отриману точку проводять низкочастотную асимптоту ЛАЧХ, що представляє собою при w <1 пряму з нахилом мінус (20 •r) ДБ / декаду, де r - Число інтегруючих ланок;

3) зміна нахилу ЛАЧХ на сполучають частотах у порівнянні з тим нахилом, який вона мала до даної частоти.

Фазова частотна характеристика (ФЧХ) будується відповідно до рівняння (Мал. 22):

3. СТІЙКІСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ

3.1. Поняття стійкості лінеаризованих систем

 Стійкість - це властивість системи повертатися в початковий стан після виходу її з цього стану і припинення дії обурення. Стан системи може бути стійким і нейтральним. Класичним прикладом цього твердження є поведінка кульки на різних поверхнях (Мал. 23): а стійке, байдуже на горизонтальній площині, при якому куля може займати довільне положення на площині; така рівновага називають нейтрально стійким; б стійке в нижчій точці западини криволінійної поверхні, при якому стан рівноваги єдино; в - Нестійкий на вершині «пагорба»; становище б стійко всередині області MN і нестійкий на її кордоні N.

Початковий стан системи, стійкість якої необхідно оцінити, необов'язково є станом спокою. Так, наприклад, можна оцінити стійкість руху супутника, як його здатність повертатися на вихідну орбіту після припинення дії сил, що відхиляють супутник від заданої орбіти.

Вперше найбільш істотні математичні результати по стійкості руху механічних систем отримав російський вчений А.М. Ляпунов в 1880 ? 1910 роках, який довів, що для стійкості системи необхідною і достатньою умовою є негативність речових частин всіх коренів характеристичного рівняння, тобто все коріння повинні розташовуватися в лівій півплощині комплексного змінного р.

Розглянуте умова стійкості відноситься до лінійних САУ. Але практично всі реальні САУ є нелінійними і тільки наближено багато з них можна описувати лінійними рівняннями. Ляпунов сформулював теореми, що дозволяють по стійкості линеаризованной системи судити про стійкість вихідної нелінійної системи:

1) якщо лінеаризоване система стійка, то стійка і вихідна нелінійна система;

2) якщо лінеаризоване система нестійка, то нестійка і вихідна нелінійна система.

3.2. Алгебраїчні критерії стійкості

Раніше було сформульовано умову стійкості лінійних систем у вигляді вимог до коріння характеристичного рівняння. Однак обчислення коренів рівняння високого ступеня важко. Тому були введені критерії стійкості, що дозволяють судити про стійкість або нестійкість системи за коефіцієнтами характеристичного рівняння без обчислення його коренів.

Перший алгебраїчний критерій стійкості, Який можна застосувати для систем третього порядку, сформулював російський вчений Н.А. Вишнеградський в 1876 р .: для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням a0p3+ a1p2+ a2p + a3 необхідним є дотримання двох умов:

1) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути позитивними;

2) твір середніх коефіцієнтів має бути більше твори крайніх, тобто .:

a1a2 > a0a3.

для визначення стійкості систем будь-якого порядку застосовують критерій Гурвіца і критерій Рауса.

за критерієм Гурвіца система буде стійка, якщо визначник Гурвіца, все його діагональні мінори і перший коефіцієнт характеристичного рівняння а0 позитивні тобто .: .

Визначник Гурвіца будується за коефіцієнтами характеристичного рівняння:

По головній діагоналі визначника зліва на право виписуються всі коефіцієнти характеристичного рівняння від а1 до аn, В порядку зростання індексів. Стовпці вгору від головної діагоналі доповнюють коефіцієнтами характеристичного рівняння з послідовно зростаючими індексами. А стовпці вниз - коефіцієнтами з послідовно зменшуються індексами. Максимальний індекс коефіцієнта n (n - Порядок характеристичного рівняння), мінімальний - нуль. Стовпець заповнюється до покладеного числа n елементів нулями.

Відзначаючи в визначнику Гурвіца діагональні мінори, отримаємо визначники нижчого порядку

.

Номер діагонального мінору визначається номером коефіцієнта по діагоналі, для якого складається мінор.

Досліджуючи за допомогою критерію Гурвіца стійкість систем першого, другого, третього і більш високих порядків, можна зробити висновок: для системи n-го порядку необхідною умовою стійкості є позитивність всіх коефіцієнтів.

за критерієм Рауса система стійка, якщо коефіцієнт а0 старшого члена рівняння більше нуля і все елементи першого стовпчика таблиці Рауса відмінні від нуля і є позитивними.

 №строкі  № стовпчика
 ...  ...  ...  ...

Таблиця Рауса складається за такими правилами: перший рядок складається з парних коефіцієнтів рівняння (a0, a2 і т.д.), а друга - з непарних (a1, a3 і т.д.), в третю і наступні рядки записується різниця творів коефіцієнтів, розподіл не непарний коефіцієнт попереднього рядка, що знаходиться в першому стовпці.

Складання таблиці переривається, як тільки перший елемент якого-небудь рядка виявляється негативним або рівним нулю.

3.3. Частотні критерії стійкості

3.3.1. Критерій стійкості Михайлова

Цей критерій стійкості, сформульований в 1938 р російським вченим А.В. Михайловим, дозволяє судити про стійкість системи на підставі розгляду векторної кривої, яку називають кривою (годографом) Михайлова.

Нехай дано характеристичне рівняння системи:

.

Якщо підставити в цей вислів p = j?, То вийде рівняння комплексного вектора:

.

Кінець цього вектора при зміні ? від 0 до ? опише деяку криву, яка називається кривою (годографом) Михайлова. Крива Михайлова починається на дійсній осі при ? = 0 в точці [Х(0) = аn, jV = 0] І закінчується в n-ом квадраті (при ? = ?), якщо відлік квадрантів вести проти годинникової стрілки. В n-ом квадраті крива Михайлова йде в нескінченність.

Щоб побудувати криву Михайлова, необхідно в вираженні D(j?) Виділити дійсну і уявну частини. Далі здався різними значеннями  необхідно знайти точки:

[X(0), jV(0)]; [X(?1), jV(?1)]; [X(?2), jV(?2)]; ... і т.д.

За цим точкам і будують на комплексній площині криву Михайлова.

 Згідно з критерієм Михайлова лінійна система n-го порядку стійка, якщо крива (годограф) Михайлова охоплює початок координат і послідовно проходить n квадрантів.

Якщо крива Михайлова проходить через початок координат, то система знаходиться на межі стійкості.

на малюнку 24 показані криві Михайлова для стійких систем, що описуються рівняннями, починаючи від першого (n = 1) і кінчаючи п'ятим (n = 5) порядком.

З малюнка видно, що передостання система знаходиться на межі стійкості, а остання - нестійка.

3.3.2. Критерій стійкості Найквіста

Критерій, запропонований в 1932 р американським ученим Г. Найквистом, дозволяє судити про стійкість замкнутої системи по амплітудно-фазової частотної характеристики (АФЧХ).

Необхідна АФЧХ розімкнутої системи може бути отримана наступним чином. У вираженні передавальної функції розімкнутої системи W(p) замінюють p на j? і отримують рівняння АФЧХ розімкнутої системи W(j?). Щоб побудувати АФЧХ, необхідно представити її складається з реальною і уявною частин:

,

 потім, задаючись значеннями w від 0 до ?: w = 0, w1, w2... Необхідно знайти точки [U(0), jV(0)]; [U(?1), jV(w1)]; [U(?2), jV(?2)]; ..., За якими побудувати АФЧХ на комплексній площині (Мал. 25).

Якщо разомкнутая система статична (Не має інтегруючих ланок), то при w = 0 її АФЧХ починається на дійсній осі в точці U(0) = k, де k - Коефіцієнт передачі розімкнутої системи. Закінчується АФЧХ при ? = ? на початку координат (рис.25, а).

Якщо система є астатичній (Має інтегрують ланки), то її АФЧХ починається при ? = 0 в нескінченності, оскільки в знаменнику амплітудно-фазової функції W(j?) Є множник (jw)r, де r - Порядок астатизма. відповідно при r = 1 характеристика W(j?) при ? = 0 йде в нескінченність вздовж негативною уявної півосі, при r = 2 - уздовж негативної дійсної півосі, а при r = 3 - уздовж позитивної уявної півосі (Мал. 25, б).

Разомкнутая система може бути стійкою і нестійкою. Критерій Найквіста для першого випадку формулюється так: якщо разомкнутая система стійка або знаходиться на межі стійкості, то для того, щоб замкнута система була стійкою, необхідно і достатньо, щоб амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої системи при зміні ? від 0 до ? неохоплювала точку з координатами (-1, j0).

на малюнку 25, а - Характеристика 1 і 4 відповідають стійким системам, характеристика 3 - нестійкою, а характеристика 2 - знаходженню системи на кордоні стійкості. Якщо, наприклад, зменшити коефіцієнт передачі в нестійкою системі, то її АФЧХ буде «стискатися» до початку координат, в результаті чого система стане стійкою. При збільшенні коефіцієнта передачі характеристика раніше стійкої системи в кінці кінців охопить точку (-1, j0) і система втратить стійкість.

Для судження про стійкість астатичній системи, що перебуває в нескінченності, початок її АФЧХ, відповідне ? = 0, треба подумки з'єднати з позитивною дійсною полуосью проти годинникової стрілки дугою нескінченного радіуса (Мал. 25, б). У разі стійкої системи точка (-1, j0) не повинна охоплюватися АФЧХ, подумки доповненої дугою, що з'єднує її з позитивної дійсної півосі. на малюнку 25, б суцільні криві 1, 2, 3 відносяться до стійким, а штрихові криві 1а, 2а, 3а - до нестійких систем з астатизмом відповідно 1-го, 2-го і 3-го порядків.

Відповідно до критерію Найквіста про стійкість можна судити не тільки по АФЧХ, але і спільно з АЧХ і ФЧХ розімкнутої системи. Зазвичай при цьому користуються логарифмічними характеристиками через простоту їх побудови. Стосовно до логарифмическим характеристикам критерій стійкості Найквіста для систем, стійких в розімкнутому стані, зводиться до того, що ЛАЧХ повинна перетнути вісь абсцис раніше, ніж фаза, спадаючи, остаточно перейде за значення  , Тобто на частоті зрізу ?с фаза повинна бути менше .

на малюнку 26 криві 1, 2 і 4 відповідають замкнутої стійкій системі, ЛФЧХ, показана пунктирною лінією, відповідає знаходженню замкнутої системи на кордоні стійкості, ЛФЧХ 3 - нестійкою замкнутій системі.

 При оцінці стійкості систем необхідно визначити запас стійкості, тобто ступінь віддаленості системи від кордону стійкості. Система, яка теоретично є стійкою, але знаходиться дуже близько до кордону стійкості, практично при її реалізації може виявитися нестійкою внаслідок неточності математичного опису системи, використаного при оцінці стійкості або через зміну параметрів системи.

У разі застосування критерію Гурвіца про запас стійкості можна судити по тому запасу, з яким виконуються входять до цей критерій нерівності.

При використанні критерію Михайлова і Найквіста запас стійкості визначається віддаленістю відповідних характеристик від критичного становища, при якому система знаходиться на межі стійкості. Для критерію Михайлова це буде віддаленість годографа D(j?) Від початку координат, а для критерію Найквіста - віддаленість характеристики W(j?) Від точки c координатами (-1, j0).

В якості запобіжного запасу стійкості використовується запас стійкості по фазі ? і запас стійкості по амплітуді h (Мал. 26).

Запас стійкості по фазі визначається величиною ?, На яку має зрости запізнювання по фазі в системі на частоті зрізу ?с, Щоб система виявилася на межі стійкості.

Запас стійкості по амплітуді визначається величиною h допустимого збільшення АЧХ, при якому система виявиться на межі стійкості. Запас по амплітуді є запас за коефіцієнтом передачі k розімкнутої системи по відношенню його до критичного по стійкості значенням.

При проектуванні САУ рекомендується вибирати ? ? 300, а h ? 6 дБ, що відповідає приблизно подвійному запасу коефіцієнта передачі по стійкості.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   Наступна

АГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ | Принцип управління по відхиленню | принцип адаптації | МАТЕМАТИЧНЕ ОПИС ЛІНІЙНИХ САУ |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати