Головна

Поняття диференціала функції

  1. I. 1. 1. Поняття про психологію
  2. I. 1. 3. Поняття про свідомість
  3. I.2.1) Поняття права.
  4. II. 4.1. Поняття про особистість в психології 1 сторінка
  5. II. 4.1. Поняття про особистість в психології 2 сторінка
  6. II. 4.1. Поняття про особистість в психології 3 сторінка
  7. II. 4.1. Поняття про особистість в психології 4 сторінка

Визначення. Якщо приріст функції  в точці  можна представити у вигляді  , де  - Число, а  - Б.м. при  , То величина  називається диференціалом функції  в точці  (Головною частиною приросту).

теорема (Про диференціалі). Для того, щоб функція  мала диференціал в точці  , Необхідно і достатньо, щоб існувала похідна  , при цьому . (Тобто  ).

З цієї теореми стає зрозумілим, чому існування похідної у функції і існування диференціала називаються одним словом- дифференцируемость.

приклад: Нехай y = ax + b, тоді  , зокрема  . Тому диференціал функції  позначають у вигляді  , А її похідну записують як відношення диференціалів

.

З'ясуємо геометричний зміст диференціала. оскільки  то  . Тому  дорівнює збільшенню координати дотичної, проведеної до графіка функції  в точці  при збільшенні  аргументу  (Мал.). Приріст функції | DB | складається з диференціала | ВС | і б.м. величини вищого порядку малості в порівнянні з  . Якщо в співвідношенні

,

знехтувати цією величиною, то отримуємо формулу для наближеного обчислення значень функції в точці ,  . Y

D

C

A

B

0 X

рис 10

Приклад. обчислити наближено .

маємо

.

Правила обчислення диференціала безпосередньо випливають з правил обчислення похідних.

нехай функції и  діфференцируєми в точці, тоді

1)  , Де з - число.

2) .

3)  , якщо .

4) Якщо функція  диференційована в точці x, а  у відповідній точці u, то для складної функції ,

.

Це правило називають инвариантностью форми диференціала. для функції  диференціал  , Як у випадку, коли u- незалежна змінна, так і в разі, коли  є функція іншої змінної x.

Контрольні питання:

1. Сформулюйте визначення похідної. Який її механічний і геометричний зміст?

2. Сформулюйте правило логарифмічного диференціювання. Наведіть приклад.

3. Формули диференціювання ступеня функції з будь-яким дійсним показником, показовою функції, складної показовою функції.

4. Формула диференціювання складної функції. Наведіть приклади.

5. Теорема про похідну оберненої функції.

6. Формули диференціювання зворотних тригонометричних функцій.

7. Сформулюйте визначення диференціала функції. У чому полягає властивість інваріантності форми диференціала функції?

8. На чому грунтується застосування диференціала в наближених обчисленнях?

література:

[2] Глава 4 § 4.1-4.8 стор. 127-150

[19] 3.1-3.2 стор. 180-188

[18] § 9.1-9.8 стор. 235-265

[20] § 9.1-9.8 стор. 157-187

Тема лекції: прозводное і диференціали вищих порядків. Основні теореми диференціального (2 години)

8.1. Похідні і диференціали вищих порядків.похідна  називається ще першої похідної функції  або похідною першого порядку, сама функція  називається похідною нульового порядку.

Визначення. похідною  - Го порядку функції називається похідна від її похідної (  -1) Порядку за умови, що ці похідні існують

, =1,2,3, ...

функція f при цьому називається  раз дифференцируемой ..

Приклад.дано .

перша похідна ,

друга похідна ,

третя похідна .

отже,

, .

Ця функція нескінченно диференційована для  , Тобто вона має похідні всіх порядків. Для суми і твори  -раз диференціюються и  справедливі наступні правила диференціювання (  ):

1. , .

2. Формула Лейбніца:

; .

Без докази.

Приклад. обчислити  за формулою Лейбніца.

.

Зауважимо, що и  , тому  при  і наступні складові також дорівнюють нулю, отже,

.

нехай функція  -раз дифференцируема.



Попередня   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   Наступна

Межа змінної величини. Межа послідовності. | Дамо визначення меж функції при | Нескінченно малі і нескінченно великі функції. | Другий чудовий межа | Нескінченно великі функції та їх властивості | безперервність функції | Класифікація точок розриву | Властивості функцій, неперервних на відрізку | Завдання, що призводять до поняття похідної | Диференціювання складної функції |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати