Головна |
Визначення. функція y=F (x) називається нескінченно великий (Б.Б.) при x® a, якщо
.
Це позначається символом , Хоча межа цієї функцій при не існує.
Приклад. функція є Б.Б. функцією при , так як
.
Очевидно, що будь-яка Б.Б. функція не обмежена в околиці точки .
якщо і в деякій околиці точки а функція (відповідно ), То ще пишуть (відповідно ).
Відзначимо наступні властивості Б.Б. функцій.
1) Сума двох Б.Б. одного знака при є Б.Б. при .
2) Сума Б.Б. функції при і обмеженою в околиці точки а функції є Б.Б. при .
Приклад. , Так як х- є б. б. при , а б. м., отже, обмежена функція при .
3) якщо б. б. при , а в деякій околиці точкиа, то функція є б. б. при . Зокрема, твір двох б. б. і твір б. б. на функцію, що має ненульовий межа, є б. б.
Приклад. , Так як х - Б.Б. і .
4) якщо б. б. при , то б.м. при .
5) якщо б.м. при и при то є Б.Б. при .
приклад: , так як б. б. одного знака при .
Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих
Визначення. нескінченно мала називається б.м. вищого порядку малості в порівнянні з б.м. при в разі, якщо знайдеться б.м. при така, що . відповідне позначення .
приклад: при , так як и є б.м. при .
при :
Визначення. нескінченно малі при називаються еквівалентними, якщо . позначення ~ . Подібне визначення дається і для Б.Б. функції.
Приклад. Б. м еквівалентні при , Це випливає з першого чудового краю.
Це відношення еквівалентності задовольняє трьом властивостям
1) ~ ;
2) ~ ~ ;
3) якщо ~ и ~ , то ~ .
Теорема. з ~ випливає, що .
Теорема. нехай є б. м. при , Тоді:
1) ;
2) ~ ;
3) ~ ;
4) ~ ;
5) ~ ;
6) ~ , ;
7) ~ .
Ці еквівалентні б.м. дозволяють більш просто обчислювати деякі межі за допомогою наступної теореми.
Теорема. нехай ~ при , тоді
.
При цьому обидва записаних межі існують одночасно. Якщо один з виразів б. б., то інше також є б. б.
Приклад. ,
так як ~ ~ ~ ~ .
Безлічі. логічна символіка | Операції над множинами. | Обмежено, якщо воно обмежене як зверху, так і знизу. В іншому випадку, воно називаетсянеограніченним. | Функція. Основні властивості функцій | приклади | Способи завдання. | Елементи поведінки функції | Межа змінної величини. Межа послідовності. | Дамо визначення меж функції при | Нескінченно малі і нескінченно великі функції. |