загрузка...
загрузка...
На головну

Векторна алгебра 3 сторінка

  1. 1 сторінка
  2. 1 сторінка
  3. 1 сторінка
  4. 10 сторінка
  5. 11 сторінка
  6. 2 сторінка
  7. 3 сторінка

Однак із отриманих серій рішень слід виключити числа виду

Таким чином, рішення заданого рівняння - числа виду  за винятком чисел виду  де

б) Вибірку коренів будемо здійснювати шляхом перебору цілих значень

Із серії коренів  відмінних від  Щоб знайти найменший шуканий корінь з цієї серії вирішимо нерівність  в цілих числах. отримаємо:  Звідси ясно, що шуканий найменший корінь обчислюється за формулою  при  Далі, кожен наступний корінь отримаємо шляхом додавання до нього числа  Результати будемо заносити в таблицю. Сторонні корені по ходу будемо відсіювати, враховуючи умову

Аналогічно знайдемо коріння з серії  відмінні від

Таким чином, ми знайшли 42 кореня, що належать заданому відрізку.

Зауваження.

Запис безлічі коренів заданого рівняння може виглядати так:

Відповідь: а)  за винятком чисел виду  де  б) всього 42 кореня (див. таблицю).

51. C 2 № 505174. У правильній трикутній піраміді SABC з підставою ABC бічне ребро дорівнює 3, а сторона основи дорівнює 2. Знайдіть відстань від вершини A до площини SBC.

Рішення.

нехай SO - Висота піраміди. тоді

нехай V - Обсяг піраміди, тоді

З іншого боку,  де h - Шукане відстань.

У трикутнику SBC висота SM дорівнює

Площа трикутника SBC дорівнює  Отримуємо, що

відповідь:

52. C 2 № 504416. У правильній трикутній піраміді SABC бічне ребро SA = 5, а сторона підстави AB = 4. Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Рішення.

 У трикутнику BCS проведемо висоту BK, тоді шукане перетин - трикутник ABK . нехай Q - площа трикутника ABK . Перетин з умови розбиває піраміду на тетраедри CAKB и SAKB . Їх сумарний обсяг

дорівнює обсягу піраміди.

нехай - SO висота піраміди. У трикутнику SCO маємо:

обсяг піраміди SABC дорівнює

Прирівнюючи два знайдених значення для обсягу, отримуємо

відповідь: .

53. C 2 № 501945. У правильної чотирикутної піраміді  з вершиною  боку підстави рівні  а бічні ребра рівні  Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через точку  і середину ребра  паралельно прямий

Рішення.

 нехай точка  - Середина ребра  відрізок  перетинає площину  в точці  У трикутнику  крапка  є точкою перетину медіан, отже,  де  - Центр основи піраміди. відрізок  паралельний  і проходить через точку  (крапка  належить ребру  - ребру  ), Звідки

чотирикутник  - Шукане перетин. відрізок  - Медіана трикутника  значить,

оскільки пряма  перпендикулярна площині  діагоналі и  чотирикутника  перпендикулярні, отже,

відповідь:

54. C 2 № 501416. довжини ребер BC, BB1 и BA прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнюють відповідно 8, 12 і 9. Знайдіть відстань від вершини D1 до прямої A1C.

Рішення.

 Опустимо з точки  перпендикуляр  на пряму  Так як  то  а, значить, відрізок  - Висота прямокутного трикутника  звідки  Далі знаходимо:

відповідь:

55. C 2 № 484559. У правильній трикутній піраміді  з підставою  відомі ребра  Знайдіть кут, утворений площиною основи і прямої, що проходить через середини ребер и

Рішення.

нехай и  - Середини ребер и  відповідно.  - Медіана правильного трикутника  отже, знаходиться за формулою  пряма  проектується на площину підстави і пряму  Тому проекція точки  - крапка  - Лежить на відрізку  Значить, пряма  є проекцією прямої  отже, кут  - Шуканий.

 де  - Центр підстави, значить,  - Середня лінія трикутника  тому  тоді и  З прямокутного трикутника  знаходимо:

З прямокутного трикутника  знаходимо:

Значить, шуканий кут дорівнює

відповідь:

56. C 2 № 500408. Крапка  - Середина ребра  куба  Знайдіть кут між прямими и

Рішення.

 Приймемо ребро куба за  тоді  Проведемо через точку  пряму, паралельну  Вона перетинає продовження ребра  в точці  причому  Шуканий кут дорівнює куту  (Або суміжному з ним).

У прямокутному трикутнику  з прямим кутом

У прямокутному трикутнику  з прямим кутом

У трикутнику  по теоремі косинусів

звідки  а тоді

відповідь: .

Примітка.

Відповідь може бути представлений і в іншому вигляді:

57. C 2 № 501985. У правильної чотирикутної піраміді MABCD з вершиною M боку підстави рівні 6, а бічні ребра рівні 12. Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через точку C і середину ребра MA паралельно прямий BD.

Рішення.

нехай точка  - Середина ребра  відрізок  перетинає площину  в точці  У трикутнику  крапка  є точкою перетину медіан, отже,  де  - Центр основи піраміди. відрізок  паралельний  і проходить через точку  (крапка  належить ребру  -ребру  ), Звідки

чотирикутник  - Шукане перетин. відрізок  - Медіана трикутника  значить,

оскільки пряма  перпендикулярна площині  діагоналі и  чотирикутника  перпендикулярні, отже,

Відповідь: 24.

58. C 2 № 500816. Сторона підстави правильної трикутної призми  дорівнює  , А діагональ бічної грані дорівнює  Знайдіть кут між площиною  і площиною основи призми.

Рішення.

 позначимо  середину ребра  Так як трикутник  рівносторонній, а трикутник  - Рівнобедрений, відрізки и  перпендикулярні  отже,  - Лінійний кут двогранного кута з гранями и  з трикутника  знайдемо  з трикутника  знайдемо

з трикутника  знайдемо:

Шуканий кут дорівнює

відповідь:

59. C 2 № 484576. У правильної шестикутної призми  боку підстави якої рівні 4, а бічні ребра рівні 3, знайдіть відстань від точки В до прямої .

Рішення.

Так як ABCDEF правильний шестикутник, то прямі BE и CD паралельні, паралельні також прямі и  , Отже, прямі и  паралельні. Відстань від точки B до прямої  , Дорівнює відстані між прямими и .

У трапеції :

, , , ,

тоді

.

відповідь: .

60. C 2 № 505237. Косинус кута між бічною гранню і основою правильної трикутної піраміди дорівнює  Знайдіть кут між бічними гранями цієї піраміди.

Рішення.

 нехай  - Дана піраміда з вершиною  - Її висота,  - середина ,  - Висота трикутника  кут  - Кут між бічною гранню піраміди і підставою.

нехай  тоді

Знайдемо площу трикутника  двома способами:  значить,

ребро  перпендикулярно площині  тому и  перпендикулярні, отже, площина  перпендикулярна ребру  Шуканий кут між бічними гранями дорівнює куту при вершині рівнобедреного трикутника

відповідь:



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Векторна алгебра 1 сторінка | Векторна алгебра 5 сторінка | Векторна алгебра 6 сторінка | Векторна алгебра 7 сторінка | Векторна алгебра 8 сторінка | Векторна алгебра 9 сторінка | Векторна алгебра 10 сторінка | Векторна алгебра 11 сторінка | Векторна алгебра 12 сторінка | Векторна алгебра 13 сторінка |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати