Головна |
Однак із отриманих серій рішень слід виключити числа виду
Таким чином, рішення заданого рівняння - числа виду за винятком чисел виду де
б) Вибірку коренів будемо здійснювати шляхом перебору цілих значень
Із серії коренів відмінних від Щоб знайти найменший шуканий корінь з цієї серії вирішимо нерівність в цілих числах. отримаємо: Звідси ясно, що шуканий найменший корінь обчислюється за формулою при Далі, кожен наступний корінь отримаємо шляхом додавання до нього числа Результати будемо заносити в таблицю. Сторонні корені по ходу будемо відсіювати, враховуючи умову
Аналогічно знайдемо коріння з серії відмінні від
Таким чином, ми знайшли 42 кореня, що належать заданому відрізку.
Зауваження.
Запис безлічі коренів заданого рівняння може виглядати так:
Відповідь: а) за винятком чисел виду де б) всього 42 кореня (див. таблицю).
51. C 2 № 505174. У правильній трикутній піраміді SABC з підставою ABC бічне ребро дорівнює 3, а сторона основи дорівнює 2. Знайдіть відстань від вершини A до площини SBC.
Рішення.
нехай SO - Висота піраміди. тоді
нехай V - Обсяг піраміди, тоді
З іншого боку, де h - Шукане відстань.
У трикутнику SBC висота SM дорівнює
Площа трикутника SBC дорівнює Отримуємо, що
відповідь:
52. C 2 № 504416. У правильній трикутній піраміді SABC бічне ребро SA = 5, а сторона підстави AB = 4. Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через ребро AB перпендикулярно ребру SC .
Рішення.
У трикутнику BCS проведемо висоту BK, тоді шукане перетин - трикутник ABK . нехай Q - площа трикутника ABK . Перетин з умови розбиває піраміду на тетраедри CAKB и SAKB . Їх сумарний обсяг
дорівнює обсягу піраміди.
нехай - SO висота піраміди. У трикутнику SCO маємо:
обсяг піраміди SABC дорівнює
Прирівнюючи два знайдених значення для обсягу, отримуємо
відповідь: .
53. C 2 № 501945. У правильної чотирикутної піраміді з вершиною боку підстави рівні а бічні ребра рівні Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через точку і середину ребра паралельно прямий
Рішення.
нехай точка - Середина ребра відрізок перетинає площину в точці У трикутнику крапка є точкою перетину медіан, отже, де - Центр основи піраміди. відрізок паралельний і проходить через точку (крапка належить ребру - ребру ), Звідки
чотирикутник - Шукане перетин. відрізок - Медіана трикутника значить,
оскільки пряма перпендикулярна площині діагоналі и чотирикутника перпендикулярні, отже,
відповідь:
54. C 2 № 501416. довжини ребер BC, BB1 и BA прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 дорівнюють відповідно 8, 12 і 9. Знайдіть відстань від вершини D1 до прямої A1C.
Рішення.
Опустимо з точки перпендикуляр на пряму Так як то а, значить, відрізок - Висота прямокутного трикутника звідки Далі знаходимо:
відповідь:
55. C 2 № 484559. У правильній трикутній піраміді з підставою відомі ребра Знайдіть кут, утворений площиною основи і прямої, що проходить через середини ребер и
Рішення.
нехай и - Середини ребер и відповідно. - Медіана правильного трикутника отже, знаходиться за формулою пряма проектується на площину підстави і пряму Тому проекція точки - крапка - Лежить на відрізку Значить, пряма є проекцією прямої отже, кут - Шуканий.
де - Центр підстави, значить, - Середня лінія трикутника тому тоді и З прямокутного трикутника знаходимо:
З прямокутного трикутника знаходимо:
Значить, шуканий кут дорівнює
відповідь:
56. C 2 № 500408. Крапка - Середина ребра куба Знайдіть кут між прямими и
Рішення.
Приймемо ребро куба за тоді Проведемо через точку пряму, паралельну Вона перетинає продовження ребра в точці причому Шуканий кут дорівнює куту (Або суміжному з ним).
У прямокутному трикутнику з прямим кутом
У прямокутному трикутнику з прямим кутом
У трикутнику по теоремі косинусів
звідки а тоді
відповідь: .
Примітка.
Відповідь може бути представлений і в іншому вигляді:
57. C 2 № 501985. У правильної чотирикутної піраміді MABCD з вершиною M боку підстави рівні 6, а бічні ребра рівні 12. Знайдіть площу перерізу піраміди площиною, що проходить через точку C і середину ребра MA паралельно прямий BD.
Рішення.
нехай точка - Середина ребра відрізок перетинає площину в точці У трикутнику крапка є точкою перетину медіан, отже, де - Центр основи піраміди. відрізок паралельний і проходить через точку (крапка належить ребру -ребру ), Звідки
чотирикутник - Шукане перетин. відрізок - Медіана трикутника значить,
оскільки пряма перпендикулярна площині діагоналі и чотирикутника перпендикулярні, отже,
Відповідь: 24.
58. C 2 № 500816. Сторона підстави правильної трикутної призми дорівнює , А діагональ бічної грані дорівнює Знайдіть кут між площиною і площиною основи призми.
Рішення.
позначимо середину ребра Так як трикутник рівносторонній, а трикутник - Рівнобедрений, відрізки и перпендикулярні отже, - Лінійний кут двогранного кута з гранями и з трикутника знайдемо з трикутника знайдемо
з трикутника знайдемо:
Шуканий кут дорівнює
відповідь:
59. C 2 № 484576. У правильної шестикутної призми боку підстави якої рівні 4, а бічні ребра рівні 3, знайдіть відстань від точки В до прямої .
Рішення.
Так як ABCDEF правильний шестикутник, то прямі BE и CD паралельні, паралельні також прямі и , Отже, прямі и паралельні. Відстань від точки B до прямої , Дорівнює відстані між прямими и .
У трапеції :
, , , ,
тоді
.
відповідь: .
60. C 2 № 505237. Косинус кута між бічною гранню і основою правильної трикутної піраміди дорівнює Знайдіть кут між бічними гранями цієї піраміди.
Рішення.
нехай - Дана піраміда з вершиною - Її висота, - середина , - Висота трикутника кут - Кут між бічною гранню піраміди і підставою.
нехай тоді
Знайдемо площу трикутника двома способами: значить,
ребро перпендикулярно площині тому и перпендикулярні, отже, площина перпендикулярна ребру Шуканий кут між бічними гранями дорівнює куту при вершині рівнобедреного трикутника
відповідь:
Векторна алгебра 1 сторінка | Векторна алгебра 5 сторінка | Векторна алгебра 6 сторінка | Векторна алгебра 7 сторінка | Векторна алгебра 8 сторінка | Векторна алгебра 9 сторінка | Векторна алгебра 10 сторінка | Векторна алгебра 11 сторінка | Векторна алгебра 12 сторінка | Векторна алгебра 13 сторінка |