На головну

I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин

  1. D АD ® D рівноважного ВНП ® величина повного ВНП
  2. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  3. Абсолютні величини
  4. Абсолютні статистичні величини, їх види та одиниці віміру
  5. Абсолютні статистичні величини, одиниці їх вимірювання
  6. абсолютні величини, що характеризують обсяг явища за певний період часу - результат процесу.

1. Біноміальний розподіл

 , 0 <p<1, k= 0,1,2, ...,n.

2. Розподіл Пуассона

, a> 0, k= 0,1,2, ...

3. Геометричний розподіл

 , 0 <p<1, k= 0,1,2, ...

4. Гіпергеометричний розподіл

, k= 0,1,2, ...,min (M, n).

II. Приклади деяких розподілів неперервних випадкових величин

1. Рівномірний розподіл

 , -? <a<b<+ ?.

2. Нормальний розподіл (з параметрами (А, ?))

 , -? <a<+ ?, ?> 0.

3. Показовий розподіл

4. Розподіл Коші

.

приклад 25. Сировина на завод привозять від 3-х незалежно працюючих постачальників на автомашинах. Імовірність прибуття автомашини від першого постачальника дорівнює 0,2; від другого - 0,3; від третього - 0,1. Скласти закон розподілу числа прибулих машин. Знайти математичне сподівання М (Х), дисперсію D (X) і середнє відхилення ? (Х) випадкової величини X. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік.

Рішення. Для знаходження числових характеристик випадкової величини X - Числа прибулих автомашин, необхідно скласти закон її розподілу, який в загальному вини записується у вигляді таблиці так:

X х1 х2  ... xn
P p1 p2  ... pn

де хi, - Можливі значення дискретної випадкової величини X, Pt = Р (Х = хi) - ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення хi, причому .

Для даного випадку маємо:

хi
pi p1 p2 p3 p4

Треба знайти значення ймовірностей pi . рівність X = 0 означає,що на завод не прибуде жодна з трьох автомашин. отже: p1= Р (Х = 0) = 0,8 · 0,7 · 0,9 = 0,504 (по теоремі умноженіявероятностей незалежних подій).

рівність X = 1 означає, що на завод прибуде тільки Одназ трьох автомашин. Користуючись теоремою складання вероятностейнесовместних подій і теоремою множення незалежних подій, знайдемо значення р2:

p2 = Р (Х = 1) = 0,2 · 0,7 · 0,9 + 0,8 · 0,3 · 0,9 + 0,8 · 0,7 · 0,1 = 0,398.

Міркуючи аналогічно, знайдемо р3 и р4:

р3 = 0,2 · 0,3 · 0,9 + 0,8 · 0,3 · 0,1 + 0,2 · 0,7 · 0,1 = 0,092,

р4 = 0,2 · 0,3 · 0,1 = 0,006.

Запишемо закон розподілу:

хi
pi  0,504  0,398  0,092  0,006

Для обчислення математичного очікування М (Х), дисперсії Р (Х) і середнього квадратичного відхилення ? (Х) воспользуемсяформуламі наведеними вище:

М (Х) = 0 · 0,504 +1 · 0,398 + 2 · 0,092 + 3 · 0,06 = 0,6,

D (X) = 0 · 0,504 +1 · 0,398 + 4 · 0,092 + 9 · 0,06 - 0,62 = 0,46,

? (Х) = 0,678.

Знайдемо функцію розподілу F (x) = Р (Х <х):

якщо х ? 0, то F (x) = 0,

 якщо 0 < х ? 1, то F (x) = 0,504,

якщо 1 < х ? 2, то F (x) = 0,504 + 0,398 = 0,902,

якщо 2 < х ?3, то F (x) = 0,902 + 0,092 = 0,994,

якщо х> 3, то F {x) = 0,994 + 0,006 = 1.

Таким чином:

Побудуємо графік цієї функції:

Мал. 4.

приклад 26. Випадкова величина X задана інтегральною функцією (функцією розподілу) F (X). Потрібно знайти:

а) диференціальну функцію (щільність ймовірності);

б) математичне сподівання і дисперсію X;

в) побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій

.

Рішення. а) між інтегральної і диференціальної функціями неперервної випадкової величини виконується співвідношення F '({x) = f (x). В даному випадку будемо мати

б) числові характеристики випадкової величини визначаються за формулами:

,

тоді маємо

.

в) будуємо графіки функцій

Мал. 5 Рис. 6.

Приклад 27.Задані математичне очікування а і середнє відхилення ? нормально розподіленої служімой величини X: а = 8, ? = 2, ?= 4, ? = 14, ? = 6. Потрібно знайти:

а) ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (4; 14);

б) ймовірність того, що абсолютна величина відхилення X-a виявиться менше ?.

Рішення. а) ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (?; ?), Дорівнює

 (По таблиці значень функції Ф (х)? 0,4986 + 0,4772 = 0,9758;

б) ймовірність того, що абсолютна величина відхилення менше позитивного числа ? дорівнює  . В даному випадку маємо .



Попередня   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   Наступна

ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА | Теорема додавання ймовірностей n несумісних подій | Теореми множення ймовірностей подій | Теорема множення ймовірностей n подій | Теорема множення ймовірностей n незалежних подій | Формула повної ймовірності | формули Бейеса | повторення випробувань | Основні формули | Випадкові величини: дискретні і безперервні |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати