Головна |
нехай H1,H2, ...,Hn - Попарно-несумісні події, ймовірність яких P (Hi) ?0, (i = 1,2, ..., п)і подія АI H1 + H2+ ... + Нп, для якого відомі умовні ймовірності Р (А / Нk), (i = 1,2, ...,п). Зроблено досвід, в результаті якого з'явилося подія А.Умовні ймовірності подій
H1,H2, ...,Hn щодо події А визначаються формулами
або
де - Формула повної ймовірності.
формули називають формулами Бейеса.
Зауваження. ймовірності Р (Hk) (K= 1,2, ..., п) подій H1,H2, ...,Hn до досвіду називаються апріорними ймовірностями (Що означає «спершу», тобто в даному випадку до того, як був проведений досвід). ймовірності Р (Hk) (K= 1,2, ..., п) тих же подій називаються апостеріорними (Що означає «після», тобто в даному випадку після досвіду).
приклад 15. У п'яти ящиках знаходяться однакові за вагою та розмірами кулі. У двох ящиках - по 6 зелених і 4 червоних кулі (по ящик складу H1). У двох інших ящиках (складу H2) - По 8 зелених і 2 червоних кулі. В одному ящику (складу H3 ) - 2 зелених і 8 червоних куль. Навмання вибирається ящик, і з нього витягується куля. Витягнутий кулю виявився блакитним. Яка ймовірність того, що зелений куля витягнутий з ящика першого складу?
Рішення. позначимо через А подія, яка полягає в тому, що і i ящика витягнутий блакитна куля. З умови задачі випливає, що
; ; .
Імовірність вийняти блакитну кулю, якщо відомо, що взятий ящик складу H1,H2, ...,H3 відповідно дорівнюватимуть:
;
;
.
За формулою повної ймовірності знаходимо Р (А) = 0,4 - 0,6 + 0,4 - 0,8 + 0,2 - 0,2 = 0,6.
За формулою Бейеса знайдемо шукану ймовірність
.
приклад 16. На підприємстві виготовляються вироби певного виду на трьох поточних лініях. На першій лінії виробляється 30% виробів від загального обсягу їх виробництва, на другий - 25%, на третій - решта продукції. Кожна з ліній характеризується відповідно наступними відсотками придатності ліній: 97%, 98%, 96%. Навмання взятий виріб, випущене підприємством, виявилося бракованим. Визначити ймовірності того, що це виріб виготовлений на першій, другій і третій лініях.
Рішення. Введемо позначення: А - Подія, яка полягає в тому, що навмання взятий виріб виявилося бракованим; H1,H2, ...,H3 - гіпотези, що складаються в тому, що виріб виготовлений відповідно на першій, другій і третій лініях.
У відповідності до розділу завдання маємо:
; ; ; , , .
За формулою повної ймовірності отримуємо:
Р (А) = 0,30 - 0,03 + 0,25 - 0,02 + 0,45 - 0,04 = 0,032.
Відповідно до формули Бейеса знаходимо шукані ймовірності:
;
;
.
Павлідіс. В.Д. | ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА | Теорема додавання ймовірностей n несумісних подій | Теореми множення ймовірностей подій | Теорема множення ймовірностей n подій | Теорема множення ймовірностей n незалежних подій | Основні формули | Випадкові величини: дискретні і безперервні | Основні формули для обчислення числових характеристик | I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин |