загрузка...
загрузка...
На головну

показники варіації

  1. Абсолютні і відносні показники зміни структур
  2. Абсолютні і відносні показники зміни структури
  3. Безпека продовольчих товарів: поняття, показники, нормативна база.
  4. Квиток 5. Показники якості виробів військової техніки
  5. Найважливіші показники ефективності підприємства
  6. Вплив різних факторів на індикаторні показники двигуна з іскровим запалюванням.
  7. Вплив різних факторів на індикаторні показники дизеля.

При [xiv] статистичному дослідженні ознак різних статистичних сукупностей великий інтерес представляє вивчення варіації ознаки окремих статистичних одиниць сукупності, а також характеру розподілу одиниць за цією ознакою. варіація - Це відмінності індивідуальних значень ознаки у одиниць досліджуваної сукупності. Дослідження варіації має велике практичне значення. За ступенем варіації можна судити про межі варіації ознаки, однорідності сукупності за цією ознакою, типовості середньої, взаємозв'язку факторів, що визначають варіацію. Показники варіації використовуються для характеристики і впорядкування статистичних сукупностей.

Результати зведення і угруповання матеріалів статистичного спостереження, оформлені у вигляді статистичних рядів розподілу, є впорядковане розподіл одиниць досліджуваної сукупності на групи по об'єднувальних (варьирующему) ознакою. Якщо за основу угруповання взято якісної ознаки, то такий ряд розподілу називають атрибутивною (Розподіл за професією, по підлозі, за кольором і т.д.). Якщо ряд розподілу побудований за кількісною ознакою, то такий ряд називають варіаційним (Розподіл по росту, ваги, за розміром заробітної плати і т.д.). Побудувати варіаційний ряд - значить впорядкувати кількісний розподіл одиниць сукупності за значеннями ознаки, підрахувати число одиниць сукупності з цими значеннями (частоту), результати оформити в таблицю.

Замість частоти варіанти можливе застосування її відносини до загального обсягу спостережень, яке називається частостей (відносної частотою).

Виділяють два види варіаційного ряду: дискретний та інтервальний ряд. дискретний ряд - Це такий варіаційний ряд, в основу побудови якого покладено ознаки з переривчастим зміною (дискретні ознаки). До останніх можна віднести число працівників на підприємстві, тарифний розряд, кількість дітей в сім'ї і т.д. Дискретний варіаційний ряд представляє таблицю, яка складається з двох граф. У першій графі вказується конкретне значення ознаки, а в другій - число одиниць сукупності з певним значенням ознаки. Якщо ознака має безперервну зміну (розмір доходу, стаж роботи, вартість основних фондів підприємства і т.д., які в певних межах можуть приймати будь-які значення), то для цієї ознаки можлива побудова інтервального варіаційного ряду. Таблиця при побудові інтервального варіаційного ряду також має дві графи. У першій вказується значення ознаки в інтервалі «від - до» (варіанти), у другій - число одиниць, що входять в інтервал (частота). Частота (частота повторення) - число повторень окремого випадку значень ознаки. Інтервали можуть бути закриті і відкриті. Закриті інтервали обмежені з обох сторін, тобто мають кордон як нижню ( «від»), так і верхню ( «до»). Відкриті інтервали мають якусь одну кордон: або верхню, або нижню. Якщо варіанти розташовані за зростанням або спаданням, то ряди називаються ранжируваних.

Для варіаційних рядів існує два типи варіантів частотних характеристик: накопичена частота і накопичена частость. Накопичена частота показує, у скількох спостереженнях величина ознаки прийняла значення менше заданого. Накопичена частота визначається шляхом підсумовування значень частоти ознаки по даній групі з усіма частотами попередніх груп. Накопичена частость характеризує питому вагу одиниць спостереження, у яких значення ознаки не перевершують верхню межу даної групи. Таким чином, накопичена частость показує питому вагу варіант в сукупності, які мають значення не більш даного. Частота, частость, абсолютна і відносна щільності, накопичені частота і частость є характеристиками величини варіанта.

Варіації ознаки статистичних одиниць сукупності, а також характер розподілу вивчаються за допомогою показників і характеристик варіаційного ряду, до числа яких відносяться середній рівень ряду, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсія, коефіцієнти осциляції, варіації, асиметрії, ексцесу та ін.

Для характеристики центру розподілу застосовуються середні величини. Середня являє собою узагальнюючу статистичну характеристику, в якій отримує кількісне вираження типовий рівень ознаки, яким володіють члени досліджуваної сукупності. Однак можливі випадки збіги середніх арифметичних при різному характері розподілу, тому в якості статистичних характеристик варіаційних рядів розраховуються так звані структурні середні - мода, медіана, а також квантилі, які ділять ряд розподілу на рівні частини (квартили, децили, перцентілі і т.д. ).

Мода[Xv] - це значення ознаки, яке зустрічається в ряду розподілу частіше, ніж інші його значення. Для дискретних рядів - це варіанта, що має найбільшу частоту. В інтервальних варіаційних рядах з метою визначення моди необхідно визначити насамперед інтервал, в якому вона знаходиться, так званий модальний інтервал. У варіаційному ряду з рівними інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою частоті, в рядах з нерівними інтервалами - по найбільшої щільності розподілу. Потім для визначення моди в рядах з рівними інтервалами застосовують формулу

 (5.1)

де Mo - значення моди;  - Нижня межа модального інтервалу; h - Ширина модального інтервалу;  - Частота модального інтервалу;  - Частота домодального інтервалу;  - Частота послемодального інтервалу, а для ряду з нерівними інтервалами в цій формулі розрахунку замість частот , ,  слід використовувати щільності розподілу , , .

Зустрічаються ряди, які мають дві моди (бімодальний ряд) або кілька мод (полімодальний).

В інтервальному варіаційному ряду моду можна визначити графічно за допомогою гістограми. Для цього з верхніх точок найвищого стовпчика гістограми до верхніх точок двох суміжних стовпців проводять дві пересічні лінії. Потім з точки їх перетину опускають перпендикуляр на вісь абсцис. Значення ознаки на осі абсцис, що відповідає перпендикуляру, є модою. У багатьох випадках при характеристиці сукупності як узагальненого показника віддається перевага моді, а не середньої арифметичної.

медіана - Це центральне значення ознаки, їм володіє центральний член рангового ряду розподілу. У дискретних рядах, щоб знайти медіану, спочатку визначається її порядковий номер. Для цього при непарному числі одиниць до суми всіх частот додається одиниця, число ділиться на два. При парному числі одиниць в ряду буде дві середні одиниці, тому в цьому випадку медіана визначається як середня з значень двох середніх одиниць. Таким чином, медианой в дискретно варіаційному ряду є значення, яке ділить ряд на дві частини, що містять однакове число варіантів.

В інтервальних рядах після визначення порядкового номера медіани відшукується медіальний інтервал по нагромадженим частотах (частості), а потім за допомогою формули розрахунку медіани визначається значення самої медіани:

 , (5.2)

де Me - значення медіани;  - Нижня межа медіанного інтервалу; h - Ширина медіанного інтервалу;  - Сума частот ряду розподілу;  - Накопичена частота домедіанного інтервалу;  - Частота медіанного інтервалу.

Медіану можна відшукати графічно за допомогою кумуляти. Для цього на шкалі накопичених частот (частостей) кумуляти з точки, відповідної порядковому номеру медіани, проводиться пряма, паралельна осі абсцис, до перетину з кумуляти. Далі з точки перетину зазначеної прямий з кумуляти опускається перпендикуляр на вісь абсцис. Значення ознаки на осі абсцис, що відповідає проведеній ординате (перпендикуляру), є медіаною.

Медіана характеризується наступними властивостями.

1. Вона не залежить від тих значень ознаки, які розташовані по обидва боки від неї.

2. Вона має властивість мінімальності, яке полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани є мінімальну величину в порівнянні з відхиленням значень ознаки від будь-якої іншої величини.

3. При об'єднанні двох розподілів з відомими медианами неможливо заздалегідь передбачити величину медіани нового розподілу.

Ці властивості медіани широко використовується при проектуванні розташування пунктів масового обслуговування - шкіл, поліклінік, автозаправних станцій, водозабірних колонок і т.д. Наприклад, якщо в певному кварталі міста передбачається побудувати поліклініку, то розташувати її доцільніше в такій точці кварталу, яка ділить навпіл не довше кварталу, а число жителів.

Співвідношення моди, медіани і середньої арифметичної вказує на характер розподілу ознаки в сукупності, дозволяє оцінити симетричність розподілу. якщо  <Ме <Мо, то має місце лівостороння асиметрія ряду. Якщо Мо <Ме <  , То має місце правостороння асиметрія ряду. При нормальному розподілі  = Ме = Мо.

К. Пірсон на основі вирівнювання різних типів кривих визначив, що для помірно асиметричних розподілів справедливі такі наближені співвідношення між середньою арифметичною, медианой і модою:

 (5.3)

 (5.4)

де Me - значення медіани; Mo - значення моди;  - Значення середньої арифметичної.

Якщо виникає необхідність вивчити структуру варіаційного ряду більш детально, то обчислюють значення ознаки, аналогічні медіані. Такі значення ознаки ділять все одиниці розподілу на рівні чисельності, їх називають квантиль або градієнтами. Квантилі підрозділяються на квартили, децили перцентілі і т.п.

Квартили ділять сукупність на чотири рівні частини. Першу квартиль обчислюють аналогічно медіані по формулі розрахунку першої квартили, попередньо визначивши перший квартильное інтервал:

 , (5.5)

де  - Значення першої квартили;  - Нижня межа першого квартильное інтервалу; h - Ширина першого квартильное інтервалу; fi - Частоти інтервального ряду;  - Накопичена частота в інтервалі, що передує першому квартильное інтервалу;  - Частота першого квартильное інтервалу.

Перша квартиль показує, що 25% одиниць сукупності менше її значення, а 75% - більше. Друга квартиль дорівнює медіані.

За аналогією розраховують третю квартиль, попередньо відшукавши третій квартильное інтервал.

 , (5.6)

де  - Значення третьої квартили;  - Нижня межа третього квартильное інтервалу; h - Ширина третього квартильное інтервалу; fi - Частоти інтервального ряду;  - Накопичена частота в інтервалі, що передує третьому квартильное інтервалу;  - Частота третього квартильное інтервалу.

Третя квартиль показує, що 75% одиниць сукупності менше її значення, а 25% - більше.

Різниця між третьою і першою квартилями є межквартільний інтервал:

 , (5.7)

де  - Значення межквартільного інтервалу;  - Значення третьої квартили;  - Значення першої квартили.

Децили ділять сукупність на 10 рівних частин. Деціль - це таке значення ознаки в ряду розподілу, якому відповідають десяті частки чисельності сукупності. За аналогією з квартилями перший дециль показує, що 10% одиниць сукупності менше його значення, а 90% - більше, а дев'ятий дециль виявляє, що 90% одиниць сукупності менше його значення, а 10% - більше. Співвідношення дев'ятого і першого децилів, тобто доцільний коефіцієнт, широко застосовується при вивченні диференціації доходів для вимірювання співвідношення рівнів доходів 10% найбільш забезпеченого і 10% найменш забезпеченого населення. Перцентілі ділять ранжувати сукупність на 100 рівних частин. Розрахунок, значення і застосування перцентилей аналогічні децилів.

Квартили, децили і інші структурні характеристики можна визначити графічно за аналогією з медіаною за допомогою кумуляти.

Для вимірювання розміру варіації використовуються наступні показники: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсія. Величина розмаху варіації цілком залежить від випадковості розподілу крайніх членів ряду. Цей показник становить інтерес в тих випадках, коли важливо знати, яка амплітуда коливань значень ознаки:

 , (5.8)

де  - Значення розмаху варіації;  - Максимальне значення ознаки;  - Мінімальне значення ознаки.

При розрахунку розмаху варіації значення переважної більшості членів ряду не враховується, в той час як варіація пов'язана з кожним значенням члена ряду. Цього недоліку позбавлені показники, що представляють собою середні, отримані з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини: середнє лінійне відхилення і середнє відхилення. Між індивідуальними відхиленнями від середньої і колеблемостью конкретного ознаки існує пряма залежність. Чим більше коливання, тим більше абсолютні розміри відхилень від середньої.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних величин відхилень окремих варіантів від їх середньої величини.

Середнє лінійне відхилення для несгрупірованних даних

 , (5.9)

де  - Значення середнього лінійного відхилення;  - Значення ознаки;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності; n - Число одиниць сукупності.

Середнє лінійне відхилення сгруппированного ряду [xvi]

 , (5.10)

де  - Значення середнього лінійного відхилення;  - Значення ознаки;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності;  - Число одиниць сукупності в окремій групі.

Знаки відхилень в даному випадку ігноруються, в іншому випадку сума всіх відхилень дорівнюватиме нулю. Середнє лінійне відхилення в залежності від угруповання аналізованих даних розраховується за різними формулами: для згрупованих і несгруппірованних даних. Середнє лінійне відхилення в силу його умовності окремо від інших показників варіації застосовується на практиці порівняно рідко (зокрема, для характеристики виконання договірних зобов'язань по рівномірності поставки; в аналізі обороту зовнішньої торгівлі, складу працюючих, ритмічності виробництва, якості продукції з урахуванням технологічних особливостей виробництва і т.п.).

Середнє квадратичне відхилення характеризує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення досліджуваного ознаки від середнього значення за сукупністю, і виражається в одиницях виміру досліджуваного ознаки. Середнє квадратичне відхилення, будучи одним з основних заходів варіації, широко використовується при оцінці меж варіації ознаки в однорідної сукупності, при визначенні значень ординат кривої нормального розподілу, а також в розрахунках, пов'язаних з організацією вибіркового спостереження та встановленням точності вибіркових характеристик. Середнє відхилення по несгруппірованних даними обчислюється за наступним алгоритмом - кожне відхилення від середньої зводиться в квадрат, всі квадрати підсумовуються, після чого сума квадратів ділиться на число членів ряду і з приватного витягується квадратний корінь:

 , (5.11)

де s - значення середнього квадратичного відхилення;  - Значення ознаки;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності; n - Число одиниць сукупності.

Для згрупованих аналізованих даних середнє відхилення даних розраховується по зваженої формулою

 , (5.12)

де s - значення середнього квадратичного відхилення; xi - Значення ознаки;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності;  - Число одиниць сукупності в окремій групі.

Вираз під коренем в обох випадках носить назву дисперсії. Таким чином, дисперсія обчислюється як середній квадрат відхилень значень ознаки від їх середньої величини. Для невиважених (простих) значень ознаки дисперсія визначається наступним чином:

 , (5.13)

Для зважених значень ознаки

 . (5.14)

Існує також спеціальний спрощений спосіб розрахунку дисперсії:

в загальному вигляді

 , (5.15)

для невиважених (простих) значень ознаки

 , (5.16)

для зважених значень ознаки [xvii]

 , (5.17)

 (5.18)

де s2 - Значення дисперсії; xi - Значення ознаки;  - Середнє значення ознаки, h - Величина групового інтервалу, mi - ваги (h = ami).

Дисперсія має самостійне вираз в статистиці і відноситься до числа найважливіших показників варіації. Вона вимірюється в одиницях, що відповідають квадрату одиниць вимірювання досліджуваного ознаки.

Дисперсія має такі властивості.

1. Дисперсія постійної величини дорівнює нулю.

2. Зменшення всіх значень ознаки на одну і ту ж величину А не змінює величини дисперсії. Це означає, що середній квадрат відхилень можна обчислити не по заданим значенням ознаки, а за відхиленнями їх від якогось постійного числа.

3. Зменшення всіх значень ознаки в k раз зменшує дисперсію в k2 раз, а середньоквадратичне відхилення - в k раз, тобто всі значення ознаки можна розділити на якесь постійне число (скажімо, на величину інтервалу ряду), обчислити середнє відхилення, а потім помножити його на постійне число.

4. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, В тій чи іншій мірі відрізняється від середньої арифметичної, то він завжди буде більше середнього квадрата відхилень, обчисленого від середньої арифметичної. Середній квадрат відхилень при цьому буде більше на цілком певну величину - на квадрат різниці середньої і цієї умовно взятої величини.

Варіація альтернативної ознаки полягає в наявності або відсутності досліджуваного властивості у одиниць сукупності. Кількісно варіація альтернативної ознаки виражається двома значеннями: наявність у одиниці досліджуваного властивості позначається одиницею (1), а його відсутність - нулем (0). Частку одиниць, які мають досліджуваним властивістю, позначають через P, А частку одиниць, що не володіють цією властивістю, - через G. Таким чином, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць, що володіють даними властивістю (P), На частку одиниць, даними властивістю не володіють (G). Найбільша варіація сукупності досягається у випадках, коли частина сукупності, складова 50% від всього обсягу сукупності, має ознаку, а інша частина сукупності, також рівна 50%, не володіє даними ознакою, при цьому дисперсія досягає максимального значення, рівного 0,25, т . Е. P = 0,5, G = 1 - P = 1 - 0,5 = 0,5 і ?2 = 0,5 ? 0,5 = 0,25.Ніжняя межа цього показника дорівнює нулю, що відповідає ситуації, при якій в сукупності відсутня варіація. Практичне застосування дисперсії альтернативної ознаки полягає в побудові довірчих інтервалів при проведенні вибіркового спостереження.

Чим менше значення дисперсії і середнього квадратичного відхилення, тим однорідні сукупність і тим більше типовою буде середня величина. У практиці статистики часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак. Наприклад, цікавим є порівняння варіацій віку робітників і їх кваліфікації, стажу роботи і розміру заробітної плати, собівартості і прибутку, стажу роботи і продуктивності праці і т.д. Для таких зіставлень показники абсолютного коливання ознак непридатні: не можна порівнювати коливання стажу роботи, вираженого в роках, з варіацією заробітної плати, вираженої в рублях. Для здійснення таких порівнянь, а також порівнянь коливання одного і того ж ознаки в декількох сукупностях з різними середніми арифметичними використовуються показники варіації - коефіцієнт осциляції, лінійний коефіцієнт варіації і коефіцієнт варіації, які показують, на скільки коливаються крайні значення навколо середньої.

коефіцієнт осциляції:

 , (5.19)

де  - Значення коефіцієнта осциляції;  - Значення розмаху варіації;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності.

Лінійний коефіцієнт варіації:

 , (5.20)

де  - Значення лінійного коефіцієнта варіації;  - Значення середнього лінійного відхилення;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності.

Коефіцієнт варіації:

 , (5.21)

де  - Значення коефіцієнта варіації; s - значення середнього квадратичного відхилення;  - Середнє значення ознаки для досліджуваної сукупності.

коефіцієнт осциляції - це процентне відношення розмаху варіації до середнього значення досліджуваного ознаки, а лінійний коефіцієнт варіації - це відношення середнього лінійного відхилення до середнього значення досліджуваного ознаки, виражене у відсотках. Коефіцієнт варіації являє собою процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середнього значення досліджуваного ознаки. Як величина відносна, виражена у відсотках, коефіцієнт варіації застосовується для порівняння ступеня варіації різних ознак. За допомогою коефіцієнта варіації оцінюється однорідність статистичної сукупності. Якщо коефіцієнт варіації менше 33%, то досліджувана сукупність є однорідною, а варіація слабкою. Якщо коефіцієнт варіації більше 33%, то досліджувана сукупність є неоднорідною, варіація сильної, а середня величина - нетиповою і її не можна використовувати як узагальнюючий показник цієї сукупності. Крім того, коефіцієнти варіації використовуються для порівняння коливання однієї ознаки в різних сукупностях. Наприклад, для оцінки варіації стажу роботи працівників на двох підприємствах. Чим більше значення коефіцієнта, тим варіація ознаки істотніше.

На основі розрахованих квартилей є можливість розрахувати також відносний показник квартильное варіації за формулою

 , (5.22)

де Q1, Q2 и Q3 - Відповідно перша, друга і третя квартили розподілу.

Межквартільний розмах визначається за формулою

 . (5.23)

Квартильное відхилення застосовується замість розмаху варіації, щоб уникнути недоліків, пов'язаних з використанням крайніх значень:

 . (5.24)

Для неравноінтервальних варіаційних рядів розраховується також щільність розподілу. Вона визначається як частка від ділення відповідної частоти або частості на величину інтервалу. У неравноінтервальних рядах використовуються абсолютна і відносна щільності розподілу. Абсолютна щільність розподілу - це частота, яка припадає на одиницю довжини інтервалу. Відносна щільність розподілу - частость, яка припадає на одиницю довжини інтервалу.



Попередня   29   30   31   32   33   34   35   36   37   38   39   40   41   42   43   44   Наступна

Типові приклади | Матеріали для обговорення і контролю знань | Завдання для самостійного рішення | Тести для самоперевірки | Абсолютні і відносні величини | Середні величини | Типові приклади | Рішення | Рішення | Завдання для самостійного рішення |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати