загрузка...
загрузка...
На головну

Диференціальне рівняння затухаючих коливань

  1. Автогенератори гармонійних коливань на інтегральних мікросхемах
  2. Аналіз часових рядів при наявності періодичних коливань: адитивна і мультиплікативна моделі.
  3. Вибіркове рівняння регресії
  4. Генератори релаксаційних (імпульсних) коливань.
  5. Генератори синусоїдальних коливань.
  6. геометричне рівняння
  7. Д.1 Диференціальне рівняння нерівномірного руху в призматичних руслах.

У всякій реальної коливальної системі є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. У найбільш часто зустрічається випадку сила опору F пропорційна величині швидкості.

 . (20.1)

деr - коефіцієнт опору середовища. Знак мінус обумовлений тим, що сила тертя і швидкість мають протилежні напрямки.

При наявності сил опору другої закон Ньютона, має вигляд:

 . (20.2)

Застосувавши позначення:  , і  отримаємо диференціальне рівняння затухаючих коливань:

 , (20.3)

де ? -коефіцієнт загасання, він визначає, як швидко амплітуда коливань зменшується до нуля, ?0- власна частота коливань - частота, з якою відбувалися б вільні коливання системи при відсутності опору середовища.

Вільні затухаючі коливання - Коливання, амплітуда яких зменшується з плином часу через втрати енергії реальною коливальні системи.

Рішенням рівняння (20.3) є вираз

 , (20.4)

?-циклічна частота згасаючих коливань, яка пов'язана з власною частотою співвідношенням

 . (20.5)

При підстановці значення коефіцієнта загасання в формулу (20.5) отримаємо

 . (20.6)

З рівняння (20.3) видно, що амплітуда А змінюється за експоненціальним законом:

 , (20.7)

де А0- початкова амплітуда,А - амплітуда згасаючих коливань.

Залежність (20.4) .показана на ріс.20.1 суцільною лінією. А пунктирними лініями показані межі, в яких знаходяться зміщення коливань точки х. або функція зміни амплітуди описана рівнянням (20.7).

Проміжок часу t = 1/ d- протягом, якого амплітуда згасаючих коливань зменшується в ераз, називається - часом релаксації.

 Ріс.20.1

Затухаючі коливання не є періодичними, і строго кажучи, до них не можна застосувати поняття періоду або частоти. Однак, при малих загасання можна умовно користуватися поняттям періоду як проміжку часу між двома наступними максимумами хитається фізичної величини, тоді період згасаючих коливань з урахуванням формули (20.6) визначається як:

 . (20.8)

Якщо амплітуди двох послідовних коливань A(t) і A(t + T) Відрізняються на період, то їхнє ставлення називається декрементом загасання.

 (20.9)

логарифм цього виразу називається - логарифмическим декрементом загасання ?

 , (20.10)

Ne--число коливань, що здійснюються за час зменшення амплітуди в е раз.

Для даної коливальної системи логарифмічний декремент загасання величина постійна.

Для характеристики коливальної системи користуються поняттям добротності Q, Яка при малих значеннях логарифмічного декремента дорівнює:

 . (20.11)

З формули (20.12) випливає, що добротність пропорційна числу коливань Ne здійснюються системою за час релаксації.

Наприклад, добротність пружинного маятника

 . (20.12)

При збільшенні коефіцієнта загасання період згасаючих коливань зростає і при ? = ?0 перетворюється в нескінченність, тобто рух перестає бути періодичним. Величина, що коливається прагне до нуля, процес не буде коливальним. Такий процес називається апериодическим.

За умови  (Тобто виконується співвідношення ?0 ~ ?) Коливальна система приходить в стан рівноваги за найкоротший час. Таке явище називається демпфуванням. Прикладами систем, в яких демпфірування виявляється корисним, є пристрої для закривання дверей і амортизатори автомобілів. Зазвичай їх конструюють таким чином, щоб згасання було критичним (демпфірованним). Однак у міру зносу цих пристроїв демпфірування послаблюється, двері починають плескати, автомобіль розгойдується, наїжджаючи на нерівності дороги. Явище демпфірування застосовується при проектуванні інерційних ременів безпеки - в автомобілях. Ця ідея також може бути впроваджена у вигляді поясів безпеки для виконання зовнішніх висотних, ремонтних і будівельних робіт (тому що в даний час виникає потреба впровадження нової будівельної спеціальності - міський альпінізм).

За останнє десятиліття стався зсув щодо проектувальників до обліку взаємодії споруд з грунтовими підставами. Практично у всіх проектах в тій чи іншій формі приймається до уваги податливість підстави.

Найбільш поширений підхід до моделювання взаємодії споруд з грунтом - "платформенная модель". Суть його полягає в тому, що сейсмічна дія подається на жорстку платформу, на якій за допомогою певного підвісу закріплена модель споруди. Зазвичай цей підвіс включає в себе розподілені пружини і демпфери. Перевага "платформної моделі" - можливість проведення її розрахунку за допомогою тих же програм, що і розрахунку споруди на жорсткій основі.

Для споруд на жорстких фундаментах поверхневого закладення і для вертикально поширюються сейсмічних хвиль в горизонтально-шаруватого середовищі така модель є точною при тому додатковому умови, що жорсткісні і демпфирующие властивості (здатність до загасання вимушених коливань) підвісу точно моделюють динамічні характеристики штампа на грунтовому підставі. Вважається, що для заснування у вигляді однорідного півпростору динамічні характеристики (жорсткості) з достатньою точністю можуть бути представлені пружинами, а демпфирующие - грузлими демпферами.

У загальному випадку властивості пружин і демпферів, що моделюють динамічні жорсткості основи у вигляді жорсткого штампа з лінійними властивостями як функції частоти. Однак поки в більшості розрахунків за основу береться статична жорсткість штампа (іноді вона визначається досить витонченими методами), а демпфірування враховується або завданням модальних коефіцієнтів на рівні приблизно 5%, або постановкою так званих "акустичних" що не відображають кордонів (розподілених демпферів).

Існує багато способів штучного введення тертя в систему. Це може бути здійснено, наприклад, електричним способом, проте можливі і чисто механічні методи демпфірування. Ось деякі з них:

1. В'язке тертя в рідині. Простим прикладом є гідравлічний демпфер, який складається з поршня, що переміщається в циліндрі; тертя виникає при перетікання рідини (часто замість рідини використовується повітря) в тонкому зазорі між поршнем і стінкою циліндра. У деяких інших пристроях використовуються лопаті, рухомі в маслі або силіконової рідини.

2. Матеріали з високим рівнем розсіювання енергії. При ударі по "дзвону", виготовленому зі спеціального сплаву міді та марганцю, замість дзвону чується глухий стукіт. У амортизувальних опорах часто використовують гуму; це частково пов'язано з її високими демпфірувальними характеристиками. Лопатки компресорів газових турбін іноді виготовляють з волокнистих полімерних матеріалів, які володіють значним внутрішнім тертям.

3. Демпфіруючі покриття панелей. Існують такі речовини, що якщо нанести їх на поверхню металевої панелі, то при ударі по панелі замість характерного для металів звуку чути глухий стукіт.

4. Сухе тертя, виникає при взаємному ковзанні поверхонь в процесі вібрації. Цей спосіб використовується, наприклад, в деяких компресорах газових турбін, де здійснено шарнірне кріплення лопаток до ротора. Крім того, в деяких пружини з метою демпфірування вставляються пучки металевої дріт.

5. Шаруваті конструкції. Панелі, що складаються з тонких металевих листів, розділених тонким шаром в'язкопружного матеріалу, володіють хорошими звукоізоляційні властивості.

6. Пінопластові або гумові прокладки. Яйце або електричну лампочку, ретельно упаковані у відповідний матеріал, можна без будь-якого ризику кидати з великої висоти на тверду підлогу.

 



Попередня   107   108   109   110   111   112   113   114   115   116   117   118   119   120   121   122   Наступна

Вплив магнітних полів на живі організми | теореми Гауса | Токи при замиканні і розмиканні ланцюга | Магнітні моменти електронів і атомів | діамагнетизм | парамагнетизм | Гармонійні коливання та їх характеристики | Диференціальне рівняння вільних коливань | Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання дорівнює | Уздовж одного напрямку з однаковою частотою |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати