загрузка...
загрузка...
На головну

Диференціальне рівняння вільних коливань

  1. Автогенератори гармонійних коливань на інтегральних мікросхемах
  2. Аналіз часових рядів при наявності періодичних коливань: адитивна і мультиплікативна моделі.
  3. Асиміляція ВІЛЬНИХ БЛАГ
  4. Вибіркове рівняння регресії
  5. Генератори релаксаційних (імпульсних) коливань.
  6. Генератори синусоїдальних коливань.
  7. геометричне рівняння

Для вивчення будь-якого фізичного явища необхідна модель. Моделлю для вивчення механічних коливань є гармонійний осцилятор.

Гармонійним осцилятором називається система, яка здійснює коливання, які можуть бути описані диференціальним рівнянням вільних гармонійних коливань, що має вигляд:

 . (19.5)

Вираз (19.5) є лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Відповідно до загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь, рішенням рівняння (19.5) є вираз (19.1).

Коливання гармонічного осцилятора є важливим прикладом періодичного руху. Прикладами гармонічного осцилятора є пружинний, математичний і фізичний маятники.

Пружинний маятник - пружинний маятник тіло, підвішене на пружині жорсткістю k. Модель пружинного маятника показана на ріс.19.1. Положення тіла, при якому пружина не деформована, є становищем стійкої рівноваги. При відхиленні тіла від положення рівноваги в результаті деформації виникає сила пружності, яка відповідно до закону Гука дорівнює .

Вільні коливання відбуваються за рахунок спочатку повідомленої енергії при подальшому відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему.

 Мал. 19.1

У разі пружинного маятника рівняння руху згідно з другим законом Ньютона можна записати  . ділимо на m, отримаємо:

 . (19.6)

Врахуємо, що  , Отримаємо рівняння (19.5)

Період коливань пружинного маятника визначається як

 . (19.7)

Потенційна енергія пружинного маятника визначається як:

 . (19.8)

Математичний маятник. математичним маятником називають підвішений на тонкій нерастяжимой нитки вантаж, розміри якого менше довжини нитки, а маса більше маси нитки.

Положення, в якому нитка вертикальна - положення стійкої рівноваги. У положенні стійкої рівноваги сила тяжіння  врівноважена силою натягу нитки  , Як показано на ріс.19.2. При відхиленні нитки на кут ? торавнодействующая сил тяжіння і сили натягу нитки буде направлена ??до положення стійкої рівноваги.

 . (19.9)

Якщо тіло відпустити, то будемо спостерігати вільні коливання. Під час коливань можна вважати, що змінюється тільки координата х. Запишемо проекцію рівнодіюча сили на вісь х

 . (19.10)

При малих значеннях a (a ~ 4о) Нехтуємо рухом уздовж осі y

 (19.11)

 Ріс.19.2.

З рівняння (19.10), з огляду на (19.11) визначимо проекцію рівнодіюча сили на вісь х, Яка згідно з другим законом Ньютона дорівнює

,

врахуємо, що  , отримаємо

Рівняння гармонійних коливань математичного маятника можна записати в диференціальної формі

 . (19.12)

підставами значення  . Отримаємо рівняння (19.5). Звідси період математичного маятника дорівнює

 , (19.13)

де l - довжина математичного маятника.

Фізичний маятник. фізичний маятник - Тверде тіло, що здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої осі, що не проходить через центр мас. Вісь обертання, якого, розташована вище центру мас (ріс.19.3).

При коливаннях фізичного маятника, виникає крутний момент  , Який згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху дорівнює:

 , (19.14)

де J - момент інерції,

? - Кутове прискорення,

l - відстань між точкою підвісу і центром мас. Рівняння (19.14) можна записати у вигляді:  або .

Приймаючи до уваги  або .

Можна отримати вираз періоду коливань фізичного маятника:

 , (19.15)

де - приведена довжина фізичного маятника. Наведена довжина, прирівнюється довжині математичного маятника з таким же періодом коливань.

 Ріс.19.3.

Період коливань фізичного маятника, отже, і його приведена довжина, немонотонно залежать від відстані від точки підвісу до центру мас маятника. Це легко помітити, якщо відповідно до теореми Штейнера (4.7) момент інерції висловити через момент інерції щодо паралельної горизонтальній осі, що проходить через центр мас. Тоді період коливань буде дорівнює

 , (19.16)

де J0 -момент інерції центру мас.

На практиці значення нижчих власних частот систем можуть бути вельми малими. Наприклад, білизняний мотузок, підвішена на двох стовпах, може в разі достатнього провисання здійснювати вільні коливання з частотою 1-2Гц. Коливання такого типу були виявлені восени 1959р. у проводів лінії електропередачі, що перетинала річку Північну, частота власних коливань була вельми низькою - близько 1 / 8Гц. Дроту діаметром 43мм, простягнуті над річкою, були прикріплені до двох великих пілонів, відстань між якими перевищувала 1,6км. Було виявлено, що коли вітер дув з невеликою силою, але в певному напрямку, виникали настільки інтенсивні низькочастотні коливання проводів, що ці дроти, мінімальна відстань між якими становила 8,2 м, входили в зіткнення, що викликало коротке замикання в системі електропередачі. (Була знайдена ймовірна причина цих коливань, і в подальшому їх вдалося запобігати шляхом покриття тросів тонкої пластиковою стрічкою: завдяки цьому змінювалася геометрія поверхні, обтічної повітряним потоком).

Коливання проводів над річкою не уявляють собою вільних коливань, оскільки в цьому випадку пасивна система перебувала під дією зовнішнього джерела енергії - вітру. Однак характерно, що при вирішенні цієї проблеми інженерам, як зазвичай, потрібна була інформація щодо значень власних частот системи, близьких до частоти спостерігалися коливань.

18.3. Швидкість і прискорення гармонійних коливань

Якщо матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонійні коливання уздовж осі координат х біля положення рівноваги, прийнятого за початок координат тоді залежність координати х від часу t описується рівнянням (19.1). Швидкість і прискорення a нестійке точки відповідно рівні:

 , (19.17)

и  , (19.18)

тобто маємо гармонійні коливання з тієї ж циклічної частотою. Амплітуди швидкості та ускореніяколебаній відповідно рівні ?max = аw и amax= аw02. Фаза швидкості (19.17) відрізняється від фази величини (19.1) на  , А фаза прискорення (19.18) відрізняється від фази величини (19.1) на  . У момент часу, коли х= 0скорость хитається точки максимальна за величиною і дорівнює амплітуді швидкості в моменти проходження хитається точки через положення рівноваги. При максимальних зсувах (х = ± А) Швидкість дорівнює нулю. Вектор швидкості завжди спрямований у бік руху.

Прискорення дорівнює нулю при проходженні хитається точки через положення рівноваги і досягає максимального за величиною значення, що дорівнює амплітуді прискорення, при максимальних зсувах хитається точки. Вектор прискорення завжди спрямований у бік положення рівноваги. Віддаляючись від положення рівноваги, що коливається точка рухається, загальмовано, наближаючись до нього - прискорено.

 Ріс.19.4.

Графік гармонійного коливання, який описується рівнянням (19.1), швидкість гармонійного коливання, що описується рівнянням (19.17), і прискорення (19.18) показані на ріс.19.4. Видно, що зміщення, швидкість і прискорення гармонійно хитається точки є періодичними функціями від часу з однаковими періодами.



Попередня   103   104   105   106   107   108   109   110   111   112   113   114   115   116   117   118   Наступна

Розгалужені ланцюги. Правила Кірхгофа | закон Ампера | Робота переміщення контура зі струмом в магнітному полі | сила Лоренца | Вплив магнітних полів на живі організми | теореми Гауса | Токи при замиканні і розмиканні ланцюга | Магнітні моменти електронів і атомів | діамагнетизм | парамагнетизм |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати