Головна |
Розглянемо деякі приклади застосування похідної в економічній теорії. Як ми побачимо, багато, в тому числі базові, закони теорії виробництва і споживання, попиту і пропозиції виявляються прямими наслідками математичних теорем.
спочатку розглянемо економічну інтерпретацію теореми Ферма.
Один з базових законів теорії виробництва звучить так: оптимальний для виробника рівень випуску товару визначається рівністю граничних витрат і граничного доходу.
Тобто рівень випуску є оптимальним для виробника, якщо , де - Граничні витрати, а - Граничний дохід.
Позначимо функцію прибутку за . тоді . Очевидно, що оптимальним рівнем виробництва є той, при якому прибуток максимальний, тобто таке значення випуску , При якому функція має екстремум (максимум). За теоремою Ферма в цій точці . але , тому , Тобто .
Інша важлива поняття теорії виробництва - це рівень найбільш економічного виробництва, при якому середні витрати з виробництва товару мінімальні. Відповідний економічний закон говорить: рівень найбільш економічного виробництва визначається рівністю середніх і граничних витрат.
Отримаємо ця умова як наслідок теореми Ферма. Середні витрати визначаються як , Тобто витрати з виробництва товару, поділені на вироблене його кількість. Мінімум цієї величини досягається в критичній точці функції , Тобто за умови , звідки або , Тобто .
Поняття опуклості функції також знаходить свою інтерпретацію в економічній теорії.
Один з найбільш знаменитих економічних законів - закон спадної прибутковості - звучить наступним чином: зі збільшенням виробництва додаткова продукція, отримана на кожну нову одиницю ресурсу (трудового, технологічного і т.д.), у якійсь точці убуває.
Іншими словами, величина , де - Приріст ресурсу, а - Приріст випуску продукції, зменшується при збільшенні . Таким чином, закон спадної прибутковості формулюється так: функція , Що виражає залежність випуску продукції від вкладеного ресурсу, є функцією, опуклою вгору.
Іншим базисним поняттям економічної теорії є функція корисності , де - Товар, а - Корисність. Ця величина дуже суб'єктивна для кожного окремого споживача, але досить об'єктивна для суспільства в цілому. Закон спадної корисності звучить наступним чином: з ростом кількості товару додаткова корисність від кожної нової його одиниці у якійсь точці убуває. Очевидно, цей закон можна переформулювати так: функція корисності є функцією, опуклою вгору. У такій постановці закон спадної корисності служить відправною точкою для математичного дослідження теорії попиту та пропозиції.
М. Н. Уварова | Е. В. Александрова | Порядок виконання контрольних робіт | Ціни в системі міжгалузевих зв'язків | Рішення. | Найпростіша модель експорту та імпорту | Лінійна модель міжнародної торгівлі | Приклади розв'язання задач | Функції, в яких задається відповідність між величинами, що характеризують хід конкретного процесу або явища в сільському господарстві, називаються виробничими. | Рішення. |