загрузка...
загрузка...
На головну

Завдання № 11

  1. А тепер завдання.
  2. ВІДПОВІДНО ДО ЙОГО комунікативні-стилістичні ЗАВДАННЯМ
  3. Виконайте завдання за таким зразком.
  4. Виконайте завдання за таким зразком.
  5. Виконайте завдання за таким зразком ;,
  6. Домашнє завдання
  7. Домашнє завдання

Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні S в точці М0(х0, у0, z0). Записати нормальний вектор до поверхні S в точці М0(х0, у0, z0).

11.1.S: x2 + y2 + z2 + 6z - 4x + 8 = 0, M0(2, 1, -1).

11.2.S: x2 + z2 - 4y2 = -2xy, M0(-2, 1, 2).

11.3.S: x2 + y2 + z2 + 3z - xy = 7, M0(1, 2, 1).

11.4.S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 8, M0(-1, 1, 2).

11.5.S: 2x2 - y2 + z2 - 4z + y = 13, M0(2, 1, -1).

11.6.S: x2 + y2 + z2 - 6y + 4z + 4 = 0, M0(2, 1, -1).

11.7.S: x2 + z2 - 5yz + 3y = 46, M0(1, 2, -3).

11.8.S: x2 + y2 - xz - yz = 0, M0(0, 2, 2).

11.9.S: x2 + y2 + 2yz - z2 - y - 2z = 2, M0(1, 1, 1).

11.10.S: x2 + y2 - z2 - 2xz + 2x - z = 0, M0(1, 1, 1).

11.11.S: z = x2 + y2 - 2xy + 2x - y, M0(-1, -1, -1).

11.12.S: z = -x2 + y2 + 2xy - 3y, M0(1, -1, 1).

11.13.S: z = x2 - y2 - 2xy - x - 2y, M0(-1, 1, 1).

11.14.S: x2 - 2y2 + z2 + xz - 4y - 13 = 0, M0(3, 1, 2).

11.15.S: 4y2 - z2 + 4xy - xz + 3z = 9, M0(1, -2, 1).

11.16.S: z = x2 + y2 - 3xy - x + y + 2, M0(2, 1, 0).

11.17.S: 2x2 - y2 + 2z2 + xy + xz = 3, M0(1, 2, 1).

11.18.S: x2 - y2 + z2 - 4х + 2y = 14, M0(3, 1, 4).

11.19.S: x2 + y2 - z2 + xz + 4у = 4, M0(1, 1, 2).

11.20.S: x2 - y2 - z2 + xz + 4x = -5, M0(-2, 1, 0).

11.21.S: x2 + y2 - xz + yz - 3x = 11, M0(1, 4, -1).

11.22.S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0, 2, 0).

11.23.S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, M0(-1, -1, 1).

11.24.S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(1, 0, 1).

11.25.S: 2x2 - y2 + z2 - 6x + 2y = -6, M0(1, -1, 1).

11.26.S: x2 + y2 - z2 + 6xy - z = 8, M0(1, 1, 0).

11.27.S: z = 2x2 - 3y2 + 4x - 2y + 10, M0(-1, 1, 3).

11.28.S: z = x2 + y2 - 4xy + 3x - 15, M0(-1, 3, 4).

11.29.S: z = x2 + 2y2 + 4xy - 5y - 10, M0(-7, 1, 8).

11.30.S: z = 2x2 - 3y2 + xy + 3x + 1, M0(1, -2, 2).

Рішення задач типового варіанту контрольної роботи № 4

2 Завдання № 6.дана функція  . Показати що F =0, де .

Рішення. обчислимо ; :

;

;

.

тоді

.

відповідь:  , що й потрібно було довести. v

2 Завдання № 7. дано функція z = x2 + 2xy - 3y2 і крапка M(1,97; 0,99). За допомогою повного диференціала обчислити наближене значення функції z = f (x, y) В даній точці. Обчислити точне значення функції в точці M0(2; 1) і оцінити відносну похибку обчислень.

Рішення.Знайдемо приватні похідні і повний диференціал цієї функції в будь-якій точці (х, у)

, .

Тоді повний диференціал .

обчислимо dz в точці М0(2, 1) при збільшеннях

dx = Dx = х - х0 = 1,97 - 2 = -0,03, dy »Dy = у - у0 = 0,99 - 1 = -0,01,

dz = (2 ? 2 + 2 ? 1) (- 0,03) + (2 ? 2 - 6 ? 1) (0,01) = -0,18 + 0,02 = -0,16.

знайдемо z(M0) = 22 + 2 ? 2 ? 1 - 3 ? 12 = 5.

тоді  - Наближене значення функції в точці М.

Обчислимо точне значення функції z в точці М

z = 1,972 + 2 ? 1,97 ? 0,99 - 3 ? 0,992 = 3,8809 + 3,9006 - 2,9403 = 4,8412.

Знайдемо відносну похибку

відповідь: Наближене значення ,

відносна погрішність  . v

2 Завдання 8.дана функція z = 3x2 - 5xy + 7y; крапка А(2, 1) і вектор  . знайти а)  в точці А і його чисельне значення; б) Похідну в точці А у напрямку вектора .

Рішення. а) За визначенням градієнта .

Значення градієнта в точці А визначається за формулою

.

Знайдемо приватні похідні в точці А

; .

отже, ,  - Чисельне значення .

б) Похідну від функції z у напрямку вектора  в точці А визначимо із співвідношення

,

де cos? і cos ? - напрямні косинуси даного вектора  , Які обчислюються за формулами ; ;  . тоді , ; ,

.

відповідь: ; ;  . v

2 Завдання 9.Знайти найбільше і найменше значення функції

z = х2+ 4ху - у2 - 6х - 2у

в області D: x ? 0, y ? 0; 2x + 3y - 6 ? 0. Виконати креслення області D.

Рішення. 1. Знайдемо критичні точки функції z = х2+ 4ху - у2 - 6х - 2у:

= 2х + 4у - 6; = 4х - 2у - 2.

Вирішимо систему рівнянь

? ?

і отримаємо одну стаціонарну точку (1; 1), яка лежить всередині заданої області (рис. 6).

2. Знайдемо найбільше і найменше значення z = f (x, у) На кордоні області, яку складають відрізок ОА осі Ох  ; відрізок осі Оу; відрізок AB прямий.

на відрізку ОА: у = 0; 0 ? х ? 3

z = f (x, 0) = х2 - 6х

(Безперервна функція однієї змінної). з рівняння  = 0, т. Е.

2х - 6 = 0,

маємо х = 3 (критична точка, яка не є внутрішньою).

на відрізку OB: х = 0, 0 ? y ? 2

z = f (0, у) = -у2 -2 у.

з рівняння  = 0, т. Е.

-2у - 2 = 0,

маємо у = -1; ця точка лежить поза відрізком [0, 2] і тому нас не цікавить.

на відрізку АВ маємо

х = 3 - 1,5у; 0 ? у ? 2,

z = -9 + 10y - 19у2 / 4, 0 ? у ? 2.

з рівняння  = 0, т. Е. 10 - 19y / 2 = 0, знайдемо у = 20/19, що дає z(20/19) = -71 / 19.

3. У точках стику ділянок межа маємо наступні значення f (x, у):

f (О) = f (0,0) = 0; f (В) = f (0,2) = -8; f (А) = f (3,0) = -9.

4. Порівнюючи між собою обчислені значення f (x, у), Т. Е. Числа -4, -71 / 19, 0, -8, -9, приходимо до висновку, що своє найбільшого значення в даному замкнутому трикутнику функція приймає в точці О(0; 0), найменше - в точці А(3, 0), при цьому z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = -9.

відповідь: z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = -9. v

2 Завдання 10.Експериментально отримані п'ять значень шуканої функції y = f (x) При п'яти значеннях аргументу, які записані в таблиці. Методом найменших квадратів знайти функцію y = f (x) у вигляді y = ax + b.

xi
yi  0,5  1,5

Рішення. складемо систему

 (1)

Для цього попередньо обчислимо суми

; ;

; .

Підставимо отримані значення в систему (1)

 Помножимо друге рівняння на (-3) і складемо з першим, тоді

10а = 6 ? а = 0,6.

підставами значення а = 0,6 у друге рівняння і отримаємо

5b + 9 = 8; b = -0,2.

Отже, найкраще наближення представляється формулою

y = ax + b = 0,6x - 0,2.

Побудуємо графік цієї залежності і нанесемо на нього експериментальні точки (рис. 7).

відповідь: y = 0,6x - 0,2. v

2 Завдання 11.1.Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні  в точці М0(-1; 0; 1). Записати нормальний вектор до поверхні в точці М0.

Рішення. Поверхня задана явно z = f (x, y). Тоді рівняння дотичної площини має вигляд

;

рівняння нормалі - ;

нормальний вектор до поверхні в точці

.

z - 1 = -6 (x + 1) - y ? 6x + y + z + 5 = 0 - рівняння дотичної площини;  - Рівняння нормалі;  - Нормальний вектор до поверхні в точці M0.

відповідь: 6x + y + z + 5 = 0 - рівняння дотичної площини;  - Рівняння нормалі;  . v

2 Завдання 11.2.Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні  в точці M0(2, -2, 1). Записати нормальний вектор до поверхні в точці M0.

Рішення. Поверхня задана неявно рівнянням  , де = x2 + y2 + z2 - 9. Тоді рівняння дотичної площини має вигляд

;

рівняння нормалі - ;

нормальний вектор до поверхні в точці -

.

?

4 (x - 2) - 4 (y + 2) + 2 (z - 1) = 0 ? 2x - 2y + z - 9 = 0 - рівняння дотичної площини;

 - Рівняння нормалі;  - Нормальний вектор до поверхні в точці M0.

відповідь: 2x - 2y + z - 9 = 0 - рівняння дотичної площини;  - Рівняння нормалі;  - Нормальний вектор.

зауваження. Рішення завдання завдання 11.1 зводиться до вирішення по схемі рішення задачі 11.2, якщо рівняння поверхні z = f (x, y) Переписати у вигляді : f (x, y) - z = 0. v

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   Наступна

Кафедра вищої математики | Частина 2 | Завдання № 1 | Завдання № 2 | Завдання № 3 | Завдання № 4 | Завдання № 5 | Завдання № 7 | Завдання № 8 |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати