Головна |
Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні S в точці М0(х0, у0, z0). Записати нормальний вектор до поверхні S в точці М0(х0, у0, z0).
11.1.S: x2 + y2 + z2 + 6z - 4x + 8 = 0, M0(2, 1, -1).
11.2.S: x2 + z2 - 4y2 = -2xy, M0(-2, 1, 2).
11.3.S: x2 + y2 + z2 + 3z - xy = 7, M0(1, 2, 1).
11.4.S: x2 + y2 + z2 + 6y + 4x = 8, M0(-1, 1, 2).
11.5.S: 2x2 - y2 + z2 - 4z + y = 13, M0(2, 1, -1).
11.6.S: x2 + y2 + z2 - 6y + 4z + 4 = 0, M0(2, 1, -1).
11.7.S: x2 + z2 - 5yz + 3y = 46, M0(1, 2, -3).
11.8.S: x2 + y2 - xz - yz = 0, M0(0, 2, 2).
11.9.S: x2 + y2 + 2yz - z2 - y - 2z = 2, M0(1, 1, 1).
11.10.S: x2 + y2 - z2 - 2xz + 2x - z = 0, M0(1, 1, 1).
11.11.S: z = x2 + y2 - 2xy + 2x - y, M0(-1, -1, -1).
11.12.S: z = -x2 + y2 + 2xy - 3y, M0(1, -1, 1).
11.13.S: z = x2 - y2 - 2xy - x - 2y, M0(-1, 1, 1).
11.14.S: x2 - 2y2 + z2 + xz - 4y - 13 = 0, M0(3, 1, 2).
11.15.S: 4y2 - z2 + 4xy - xz + 3z = 9, M0(1, -2, 1).
11.16.S: z = x2 + y2 - 3xy - x + y + 2, M0(2, 1, 0).
11.17.S: 2x2 - y2 + 2z2 + xy + xz = 3, M0(1, 2, 1).
11.18.S: x2 - y2 + z2 - 4х + 2y = 14, M0(3, 1, 4).
11.19.S: x2 + y2 - z2 + xz + 4у = 4, M0(1, 1, 2).
11.20.S: x2 - y2 - z2 + xz + 4x = -5, M0(-2, 1, 0).
11.21.S: x2 + y2 - xz + yz - 3x = 11, M0(1, 4, -1).
11.22.S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0, 2, 0).
11.23.S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, M0(-1, -1, 1).
11.24.S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(1, 0, 1).
11.25.S: 2x2 - y2 + z2 - 6x + 2y = -6, M0(1, -1, 1).
11.26.S: x2 + y2 - z2 + 6xy - z = 8, M0(1, 1, 0).
11.27.S: z = 2x2 - 3y2 + 4x - 2y + 10, M0(-1, 1, 3).
11.28.S: z = x2 + y2 - 4xy + 3x - 15, M0(-1, 3, 4).
11.29.S: z = x2 + 2y2 + 4xy - 5y - 10, M0(-7, 1, 8).
11.30.S: z = 2x2 - 3y2 + xy + 3x + 1, M0(1, -2, 2).
Рішення задач типового варіанту контрольної роботи № 4
2 Завдання № 6.дана функція . Показати що F =0, де .
Рішення. обчислимо ; :
;
;
.
тоді
.
відповідь: , що й потрібно було довести. v
2 Завдання № 7. дано функція z = x2 + 2xy - 3y2 і крапка M(1,97; 0,99). За допомогою повного диференціала обчислити наближене значення функції z = f (x, y) В даній точці. Обчислити точне значення функції в точці M0(2; 1) і оцінити відносну похибку обчислень.
Рішення.Знайдемо приватні похідні і повний диференціал цієї функції в будь-якій точці (х, у)
, .
Тоді повний диференціал .
обчислимо dz в точці М0(2, 1) при збільшеннях
dx = Dx = х - х0 = 1,97 - 2 = -0,03, dy »Dy = у - у0 = 0,99 - 1 = -0,01,
dz = (2 ? 2 + 2 ? 1) (- 0,03) + (2 ? 2 - 6 ? 1) (0,01) = -0,18 + 0,02 = -0,16.
знайдемо z(M0) = 22 + 2 ? 2 ? 1 - 3 ? 12 = 5.
тоді - Наближене значення функції в точці М.
Обчислимо точне значення функції z в точці М
z = 1,972 + 2 ? 1,97 ? 0,99 - 3 ? 0,992 = 3,8809 + 3,9006 - 2,9403 = 4,8412.
Знайдемо відносну похибку
відповідь: Наближене значення ,
відносна погрішність . v
2 Завдання 8.дана функція z = 3x2 - 5xy + 7y; крапка А(2, 1) і вектор . знайти а) в точці А і його чисельне значення; б) Похідну в точці А у напрямку вектора .
Рішення. а) За визначенням градієнта .
Значення градієнта в точці А визначається за формулою
.
Знайдемо приватні похідні в точці А
; .
отже, , - Чисельне значення .
б) Похідну від функції z у напрямку вектора в точці А визначимо із співвідношення
,
де cos? і cos ? - напрямні косинуси даного вектора , Які обчислюються за формулами ; ; . тоді , ; ,
.
відповідь: ; ; . v
2 Завдання 9.Знайти найбільше і найменше значення функції
z = х2+ 4ху - у2 - 6х - 2у
в області D: x ? 0, y ? 0; 2x + 3y - 6 ? 0. Виконати креслення області D.
Рішення. 1. Знайдемо критичні точки функції z = х2+ 4ху - у2 - 6х - 2у:
= 2х + 4у - 6; = 4х - 2у - 2.
Вирішимо систему рівнянь
? ?
і отримаємо одну стаціонарну точку (1; 1), яка лежить всередині заданої області (рис. 6).
2. Знайдемо найбільше і найменше значення z = f (x, у) На кордоні області, яку складають відрізок ОА осі Ох ; відрізок oв осі Оу; відрізок AB прямий.
на відрізку ОА: у = 0; 0 ? х ? 3
z = f (x, 0) = х2 - 6х
(Безперервна функція однієї змінної). з рівняння = 0, т. Е.
2х - 6 = 0,
маємо х = 3 (критична точка, яка не є внутрішньою).
на відрізку OB: х = 0, 0 ? y ? 2
z = f (0, у) = -у2 -2 у.
з рівняння = 0, т. Е.
-2у - 2 = 0,
маємо у = -1; ця точка лежить поза відрізком [0, 2] і тому нас не цікавить.
на відрізку АВ маємо
х = 3 - 1,5у; 0 ? у ? 2,
z = -9 + 10y - 19у2 / 4, 0 ? у ? 2.
з рівняння = 0, т. Е. 10 - 19y / 2 = 0, знайдемо у = 20/19, що дає z(20/19) = -71 / 19.
3. У точках стику ділянок межа маємо наступні значення f (x, у):
f (О) = f (0,0) = 0; f (В) = f (0,2) = -8; f (А) = f (3,0) = -9.
4. Порівнюючи між собою обчислені значення f (x, у), Т. Е. Числа -4, -71 / 19, 0, -8, -9, приходимо до висновку, що своє найбільшого значення в даному замкнутому трикутнику функція приймає в точці О(0; 0), найменше - в точці А(3, 0), при цьому z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = -9.
відповідь: z наиб = z(0; 0) = 0; z наим = z(3; 0) = -9. v
2 Завдання 10.Експериментально отримані п'ять значень шуканої функції y = f (x) При п'яти значеннях аргументу, які записані в таблиці. Методом найменших квадратів знайти функцію y = f (x) у вигляді y = ax + b.
xi | |||||
yi | 0,5 | 1,5 |
Рішення. складемо систему
(1)
Для цього попередньо обчислимо суми
; ;
; .
Підставимо отримані значення в систему (1)
Помножимо друге рівняння на (-3) і складемо з першим, тоді
10а = 6 ? а = 0,6.
підставами значення а = 0,6 у друге рівняння і отримаємо
5b + 9 = 8; b = -0,2.
Отже, найкраще наближення представляється формулою
y = ax + b = 0,6x - 0,2.
Побудуємо графік цієї залежності і нанесемо на нього експериментальні точки (рис. 7).
відповідь: y = 0,6x - 0,2. v
2 Завдання 11.1.Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці М0(-1; 0; 1). Записати нормальний вектор до поверхні в точці М0.
Рішення. Поверхня задана явно z = f (x, y). Тоді рівняння дотичної площини має вигляд
;
рівняння нормалі - ;
нормальний вектор до поверхні в точці
.
z - 1 = -6 (x + 1) - y ? 6x + y + z + 5 = 0 - рівняння дотичної площини; - Рівняння нормалі; - Нормальний вектор до поверхні в точці M0.
відповідь: 6x + y + z + 5 = 0 - рівняння дотичної площини; - Рівняння нормалі; . v
2 Завдання 11.2.Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні в точці M0(2, -2, 1). Записати нормальний вектор до поверхні в точці M0.
Рішення. Поверхня задана неявно рівнянням , де = x2 + y2 + z2 - 9. Тоді рівняння дотичної площини має вигляд
;
рівняння нормалі - ;
нормальний вектор до поверхні в точці -
.
?
4 (x - 2) - 4 (y + 2) + 2 (z - 1) = 0 ? 2x - 2y + z - 9 = 0 - рівняння дотичної площини;
- Рівняння нормалі; - Нормальний вектор до поверхні в точці M0.
відповідь: 2x - 2y + z - 9 = 0 - рівняння дотичної площини; - Рівняння нормалі; - Нормальний вектор.
зауваження. Рішення завдання завдання 11.1 зводиться до вирішення по схемі рішення задачі 11.2, якщо рівняння поверхні z = f (x, y) Переписати у вигляді : f (x, y) - z = 0. v
Кафедра вищої математики | Частина 2 | Завдання № 1 | Завдання № 2 | Завдання № 3 | Завдання № 4 | Завдання № 5 | Завдання № 7 | Завдання № 8 |