Головна |
Провести повне дослідження функції та побудувати графік.
5.1. . | 5.2. . | 5.3. . |
5.4. . | 5.5. . | 5.6. . |
5.7. . | 5.8. . | 5.9. . |
5.10. . | 5.11. . | 5.12. . |
5.13. . | 5.14. . | 5.15. . |
5.16. . | 5.17. . | 5.18. . |
5.19. . | 5.20. . | 5.21. . |
5.22. . | 5.23. . | 5.24. . |
5.25. . | 5.26. . | 5.27. . |
5.28. . | 5.29. . | 5.30. . |
Рішення задач типового варіанту контрольної роботи № 3
2 Завдання 1.знайти диференціали функцій
а) ; б) ;
в) ; г) ; д) y = (sin x)2x.
Рішення.а) .
Запишемо функцію у вигляді, зручному для диференціювання
.
обчислимо похідну y ? і диференціал dy ( )
,
.
б) . .
.
в)
.
г)
.
д) y = (sin x)2x. Функція є показово-ступеневою , де u = u(x) і v = v(x) - Диференціюються. Використовуючи логарифмічну похідну , при u = sin x, v = 2x отримаємо
.v
2 Завдання 2.Знайти похідні першого і другого порядків функцій заданих а) явно ; б) параметрически ;
в) неявноarсtg y - y + x = 0.
Рішення. а) .
;
б) .
в) arсtg y - y + x = 0.
Продифференцируем обидві частини рівняння по x, вважаючи y функцією від x, І визначимо y '
звідки (при y ? 0).
Диференціюючи останню рівність по x
т. е.
Підставивши знайдене значення y ', Остаточно отримаємо
v
2 Завдання 3.Знайти межі функцій, використовуючи правило Лопіталя.
а)
б)
;
в) . v
2 Завдання 4.1.Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х2 - 4х + 5 у точці х0 = 3.
Рішення.якщо х0 = 3, то у0 = f (x0) = = 9 - 12 + 5 = 2. Знайдемо кутовий коефіцієнт f ? (x0) Дотичній до кривої
f ? (x) = 2x - 4, f ? (3) = 6 - 4 = 2.
за формулами , запишемо рівняння дотичній і нормалі відповідно (рис. 1)
у - 2 = 2 (х - 3) ? у = 2х - 4 - рівняння дотичної;
- Рівняння нормалі.
відповідь: у = 2х - 4 - рівняння дотичної;
- Рівняння нормалі. v
2 Завдання 4.2.Скласти рівняння дотичної та нормалі до астроїда х = a cos3 t, y = a sin3 t в точці .
Рішення.Крива задана параметрично (рис. 2). тоді .
знайдемо (х0, у0) при
Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної f ? (x0):
у - = х + ? у = х + - Рівняння дотичної;
у - = - ? у = -х - Рівняння нормалі.
відповідь: у = х + - Рівняння дотичної;
у = -х - Рівняння нормалі. v
2 Завдання 4.3.Скласти рівняння дотичної до просторової кривої в момент .
Рішення.Крива є гвинтова лінія з кроком h = 4 (рис. 3). Запишемо рівняння кривої в параметричної формі, знайдемо точку (х0, у0, z0), , , :
Користуючись формулою , Складемо рівняння дотичної до кривої .
зауваження. Так як = 0, то дотичний вектор = (-2, 0, 4) ортогонален осі Оy.
відповідь: . v
2 Завдання 4.4.Знайти кут між кривими и в точці їх перетину.
Рішення. Знайдемо точку перетину кривих як рішення системи (див. Рис. 4)
.
Знайдемо кутові коефіцієнти дотичних до кривих в точці їх перетину (1; 1)
,
.
Знайдемо величину кута між кривими по формулі :
, звідки .
відповідь: . v
2 Завдання 4.5.Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S(t) = t3 - 6t2 + 9t. Знайти швидкість і прискорення руху точки в момент t0 = 2 (шлях S виражається в метрах, час t - В секундах).
Рішення.Знайдемо похідну шляху по часу (швидкість руху):
.
при t0 = 2 маємо v(2) = -12. Знайдемо похідну другого порядку шляху по часу (прискорення руху):
.
при t0 = 2 маємо a(2) = 6 ? 2 - 12 = 0.
відповідь: v(2) = -12; a(2) = 0. v
2 Завдання 4.6.Рух точки задано рівнянням = , де a, b - Постійні, t - Час. Знайти вектор швидкості і його чисельне значення, вектор прискорення і його чисельне значення при t0 = 2.
Рішення.Знайдемо похідну першого порядку функції
.
при t0 = 2 маємо - Вектор швидкості, - Чисельне значення вектора швидкості.
Знайдемо похідну другого порядку функції
- Вектор прискорення,
- Чисельне значення вектора прискорення в будь-який момент часу t, В тому числі і при t0 = 2.
відповідь: - Вектор швидкості, ; -
вектор прискорення, . v
2 Завдання 4.7.Тіло рухається по параболі y = 4x - x2 так, що абсциса положення тіла змінюється за законом x = 2t. Яка швидкість зміни ординати в точці (1; 3)?
Рішення.Знайдемо закон зміни ординати рухається точки при x = 2t:
y(t) = 4 ? 2t - (2t)2 = 8t - 4t2.
Точку (1; 3) при параметричному завданні параболи x = 2t, y = 8t - 4t2 отримуємо при t = 1/2.
Знайдемо першу похідну y? (t): y? (t) = 8 - 8t. тоді .
Отже, швидкість зміни ординати при русі по параболі y = 4x - x2 в точці (1; 3) дорівнює 4 при x = 2t.
відповідь: Швидкість зміни ординати дорівнює 4 при x = 2t. v
2 Завдання 5.Провести повне дослідження і побудувати графік функції .
Рішення.1. Область визначення функції знаходимо з умови , Т. Е. . Функція неперервна в області визначення як приватна двох безперервних елементарних функцій.
Крапка х = -1 Є точка розриву II роду, так як , . , ? , , Тому функція не є парною, не є непарною. Маємо функцію загального вигляду.
2. Якщо х = 0, то у = 0 і навпаки, отже, крива перетинає осі координат тільки в точці (0; 0).
2. Знайдемо асимптоти графіка функції.
а) х = -1 - Вертикальна асимптота, так як , , Отже, гілки кривої y = f (x) В околиці х = -1 Спрямовані вниз.
b) Знайдемо похилі асимптоти y = kx + b (При обчисленні меж використовуємо правило Лопіталя)
,
.
Отже, графік функції має похилу асимптоту .
3. Досліджуємо функцію на монотонність і екстремум за допомогою похідної першого порядку.
.
Знайдемо критичні точки функції: у ? = 0 при х = 0, х = -3; у ? - не існує при х = -1, Але х = -1 I D(y). Тому досліджувана функція має тільки дві критичні точки х = -3 І х = 0. Область визначення розділимо критичними точками на інтервали і методом інтервалів визначимо знак похідної f ? (х) В кожному з них.
В інтервалах функція y = f (x) Монотонно зростає, так як у ?> 0; в інтервалі (-3; -1) функція монотонно убуває, так як у ? <0.
По першому достатньому ознакою визначимо характер екстремуму в критичних точках: х = -3 - Точка максимуму (у ? змінює знак з «+» на «-» при переході через точку зліва направо), . У точці х = 0 екстремуму немає (у ? НЕ змінює знака при переході через точку х = 0).
4. Досліджуємо функцію на опуклість, увігнутість, перегин за допомогою похідної другого порядку
.
Знайдемо критичні точки другого роду: у ? = 0 при х = 0; у ? не існує при х = -1, Але х = -1 I D(y). Отже, функція має тільки одну критичну точку другого роду х = 0.
Область визначення функції розділимо на інтервали критичною точкою х = 0 і в кожному з них визначимо знак у ?' (За методом інтервалів).
В інтервалах крива опукла вгору (у ? <0), в інтервалі крива y = f (x) Опукла вниз (у ?> 0). х = 0 - точка перегину графіка функції (у ? змінює знак при переході через точку х = 0). Так як у ? (0) = 0, у(0) = 0, то в точці перегину крива стосується осі Оx.
додатково Знайдемо у(-2) = -4, у(-4) = , у(4) = . З використанням отриманих даних будуємо графік даної функції (рис. 5).
Кафедра вищої математики | Частина 2 | Завдання № 1 | Завдання № 2 | Завдання № 3 | Завдання № 8 | Завдання № 10 | Завдання № 11 | Тренувальний тест з вищої математики для інженерно-технічних спеціальностей за II семестр |