загрузка...
загрузка...
На головну

Завдання № 5

  1. А тепер завдання.
  2. ВІДПОВІДНО ДО ЙОГО комунікативні-стилістичні ЗАВДАННЯМ
  3. Виконайте завдання за таким зразком.
  4. Виконайте завдання за таким зразком.
  5. Виконайте завдання за таким зразком ;,
  6. Домашнє завдання
  7. Домашнє завдання

Провести повне дослідження функції та побудувати графік.

 5.1. .  5.2. .  5.3. .
 5.4. .  5.5. .  5.6. .
 5.7. .  5.8. .  5.9. .
 5.10. .  5.11. .  5.12. .
 5.13. .  5.14. .  5.15. .
 5.16. .  5.17. .  5.18. .
 5.19. .  5.20. .  5.21. .
 5.22. .  5.23. .  5.24. .
 5.25. .  5.26. .  5.27. .
 5.28. .  5.29. .  5.30. .

Рішення задач типового варіанту контрольної роботи № 3

2 Завдання 1.знайти диференціали  функцій

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) y = (sin x)2x.

Рішення.а) .

Запишемо функцію у вигляді, зручному для диференціювання

.

обчислимо похідну y ? і диференціал dy ( )

,

.

б) . .

.

в)

.

г)

.

д) y = (sin x)2x. Функція є показово-ступеневою  , де u = u(x) і v = v(x) - Диференціюються. Використовуючи логарифмічну похідну  , при u = sin x, v = 2x отримаємо

 .v

2 Завдання 2.Знайти похідні першого і другого порядків функцій заданих а) явно ; б) параметрически ;

в) неявноarсtg y - y + x = 0.

Рішення. а) .

;

б) .

в) arсtg y - y + x = 0.

Продифференцируем обидві частини рівняння по x, вважаючи y функцією від x, І визначимо y '

 звідки  (при y ? 0).

Диференціюючи останню рівність по x

 т. е.

Підставивши знайдене значення y ', Остаточно отримаємо

v

2 Завдання 3.Знайти межі функцій, використовуючи правило Лопіталя.

а)

б)

;

в)  . v

2 Завдання 4.1.Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х2 - 4х + 5 у точці х0 = 3.

Рішення.якщо х0 = 3, то у0 = f (x0) = = 9 - 12 + 5 = 2. Знайдемо кутовий коефіцієнт f ? (x0) Дотичній до кривої

f ? (x) = 2x - 4, f ? (3) = 6 - 4 = 2.

 за формулами ,  запишемо рівняння дотичній і нормалі відповідно (рис. 1)

у - 2 = 2 (х - 3) ? у = 2х - 4 - рівняння дотичної;

 - Рівняння нормалі.

відповідь: у = 2х - 4 - рівняння дотичної;

 - Рівняння нормалі. v

2 Завдання 4.2.Скласти рівняння дотичної та нормалі до астроїда х = a cos3 t, y = a sin3 t в точці .

Рішення.Крива задана параметрично (рис. 2). тоді .

знайдемо (х0, у0) при

Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної f ? (x0):

у - = х + ? у = х +  - Рівняння дотичної;

у - = - ? у = -х - Рівняння нормалі.

відповідь: у = х +  - Рівняння дотичної;

у = -х - Рівняння нормалі. v

2 Завдання 4.3.Скласти рівняння дотичної до просторової кривої  в момент .

Рішення.Крива є гвинтова лінія з кроком h = 4 (рис. 3). Запишемо рівняння кривої в параметричної формі, знайдемо точку (х0, у0, z0), , , :

 Користуючись формулою  , Складемо рівняння дотичної до кривої .

зауваження. Так як  = 0, то дотичний вектор  = (-2, 0, 4) ортогонален осі Оy.

відповідь:  . v

2 Завдання 4.4.Знайти кут між кривими и  в точці їх перетину.

Рішення. Знайдемо точку перетину кривих як рішення системи (див. Рис. 4)

.

Знайдемо кутові коефіцієнти дотичних до кривих в точці їх перетину (1; 1)

,

.

Знайдемо величину кута  між кривими по формулі :

 , звідки .

відповідь:  . v

2 Завдання 4.5.Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S(t) = t3 - 6t2 + 9t. Знайти швидкість і прискорення руху точки в момент t0 = 2 (шлях S виражається в метрах, час t - В секундах).

Рішення.Знайдемо похідну шляху по часу (швидкість руху):

.

при t0 = 2 маємо v(2) = -12. Знайдемо похідну другого порядку шляху по часу (прискорення руху):

.

при t0 = 2 маємо a(2) = 6 ? 2 - 12 = 0.

відповідь: v(2) = -12; a(2) = 0. v

2 Завдання 4.6.Рух точки задано рівнянням =  , де a, b - Постійні, t - Час. Знайти вектор швидкості і його чисельне значення, вектор прискорення і його чисельне значення при t0 = 2.

Рішення.Знайдемо похідну першого порядку функції

.

при t0 = 2 маємо  - Вектор швидкості,  - Чисельне значення вектора швидкості.

Знайдемо похідну другого порядку функції

 - Вектор прискорення,

 - Чисельне значення вектора прискорення в будь-який момент часу t, В тому числі і при t0 = 2.

відповідь:  - Вектор швидкості, ; -

вектор прискорення,  . v

2 Завдання 4.7.Тіло рухається по параболі y = 4x - x2 так, що абсциса положення тіла змінюється за законом x = 2t. Яка швидкість зміни ординати в точці (1; 3)?

Рішення.Знайдемо закон зміни ординати рухається точки при x = 2t:

y(t) = 4 ? 2t - (2t)2 = 8t - 4t2.

Точку (1; 3) при параметричному завданні параболи x = 2t, y = 8t - 4t2 отримуємо при t = 1/2.

Знайдемо першу похідну y? (t): y? (t) = 8 - 8t. тоді .

Отже, швидкість зміни ординати при русі по параболі y = 4x - x2 в точці (1; 3) дорівнює 4 при x = 2t.

відповідь: Швидкість зміни ординати дорівнює 4 при x = 2t. v

2 Завдання 5.Провести повне дослідження і побудувати графік функції .

Рішення.1. Область визначення функції знаходимо з умови  , Т. Е.  . Функція неперервна в області визначення як приватна двох безперервних елементарних функцій.

Крапка х = -1 Є точка розриву II роду, так як , . , ? ,  , Тому функція не є парною, не є непарною. Маємо функцію загального вигляду.

2. Якщо х = 0, то у = 0 і навпаки, отже, крива перетинає осі координат тільки в точці (0; 0).

2. Знайдемо асимптоти графіка функції.

а) х = -1 - Вертикальна асимптота, так як ,  , Отже, гілки кривої y = f (x) В околиці х = -1 Спрямовані вниз.

b) Знайдемо похилі асимптоти y = kx + b (При обчисленні меж використовуємо правило Лопіталя)

,

.

Отже, графік функції має похилу асимптоту .

3. Досліджуємо функцію на монотонність і екстремум за допомогою похідної першого порядку.

.

Знайдемо критичні точки функції: у ? = 0 при х = 0, х = -3; у ? - не існує при х = -1, Але х = -1 I D(y). Тому досліджувана функція має тільки дві критичні точки х = -3 І х = 0. Область визначення розділимо критичними точками на інтервали і методом інтервалів визначимо знак похідної f ? (х) В кожному з них.

 В інтервалах  функція y = f (x) Монотонно зростає, так як у ?> 0; в інтервалі (-3; -1) функція монотонно убуває, так як у ? <0.

По першому достатньому ознакою визначимо характер екстремуму в критичних точках: х = -3 - Точка максимуму (у ? змінює знак з «+» на «-» при переході через точку зліва направо),  . У точці х = 0 екстремуму немає (у ? НЕ змінює знака при переході через точку х = 0).

4. Досліджуємо функцію на опуклість, увігнутість, перегин за допомогою похідної другого порядку

.

Знайдемо критичні точки другого роду: у ? = 0 при х = 0; у ? не існує при х = -1, Але х = -1 I D(y). Отже, функція має тільки одну критичну точку другого роду х = 0.

Область визначення функції розділимо на інтервали критичною точкою х = 0 і в кожному з них визначимо знак у ?' (За методом інтервалів).

 В інтервалах  крива  опукла вгору (у ? <0), в інтервалі  крива y = f (x) Опукла вниз (у ?> 0). х = 0 - точка перегину графіка функції (у ? змінює знак при переході через точку х = 0). Так як у ? (0) = 0, у(0) = 0, то в точці перегину крива стосується осі Оx.

додатково Знайдемо у(-2) = -4, у(-4) = , у(4) =  . З використанням отриманих даних будуємо графік даної функції (рис. 5).


 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   Наступна

Кафедра вищої математики | Частина 2 | Завдання № 1 | Завдання № 2 | Завдання № 3 | Завдання № 8 | Завдання № 10 | Завдання № 11 | Тренувальний тест з вищої математики для інженерно-технічних спеціальностей за II семестр |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати