Головна |
Доведемо теорему про зв'язок між рішеннями ігор з матрицями и , Яка випливає з теореми 2.2.1 про необхідні і достатні умови оптимальності змішаних стратегій і її наслідки.
теорема 2.2. нехай - Оптимальні стратегії першого і другого гравців в грі з матрицею
і ціною . Для гри з матрицею оптимальні стратегія першого і, відповідно, другого гравців і ціна в грі з матрицею задовольнятимуть равенствам , .
Доведення. Згідно з теоремою 2.2.1 про оптимальні змішаних стратегіях для ціни оптимальних стратегій першого і другого гравців виконуються нерівності
, . (2.31)
Помножимо нерівності (2.31) на -1
, . (2.32)
оскільки матриця має рядків, то будь-який вектор , для котрого и , Є змішаною стратегією першого гравця в грі з матрицею . За умовами теореми цими властивостями володіє вектор . Значить, вектор є змішаною стратегією першого гравця в грі з матрицею . Аналогічні міркування показують, що вектор є змішаною стратегією другого гравця в грі з матрицею . Підсумовування в першій групі нерівностей (2.31) ведеться по другому індексу чисел , А в першій групі нерівностей (2.32) - на першу. Аналогічна зміна індексу підсумовування відбувається і в других групах нерівностей (2.31) і (2.32). Значить, матриці систем (2.31) і (2.32) є транспоновану відносно один одного. Оскільки нерівності (2.32) виконуються для одного і того ж числа і змішаних стратегій в грі з , То згідно наслідку теореми 2.2.1 це число є ціною, а змішані стратегії оптимальними такої гри. Теорема доведена.
Зробимо з цієї теореми обчислювальні висновки.
Замість того щоб застосовувати метод, описаний в п.2 даного параграфа до двустолбцовой матриці, можна виконати наступні процедури:
1) Двустолбцовая матриця транспонується, і знаки всіх її елементів замінюються на протилежні.
2) Вирішується допоміжна завдання з двустрочним матрицею .
3) Відповідь записується відповідно до теореми 2.2, тобто у знайденої ціни змінюється знак на протилежний, оптимальна стратегія першого (другого) гравця допоміжної завдання c матрицею приймається за стратегію другого (першого) гравця завдання з матрицею .
Вступ | Зниження порядку матриці в матричної грі | Стовпці, - рядки матриці А. Стовпець і к-ая чиста стратегія другого гравця називаються мажорірующімі, якщо знайдуться такі числа | З двустрочним і двустолбцовимі матрицями | П.1. Графо-аналітичний метод для вирішення гри з двустрочним матрицею виграшів | прості стратегії | П.1. алгебраїчна лема | П.2. Структура множин оптимальних змішаних стратегій | П.3. Крайні точки множин оптимальних стратегій | П.4. Алгоритм знаходження спільного рішення гри |