Головна

П.3. Зв'язок між графо-аналітичними методами вирішення ігрових завдань з двустрочним і двустолбцовимі матрицями виграшів

  1. B. Зв'язок
  2. I. ЗАВДАННЯ АРТИЛЕРІЇ
  3. I. Міжнародні відносини в Європі в 1871-1914 рр.
  4. I. Загальна характеристика міжнародних відносин в Новий час.
  5. I. Процес об'єднання Італії і його вплив на систему міжнародних відносин
  6. I. Мета і завдання дисципліни
  7. II. Основні завдання та їх реалізація

Доведемо теорему про зв'язок між рішеннями ігор з матрицями и  , Яка випливає з теореми 2.2.1 про необхідні і достатні умови оптимальності змішаних стратегій і її наслідки.

теорема 2.2. нехай  - Оптимальні стратегії першого і другого гравців в грі з матрицею

і ціною  . Для гри з матрицею  оптимальні стратегія  першого і, відповідно, другого гравців і ціна  в грі з матрицею  задовольнятимуть равенствам , .

Доведення. Згідно з теоремою 2.2.1 про оптимальні змішаних стратегіях для ціни  оптимальних стратегій  першого і другого гравців виконуються нерівності

,  . (2.31)

Помножимо нерівності (2.31) на -1

,  . (2.32)

оскільки матриця має  рядків, то будь-який вектор  , для котрого и  , Є змішаною стратегією першого гравця в грі з матрицею . За умовами теореми цими властивостями володіє вектор  . Значить, вектор  є змішаною стратегією першого гравця в грі з матрицею . Аналогічні міркування показують, що вектор  є змішаною стратегією другого гравця в грі з матрицею . Підсумовування в першій групі нерівностей (2.31) ведеться по другому індексу чисел  , А в першій групі нерівностей (2.32) - на першу. Аналогічна зміна індексу підсумовування відбувається і в других групах нерівностей (2.31) і (2.32). Значить, матриці систем (2.31) і (2.32) є транспоновану відносно один одного. Оскільки нерівності (2.32) виконуються для одного і того ж числа і змішаних стратегій в грі з , То згідно наслідку теореми 2.2.1 це число є ціною, а змішані стратегії оптимальними такої гри. Теорема доведена.

Зробимо з цієї теореми обчислювальні висновки.

Замість того щоб застосовувати метод, описаний в п.2 даного параграфа до двустолбцовой матриці, можна виконати наступні процедури:

1) Двустолбцовая матриця  транспонується, і знаки всіх її елементів замінюються на протилежні.

2) Вирішується допоміжна завдання з двустрочним матрицею .

3) Відповідь записується відповідно до теореми 2.2, тобто у знайденої ціни змінюється знак на протилежний, оптимальна стратегія першого (другого) гравця допоміжної завдання c матрицею  приймається за стратегію другого (першого) гравця завдання з матрицею .



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   Наступна

Вступ | Зниження порядку матриці в матричної грі | Стовпці, - рядки матриці А. Стовпець і к-ая чиста стратегія другого гравця називаються мажорірующімі, якщо знайдуться такі числа | З двустрочним і двустолбцовимі матрицями | П.1. Графо-аналітичний метод для вирішення гри з двустрочним матрицею виграшів | прості стратегії | П.1. алгебраїчна лема | П.2. Структура множин оптимальних змішаних стратегій | П.3. Крайні точки множин оптимальних стратегій | П.4. Алгоритм знаходження спільного рішення гри |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати