Головна |
1) , де - Постійна.
2) .
3) .
4) .
якщо , то .
Випадкова величина називається неотрицательной , Якщо вона приймає тільки невід'ємні значення.
5) Якщо , то .
6) , де - Постійна.
7) .
8) .
якщо , то .
9) . - Постійна.
10) .
11) .
Двовимірна випадкова величина називається розподіленою за нормальним законом, якщо її щільність розподілу
.
тут , , , ,
- Коефіцієнт кореляції випадкових величин и . Для нормальної випадкової величини поняття незалежності та некорельованих еквівалентні.
Двовимірна випадкова величина розподілена рівномірно в області , Якщо її щільність розподілу
тут - Площа області .
Приклад 1.Дискретна двовимірна випадкова величина розподілена за законом, наведеним в таблиці
-1 | |||
-1 | 0,2 | 0,1 | 0,3 |
0,1 | 0,1 | 0,2 |
визначити:
1) Закони розподілу складових и , , ;
2) умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що ;
3) ;
4) коефіцієнт кореляції .
Рішення.1) Випадкова величина може приймати два значення и .
Подія, що складається в тому, що випадкова величина прийме значення , Являє собою суму трьох несумісних подій: , , . За теоремою додавання ймовірностей ймовірність події, що складається в тому, випадкова величина прийме значення , Буде дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Практично для знаходження досить підсумувати ймовірності першого рядка двовимірного закону розподілу.
Аналогічно знаходяться ймовірності та інших значень випадкових величин и .
Закони розподілу складових матимуть вигляд
-1 | ||
0,6 | 0,4 |
-1 | |||
0,3 | 0,2 | 0,5 |
,
,
,
.
2) Умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що - Це перелік можливих значень випадкової величини і умовних ймовірностей , Які обчислюються за формулою ,
,
.
Умовний закон розподілу випадкової величини за умови, що матиме вигляд
-1 | ||
Порівнюючи закон розподілу випадкової величини і умовний закон розподілу випадкової величини , Бачимо, що закон розподілу випадкової величини залежить від того, яке значення приймає випадкова величина . отже, - Залежні випадкові величини.
3) Умовне математичне сподівання дискретної випадкової величини одно .
Для розв'язуваної задачі .
4) Коефіцієнт кореляції .
кореляційний момент для дискретної двовимірної випадкової величини дорівнює .
Для розв'язуваної задачі
.
Обчислимо коефіцієнт кореляції
.
Приклад 2.Нехай заданий трикутник АВС з вершинами А (0,0), В (1,0), С (0,1). Позначимо область, обмежену трикутником АВС через D. Двовимірна випадкова величина має рівномірний розподіл ймовірностей в трикутної області , тобто
знайти постійну , Одномірні щільності , випадкових величин и , Коефіцієнт кореляції , Умовну щільність і умовне математичне очікування .
Мал. 3
Рішення.1) Постійну знайдемо з умови нормування
, ,
де - площа трикутника . значить
2) Рівняння прямої ВС має вигляд . тоді область можна аналітично задати наступним чином:
або .
3)
.
.
.
.
4) .
.
5)
.
Приклад 3.Пара випадкових величин и має спільне нормальний розподіл з вектором математичних сподівань і ковариационной матрицею :
.
Відомо що . знайти .
Рішення.Спільна нормальність пари випадкових величин и забезпечує нормальність кожної з них і будь-який їх лінійної комбінації, зокрема величина нормальна з параметрами
, .
Підставляючи в останнє співвідношення елементи ковариационной матриці
, , ,
отримаємо
.
За умовою , Звідки, використовуючи нормальність , отримуємо
.
тут функція розподілу ймовірності випадкової величини , .
Шукані дисперсії рівні, відповідно,
, .
Приклад 4.випадковий вектор має вектор математичних очікувань і кореляційну матрицю .
, .
Обчислити вектор математичних очікувань випадкового вектора і кореляційну матрицю вектора .
Рішення. .
.
. .
.
=
.
відповідь: , .
Геометричне визначення ймовірності | Теореми додавання і множення ймовірностей | Формула повної ймовірності. Формула Байєса | Повторення незалежних випробувань. схема Бернуллі | Функція і її властивості | Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин | Властивості функції розподілу ймовірності випадкової величини | Властивості щільності розподілу ймовірності неперервної випадкової величини | Приклади розподілів неперервних випадкових величин | Двовимірні випадкові величини |