загрузка...
загрузка...
На головну

Властивості математичного очікування і дисперсії

  1. XI. Пристосування ТА ІНШІ ЕЛЕМЕНТИ, властивості. Здібностей та обдарувань АРТИСТА
  2. Алюміній, його властивості та застосування в техніці
  3. Амфотерними називаються такі гідроксиди, які в залежності від умов виявляють властивості яких підстав, або кислот.
  4. Армуючі матеріали і їх властивості
  5. Базові властивості безпеки інформації. Канали реалізації загроз
  6. Нескінченно великі функції та їх властивості
  7. Біохімічні методи визначення речовин з властивостями ендогенних токсинів

1)  , де  - Постійна.

2) .

3) .

4) .

якщо  , то .

Випадкова величина  називається неотрицательной  , Якщо вона приймає тільки невід'ємні значення.

5) Якщо  , то .

6)  , де  - Постійна.

7) .

8) .

якщо  , то .

9) .  - Постійна.

10) .

11) .

Двовимірна випадкова величина  називається розподіленою за нормальним законом, якщо її щільність розподілу

.

тут , , , ,

- Коефіцієнт кореляції випадкових величин и  . Для нормальної випадкової величини поняття незалежності та некорельованих еквівалентні.

Двовимірна випадкова величина розподілена рівномірно в області  , Якщо її щільність розподілу

тут  - Площа області .

Приклад 1.Дискретна двовимірна випадкова величина  розподілена за законом, наведеним в таблиці

 -1
 -1  0,2  0,1  0,3
 0,1  0,1  0,2

визначити:

1) Закони розподілу складових и , , ;

2) умовний закон розподілу випадкової величини  за умови, що ;

3) ;

4) коефіцієнт кореляції .

Рішення.1) Випадкова величина  може приймати два значення и .

Подія, що складається в тому, що випадкова величина  прийме значення  , Являє собою суму трьох несумісних подій: , ,  . За теоремою додавання ймовірностей ймовірність події, що складається в тому, випадкова величина  прийме значення  , Буде дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Практично для знаходження  досить підсумувати ймовірності першого рядка двовимірного закону розподілу.

Аналогічно знаходяться ймовірності та інших значень випадкових величин и .

Закони розподілу складових матимуть вигляд

 -1
 0,6  0,4
 -1
 0,3  0,2  0,5

,

,

,

.

2) Умовний закон розподілу випадкової величини  за умови, що  - Це перелік можливих значень випадкової величини  і умовних ймовірностей  , Які обчислюються за формулою ,

,

.

Умовний закон розподілу випадкової величини  за умови, що  матиме вигляд

 -1

Порівнюючи закон розподілу випадкової величини  і умовний закон розподілу випадкової величини  , Бачимо, що закон розподілу випадкової величини  залежить від того, яке значення приймає випадкова величина  . отже,  - Залежні випадкові величини.

3) Умовне математичне сподівання дискретної випадкової величини одно .

Для розв'язуваної задачі .

4) Коефіцієнт кореляції .

кореляційний момент  для дискретної двовимірної випадкової величини дорівнює .

Для розв'язуваної задачі

.

Обчислимо коефіцієнт кореляції

.

Приклад 2.Нехай заданий трикутник АВС з вершинами А (0,0), В (1,0), С (0,1). Позначимо область, обмежену трикутником АВС через D. Двовимірна випадкова величина  має рівномірний розподіл ймовірностей в трикутної області  , тобто

знайти постійну  , Одномірні щільності ,  випадкових величин и  , Коефіцієнт кореляції  , Умовну щільність  і умовне математичне очікування .

Мал. 3

Рішення.1) Постійну  знайдемо з умови нормування

, ,

де  - площа трикутника .  значить

2) Рівняння прямої ВС має вигляд  . тоді область  можна аналітично задати наступним чином:

 або .

3)

.

.

.

.

4) .

.

5)

.

Приклад 3.Пара випадкових величин и  має спільне нормальний розподіл з вектором математичних сподівань  і ковариационной матрицею :

.

Відомо що  . знайти .

Рішення.Спільна нормальність пари випадкових величин и  забезпечує нормальність кожної з них і будь-який їх лінійної комбінації, зокрема величина  нормальна з параметрами

, .

Підставляючи в останнє співвідношення елементи ковариационной матриці

, , ,

отримаємо

.

За умовою  , Звідки, використовуючи нормальність  , отримуємо

.

тут  функція розподілу ймовірності випадкової величини , .

Шукані дисперсії рівні, відповідно,

, .

Приклад 4.випадковий вектор  має вектор математичних очікувань  і кореляційну матрицю .

, .

Обчислити вектор математичних очікувань  випадкового вектора  і кореляційну матрицю вектора .

Рішення. .

.

. .

.

=

.

відповідь: , .

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16

Геометричне визначення ймовірності | Теореми додавання і множення ймовірностей | Формула повної ймовірності. Формула Байєса | Повторення незалежних випробувань. схема Бернуллі | Функція і її властивості | Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин | Властивості функції розподілу ймовірності випадкової величини | Властивості щільності розподілу ймовірності неперервної випадкової величини | Приклади розподілів неперервних випадкових величин | Двовимірні випадкові величини |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати