загрузка...
загрузка...
На головну

Приклади розподілів неперервних випадкових величин

  1. D АD ® D рівноважного ВНП ® величина повного ВНП
  2. I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин
  3. II. Використання генератора випадкових чисел.
  4. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  5. Абсолютні величини
  6. Абсолютні статистичні величини, їх види та одиниці віміру
  7. Абсолютні статистичні величини, одиниці їх вимірювання

 Рівномірний розподіл

, .

 Нормальний розподіл (з параметрами )

, , , , .

запис  означає, що випадкова величина  розподілена нормально з параметрами и .

 показовий розподіл

, , .

 розподіл Рейлі

,.

 Гамма-розподіл з параметрами ,

тут  - Гамма-функція:

Приклад 1.Вироби випробовуються при перевантажувальних режимах. Ймовірності для кожного виробу пройти випробування, рівні 0,8. Випробування закінчуються після першого ж вироби, що не витримав випробування.

1. Знайти закон розподілу ймовірностей (ряд розподілу) для числа випробувань (випадкової величини  ).

2. Побудувати багатокутник розподілу.

3. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік.

4. Знайти: а)  , Б)  , В) .

Рішення.Введемо в розгляд випадкову величину  число виробів, що пройшли випробування. Очевидно, що випадкова величина  може приймати значення від 1 і, теоретично, до нескінченності.

Випадкова величина  прийме значення рівне  , Якщо здійсниться подія, яка полягає в тому, що  вироби пройдуть випробування, а  -е виріб не пройде. якщо  - Ймовірність того, що виріб пройде випробування, а  - Ймовірність того, що виріб не пройде випробування, то по теоремі множення ймовірностей випадкових подій,  , де .

Закон розподілу ймовірностей буде мати вигляд

     

Для побудови багатокутника розподілу в декартовій прямокутній системі координат побудуємо точки  і з'єднаємо їх ламаної.

3. Функція розподілу

Для розв'язуваної задачі

Будуємо графік функції розподілу

4. а)

.

б) ,

в) .

Приклад 2.Дискретна випадкова величина  може приймати три значення , ,  . Ймовірності цих значень відповідно рівні , ,  . Знайти математичне сподівання  , дисперсію  і середнє відхилення .

Рішення. Для дискретної випадкової величини .

В даному випадку .

.

.

Приклад 3. Дискретна випадкова величина  може приймати три значення, два з яких відомі ,  . Ймовірності цих значень відповідно рівні ,  . Знайти закон розподілу випадкової величини  , Якщо відомо її математичне сподівання .

Рішення. Позначимо третя можливість значення випадкової величини через  . Так як для дискретної випадкової величини  , то  . значення  знайдемо з умови  , Тобто з рівняння  . Вирішивши рівняння, знайдемо  . Складемо закон розподілу

 0,4  0,5  0,1

Приклад 4. Щільність розподілу ймовірностей випадкової величини  задається співвідношенням

знайти параметр  , Функцію розподілу ймовірностей випадкової величини , , , и .

Рішення. Значення параметра  знайдемо з умови нормування  . для заданої  ця умова набуде вигляду  . Інтегруючи, отримаємо  , звідки  . отже

.

.

.

.

Приклад 5.Потік заявок, що надходять на телефонну станцію, являє собою найпростіший потік. Математичне сподівання числа викликів за годину дорівнює 30. Знайти ймовірність того, що за хвилину надійде не менше двох викликів.

Рішення.Так як потік заявок є найпростіший потік, то число заявок, що надходять на телефонну станцію, розподілено згідно із законом Пуассона

, , ,

з математичним очікуванням .

Отже, для розв'язуваної задачі

позначимо через  подія, яка полягає в тому, що за хвилину надійде не менше двох викликів. тоді

=

= .

Приклад 6.Випадкова величина  має пуассоновским розподіл і відомо, що її математичне очікування  і дисперсія  пов'язані співвідношенням .

знайти ймовірність , .

Рішення.Відомо, що математичне очікування і дисперсія пуассоновского розподілу збігаються і дорівнюють значенню його пара-метра  . Умова завдання призводить до рівняння щодо :

,

рішеннями якого є числа ,  . Останнє значення не може бути параметром пуассоновского розподілу в силу позитивності параметра. Таким чином, випадкова величина  має ряд розподілу

, .

Для шуканої ймовірності отримуємо

.

Відомо що  . З цієї рівності  . Для заданої випадкової величини ,  . отже, .

Приклад 7.Час безвідмовної роботи деякого вузла складного агрегату - експоненціальна випадкова величина із середнім  . Для збільшення надійності агрегату вузол дублюється - ставлять паралельно кілька однакових, але функціонують незалежно вузлів. Скільки вузлів слід запараллелить, щоб з ймовірністю, не меншою за 0,9, по крайней мере один з них не вийшов з ладу за 10 годин роботи?

Рішення.За умовою завдання- Випадкове час безвідмовної роботи вузла - має експоненціальне (показовий) розподіл. Це означає, що

,

Відомо, що математичне очікування експоненційної випадкової величини є величина, зворотна параметру:  . За умовою завдання  , Отже, .

Таким чином, ймовірність відмови вузла протягом 10 годин буде дорівнює .

якщо Запаралеленими  ідентичних вузлів, то подія  {Принаймні один з вузлів не вийде з ладу за 10 годин} є протилежним події  {Всі вузли вийдуть з ладу за 10 годин}. Тому,  . Вузли працюють незалежно, тому по теоремі множення ймовірностей незалежних подій

.

шукане значення  може бути знайдено як найменший цілий розв'язок нерівності

.



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Класичне визначення ймовірності | Визначення. Трійка об'єктів (?, S, Р), де ? - простір елементарних подій, S - ?-алгебра, Р - ймовірність, називається імовірнісним простором. | елементи комбінаторики | Геометричне визначення ймовірності | Теореми додавання і множення ймовірностей | Формула повної ймовірності. Формула Байєса | Повторення незалежних випробувань. схема Бернуллі | Функція і її властивості | Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин | Властивості функції розподілу ймовірності випадкової величини |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати