На головну

IV. ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ І МАТЕМАТИЧНА

  1. Погодження - теорія
  2. I. КЛАСИЧНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ІМОВІРНОСТІ.
  3. III. ТЕОРІЯ ЗОВНІШНІХ І ВЗАЄМНИХ ВПЛИВІВ
  4. III. ФОРМУЛИ ПОВНОГО ІМОВІРНОСТІ І Байєса.
  5. А) теорія держави і права (як одна з історико-теоретичних юридичних наук) ________________________________________________________________________________
  6. Агрегатні стани. Розчини: поняття, теорія. Розчини насичені, ненасичені, пересичені.

Загальний план дослідження функції:

1. Встановити область визначення функції .

2. Встановити наявність або відсутність парності, непарності, періодичності.

3. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат, точки розриву

функції, вертикальні асимптоти (якщо вони є).

4. Використовуючи першу похідну  , Досліджувати функцію на монотонність, тобто встановити інтервали зростання і спадання функції, знайти точки можливого екстремуму функції (критичні точки) і визначити його вид, якщо він існує. Використовуючи другу похідну  , Визначити інтервали опуклості і угнутості і точки перегину графіка функції.

5. Знайти похилі і горизонтальні асимптоти графіка функції.

6. При необхідності знайти числові значення функції в додаткових точках числової осі і побудувати її графік.

Приклад.Методами диференціального обчислення досліджувати функцію  і побудувати її графік.

1. Область визначення функції знаходиться з умови  , тобто  . отже .

2. Функція не є періодичною.

З'ясуємо питання про парності і непарності функції:

Функція не належить ні до класу парних, ні до класу непарних функцій.

3. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.

Перетин з віссю ОУ: x= 0, отже .

Перетин з віссю : y= 0, отже  , звідки x =0.

Таким чином, графік проходить через початок координат і функція набуває від'ємних значень в інтервалі  і позитивні в інтервалі .

Функція неперервна всюди, де вона визначена, тобто при всіх x,  крім х= 1. Досліджуємо цю точку:

;

.

Таким чином, точка  є точкою розриву 2-го роду.

Так як, при  функція  , То пряма  є вертикальною асимптотой.

4. Знайдемо критичні точки 1-го роду, тобто точки, в яких перша похідна функції звертається в нуль або не існує:

.

з умови  отримаємо,  не існує при  . Досліджуємо характер критичних точок. Крапка  не є точкою екстремуму, так як функція в цій точці не визначена.

досліджуємо  як функцію від х. Знайдемо інтервали, в яких  має постійний знак.

 
 


Визначимо області зростання та спадання функції:

при  маємо  - Функція зростає;

при  маємо  - Функція спадає;

при  маємо  - Функція зростає.

У точці  функція має максимум:

У точці  функція має мінімум:

5. Визначимо області опуклості і угнутості кривої і точки перегину.

Знайдемо критичні точки функції 2-го роду, т. Е. Точки в яких друга похідна звертається в нуль або не існує.

з умови  отримаємо:  і в точці х3 = 1  не існує.

досліджуємо  як функцію від х, Знаходимо:

при  - Крива увігнута,

при  - Крива опукла,

при  - Крива опукла,

при  - Крива увігнута.

Крапка  є точка перегину. Крапка  не є точкою перегину т. к. це точка максимуму. Крапка  не може бути точкою перегину, т. к. це точка розриву функції.

6. Визначимо похилі асимптоти кривої у вигляді .

отже  - Похила асимптота.

Результати досліджень зведемо в таблицю:

x ) (  ; 0)  (0; 1)  (1; ) ( ) ( )
+   + -  не ім. - +
+   -   -  не ім. +   +
у  зростає увігнута  точкаперегіба  зростає опукла  max  убуває опукла  точкаразрива  убуває увігнута  min  зростає увігнута

7. Будуємо графік

 
 
 

IV. ТЕОРІЯ ІМОВІРНОСТІ І МАТЕМАТИЧНА



1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Визначення. Трійка об'єктів (?, S, Р), де ? - простір елементарних подій, S - ?-алгебра, Р - ймовірність, називається імовірнісним простором. | елементи комбінаторики | Геометричне визначення ймовірності | Теореми додавання і множення ймовірностей | Формула повної ймовірності. Формула Байєса | Повторення незалежних випробувань. схема Бернуллі | Функція і її властивості | Закони розподілу та числові характеристики випадкових величин | Властивості функції розподілу ймовірності випадкової величини | Властивості щільності розподілу ймовірності неперервної випадкової величини |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати