На головну

Зразки рішень завдань контрольної роботи № 3

  1. Divide; несталий і перехідні режими роботи насосів
  2. I. КУРСОВІ РОБОТИ
  3. II. ДИПЛОМНІ РОБОТИ
  4. II. Стандарти роботи комерції
  5. III. Виконання завдань
  6. III. Виконання завдань
  7. III. Виконання наступних завдань

Приклад.Знайти приватні похідні наступних функцій:

1) ;

2) ;

3) .

1) Нехай .

вважаючи змінну  константою, знайдемо

.

Вважаючи константою змінну  , Отримаємо:

.

2) Нехай  . тоді

.

3) Нехай  . тоді

;

;

Переконуємося, що

приклад. дана функція  , крапка М0(2, -3) і вектор  . знайти  в точці М0 і похідну по напрямку вектора  в цій же точці.

маємо .

знаходимо

;

;

;

.

отже .

далі,  - Похідна по напрямку вектора  в точці М0.

знаходимо

маємо:  . значить,  Тому

Приклад. Потрібно виготовити закритий циліндричний бак даного обсягу V. Вартість квадратного метра матеріалу, що йде на виготовлення стінки бака дорівнює 8 рублів, а на виготовлення дна і кришки - 6 руб. Визначити розміри бака так, щоб витрати на покупку матеріалу, що йде на його виготовлення, були найменшими.

Рішення. Площа повної поверхні бака дорівнює S = Sбік.+ Sосн.= 2p r ? h + 2p r2. Обсяг бака дорівнює V = p r2h, де r и h - радіус підстави і висота бака відповідно. Вартість матеріалу, що йде на виготовлення бака буде u(r, h)= 2p rh ? 8 + 2p r2? 6 (Руб.). Потрібно знайти min цієї функції, за умови, що pr2? h = V або pr2h-V = 0. Складемо функцію:

F(r, h)= 2p rh ? 8 + 2pr2? 6 + l(p r2h-V)

Знайдемо її похідні по змінним r, h, l і прирівняємо їх до нуля.

.

З другого рівняння системи (при  ) знаходимо  , звідки  , Тоді з першого рівняння отримаємо  або  , Тобто  . Підставляємо це значення в третє рівняння  од. довжини масштабу і тоді  од. довжини масштабу.

З економічного сенсу завдання слід, що min функції u(r, h) Існує, і буде визначатися знайденими значеннями r и h. очевидно також

 або  (Руб.)

Приклад. Експериментально отримані п'ять значень шуканої функції  при п'яти значеннях аргументу, які записані в таблиці:

xi
yi  0,5  1,5

Методом найменших квадратів знайти шукану функціональну залежність у вигляді  . Експериментальні точки і отриману пряму зобразити в системі координат XOY.

Запишемо систему рівнянь для знаходження коефіцієнтів k и b.

.

Враховуючи що n= 5 і значення xi и yi відомі, знаходимо

;

;

;

отримуємо

 або  , звідки .

Таким чином, найкраще наближення до шуканої залежності в лінійній формі має вигляд  (Див. Рис.).

 
 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

ВИЩА МАТЕМАТИКА | Функції декількох змінних | Диференційне рівняння | Порядок виконання і захисту контрольних робіт з вищої математики | Функції багатьох змінних | Контрольна робота № 4 | метод підстановки | Метод інтегрування частинами | Інтегрування раціональних дробів | Визначений інтеграл |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати