На головну

Закон великих чисел

  1. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 1 сторінка
  2. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 2 сторінка
  3. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 3 сторінка
  4. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 4 сторінка
  5. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 5 сторінка
  6. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 6 сторінка
  7. I.4.2) Закони.

Наступні твердження і теореми складають зміст групи законів, об'єднаних загальною назвою закон великих чисел.

Лемма 1 (нерівність Маркова). нехай Х - Невід'ємна випадкова величина, тобто  . Тоді для будь-якого

,

де М(Х) - математичне очікування Х.

слідство 1. Так як події и  протилежні, то нерівність Маркова можна записати у вигляді

.

Приклад 9.1. Оцінити ймовірність того, що протягом найближчого дня потреба в воді в населеному пункті перевищить 150 000 л, якщо середньодобова потреба в ній становить 50 000 л.

Рішення. Використовуючи нерівність Маркова у вигляді  , отримаємо .

відповідь: .

Приклад 9.2.Середнє число сонячних днів в році для даної місцевості одно 90. Оцінити ймовірність того, що протягом року в цій місцевості буде не більше 240 сонячних днів.

Рішення. згідно нерівності  , маємо .

відповідь: .

Лемма 2 (нерівність Чебишева). Для будь-якої випадкової величини Х, Що має кінцеву дисперсію і будь-якого

.

слідство 2. Для будь-якої випадкової величини Х з кінцевою дисперсією і будь-якого

.

Приклад 9.3.Довжина виготовлених деталей є випадковою величиною, середнє значення якої 50 мм. Середньоквадратичне відхилення цієї величини дорівнює 0,2 мм. Оцінити ймовірність того, що відхилення довжини виготовленої деталі від її середнього значення за абсолютною величиною не перевищить 0,4 мм.

Рішення. Для оцінки ймовірності використовуємо нерівність Чебишева

,

.

відповідь: .

Приклад 9.4.Середньодобове споживання електроенергії в населеному пункті одно 20 000 кВт / год, а середньоквадратичне відхилення - 200 кВт / год. Якого споживання електроенергії в цьому населеному пункті можна очікувати в найближчі добу з ймовірністю, неменшою 0,96?

Рішення. Скористаємося нерівністю Чебишева  . Підставами в праву частину нерівності замість  величину  , Зробимо її більшою або рівною 0,96:

.

Отже, в цьому населеному пункті можна очікувати з імовірністю неменшою 0,96 споживання електроенергії  , Тобто .

відповідь: від 19 000 до 21 000.

Теорема Чебишева. якщо  послідовність незалежних випадкових величин з математичними очікуваннями  і дисперсіями  , Обмеженими однією і тією ж постійною  , То якою б не була постійна

.

При доказі граничного рівності використовується нерівність

,

яке випливає з нерівності Чебишева.

Приклад 9.5.За значення деякої величини приймають середньоарифметичне досить великого числа її вимірів. Припускаючи, що середньоквадратичне відхилення можливих результатів кожного вимірювання не перевищує 5 мм, оцінити ймовірність того, що при 1000 вимірювань невідомої величини відхилення прийнятого значення від істинного по абсолютній величині не перевищить 0,5 мм.

Рішення. скористаємося нерівністю

.

За умовою , ,  Отже, шукана ймовірність

відповідь:

Окремими випадками теореми Чебишева є теореми Бернуллі і Пуассона.

Теорема Бернуллі. При необмеженому збільшенні числа незалежних дослідів частость появи  деякої події А сходиться по ймовірності до його ймовірності р = Р(А):

,

де  - Як завгодно мале позитивне число.

При доведенні теореми Бернуллі отримуємо таку оцінку

 , Яка застосовується на практиці.

Теорема Пуассона. якщо проводиться  незалежних дослідів і ймовірність появи події А в  -м досвіді дорівнює  , То при увелічіненіі  частость  події А сходиться по ймовірності до среднеарифметическому ймовірностей :

,

де  - Як завгодно мале позитивне число. При доказі цієї теореми використовується нерівність

,

має практичне застосування.

Приклад 9.6.При контрольній перевірці виготовляються приладів було встановлено, що в середньому 15 шт. з 100 виявляється з тими чи іншими дефектами. Оцінити ймовірність того, що частка приладів з дефектами серед 400 виготовлених буде за абсолютною величиною відрізнятися від математичного очікування цієї частки не більше ніж на 0,05.

Рішення. скористаємося нерівністю

.

За умовою ,  . В якості р візьмемо величину, отриману під час перевірки для частки шлюбу .

Отже, .

відповідь: .

Приклад 9.7.Імовірність того, що виріб є якісним, дорівнює 0,9. Скільки слід перевірити виробів, щоб з ймовірністю неменшою 0,95 можна було стверджувати, що абсолютна величина відхилення частки якісних виробів від 0,9 не перевищить 0,01?

Рішення. скористаємося нерівністю

.

За умовою , ,  . Підставами в праву частину вищенаведеного нерівності ці значення

.

відповідь: .

 



Попередня   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   Наступна

Для неперервної випадкової величини | Рішення. | Завдання для самостійного рішення | Числові характеристики неперервних випадкових величин | Завдання для самостійного рішення | Рівномірний закон розподілу | Завдання для самостійного рішення | Показовий (експонентний) закон розподілу | Завдання для самостійного рішення | Нормальний закон розподілу |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати