загрузка...
загрузка...
На головну

Нормальний закон розподілу

  1. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 1 сторінка
  2. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 2 сторінка
  3. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 3 сторінка
  4. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 4 сторінка
  5. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 5 сторінка
  6. I бігання злочин, пов'язаним Із незаконного обігом 6 сторінка
  7. I.4.2) Закони.

Безперервна випадкова величина Х має нормальний закон розподілу (закон Гаусса) з параметрами а и  , Якщо її щільність ймовірності має вигляд

.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або кривою Гаусса.

На рис. 8.14 наведені нормальна крива р(х) З параметрами а и  , Тобто  , І графік функції розподілу випадкової величини Х, Що має нормальний закон

 
 


Мал. 8.14

Нормальна крива симетрична відносно прямої х = а, Має максимум в точці х = а, рівний  , І дві точки перегину  з ординатою .

Для випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, , .

Функція розподілу випадкової величини Х, Розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф(х) за формулою

,

де .

Ймовірність влучення значень нормальної випадкової величини Х в інтервал  визначається формулою

.

Імовірність того, що відхилення випадкової величини Х, Розподіленої за нормальним законом, від математичного очікування а не перевищить величину  (По абсолютній величині), дорівнює

.

«Правило трьох сигм»: якщо випадкова величина Х має нормальний закон распределеніяс параметрами а и  тобто  , То практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі

.

Асиметрія нормального розподілу А = 0; ексцес нормального розподілу Е = 0.

Приклад 8.23. Визначити закон розподілу випадкової величини Х, Якщо її щільність розподілу ймовірностей задана функцією

.

Знайти математичне сподівання, дисперсію і функцію розподілу випадкової величини Х.

Рішення. Порівнюючи цю функцію р(х) З функцією щільності ймовірності для випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, робимо висновок, що випадкова величина Х розподілена за нормальним законом з параметрами а = 1 і .

тоді , , .

Функція розподілу випадкової величини Х має вигляд

.

Приклад 8.24. Поточна ціна акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з математичним очікуванням 15 ден. од. і середнім квадратичним відхиленням 0,2 ден. од.

Знайти ймовірність того, що ціна акції: а) не вище 15,3 ден. од .; б) не нижче 15,4 ден. од .; в) від 14,9 до 15,3 ден. од. За допомогою «правила трьох сигм» знайти кордону, в яких буде перебувати поточна ціна акції.

Рішення. Так як а = 15 і  , то

За «правилом трьох сигм»  і, отже,  . остаточно .

Приклад 8.25. Автомат виготовляє деталі, які вважаються придатними, якщо відхилення Х від контрольного розміру по модулю не перевищує 0,8 мм. Яке найбільш ймовірне число придатних деталей з 150, якщо випадкова величина Х розподілена нормально з  мм?

Рішення. Знайдемо ймовірність відхилення при и

вважаючи наближено р = 0,95 і  відповідно до формули

де  - Найімовірніше число, знаходимо при

звідки

Приклад 8.26. Розмір діаметра втулок, виготовлених заводом, можна вважати нормально розподіленої випадкової величиною з математичним очікуванням а = 2,5 см і середнім квадратичним відхиленням  см.
 В яких межах можна практично гарантувати розмір діаметра втулки, якщо за ймовірність практичної достовірності приймається 0,9973?

Рішення. За «правилом трьох сигм»  . Звідси  , Тобто .

Приклад 8.27. Зростання дорослих чоловіків є випадковою величиною, розподіленою за нормальним законом. Нехай математичне очікування її одно 175 см, а середньоквадратичне відхилення - 6 см. Визначити ймовірність того, що хоча б один з навмання обраних п'яти чоловіків матиме зростання від 170 до 180 см.

Рішення. Знайдемо ймовірність того, що зріст чоловіка буде належати інтервалу :

Тоді ймовірність того, що зростання чоловіки не буде належати інтервалу (170; 180) q = 1 - 0,6 = 0,4.

Імовірність того, що хоча б один з 5 чоловіків матиме зростання від
 170 до 180 см дорівнює

.

Приклад 8.28. Бракування кульок для підшипників проводиться таким чином: якщо кулька не проходить через отвір діаметром  , Але проходить через отвір діаметром  , То його розмір вважається прийнятним. Якщо яке-небудь з цих умов не виконується, то кульку бракується. Відомо, що діаметр кульки  є випадкова величина з характеристиками и  . Визначити ймовірність того, що кулька буде забракований.



Попередня   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   Наступна

Завдання для самостійного рішення | Безперервні випадкові величини. щільність ймовірності | Для неперервної випадкової величини | Рішення. | Завдання для самостійного рішення | Числові характеристики неперервних випадкових величин | Завдання для самостійного рішення | Рівномірний закон розподілу | Завдання для самостійного рішення | Показовий (експонентний) закон розподілу |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати