загрузка...
загрузка...
На головну

Числові характеристики неперервних випадкових величин

  1. D АD ® D рівноважного ВНП ® величина повного ВНП
  2. I Числові послідовності
  3. I. Приклади деяких розподілів дискретних випадкових величин
  4. II. Використання генератора випадкових чисел.
  5. III.2.1) Поняття злочину, його основні характеристики.
  6. U - образні і робочі характеристики синхронного двигуна
  7. U - образні характеристики синхронного генератора

Математичне очікування неперервної випадкової величини Х, Можливі значення якої належать всій осі Ох, Визначається рівністю

де р(х) - Щільність розподілу випадкової величини Х. Передбачається, що інтеграл сходиться абсолютно. Зокрема, якщо всі можливі значення належать інтервалу  , то

дисперсія неперервної випадкової величини Х, Можливі значення якої належать всій осі Ох визначається рівністю

якщо інтеграл сходиться, або рівносильним рівністю

Зокрема, якщо всі можливі значення Х належать інтервалу  , то

або

Всі властивості математичного сподівання і дисперсії для дискретних випадкових величин справедливі і для безперервних величин.

Середнє квадратичне відхилення неперервної випадкової величини визначається рівністю

.

модою  неперервної випадкової величини Х називається її найбільш ймовірне значення (для якого щільність ймовірності р(х) Досягає максимуму).

медианой  неперервної випадкової величини Х називається таке її значення, для якого

.

вертикальна пряма  , Що проходить через точку з абсцисою, що дорівнює  , Геометрично ділить площу фігури під кривою розподілу на дві рівні частини (рис. 8.7).

 
 


Мал. 8.7

Очевидно, що .

Початковий теоретичний момент порядку k неперервної випадкової величини Х визначається рівністю

.

Центральний теоретичний момент порядку k неперервної випадкової величини Х визначається рівністю

.

Якщо всі можливі значення Х належать інтервалу  , то

, .

Очевидно, що ; ; ; ;  . Центральні моменти виражаються через початкові моменти за формулами:

,

,

.

Математичне очікування М(Х), Або перший початковий момент, характеризує середнє значення розподілу випадкової величини Х; другий центральний момент, або дисперсія  , - Ступінь розсіювання розподілу Х щодо М(Х).

Третій центральний момент служить для характеристики асиметрії розподілу.

величина  називається коефіцієнтом асиметрії випадкової величини.

А = 0, якщо розподіл симетрично щодо математичного очікування.

Четвертий центральний момент характеризує крутість розподілу.

ексцесом випадкової величини називається число

.

Криві більш островершінние, ніж крива для нормального розподілу, мають позитивний ексцесом, більш плосковершінние - негативним ексцесом.

Приклад 8.7. дана функція

При якому значенні параметра с ця функція є щільністю розподілу деякої неперервної випадкової величини Х? Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини Х.

Рішення. Для того щоб р(х) Була щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х, Вона повинна бути неотрицательна, тобто  , звідки  і вона повинна задовольняти властивості 4 щільності ймовірності.

отже,

звідки

.

знайдемо інтеграл  , Застосувавши метод інтегрування частинами

Таким чином,

і щільність розподілу має вигляд

отже,

дисперсія

спочатку знайдемо

тепер

 
 

Приклад 8.8. Випадкова величина Х розподілена по «закону прямокутного трикутника» в інтервалі  (Рис. 8.8).

 
 

1. Написати вираз щільності розподілу.

2. Знайти функцію розподілу F(х).

3. Знайти ймовірність попадання випадкової величини Х на ділянку від  до а.

4. Знайти характеристики величини Х: М(Х), D(Х), , .

Рішення. Так як площа прямокутного трикутника є площа фігури, обмеженої кривою розподілу і віссю абсцис, то вона дорівнює одиниці:  і, отже,  . Рівняння прямої АВ в відрізках має вигляд  , звідки  , Тобто функція щільності розподілу має вигляд

Знайдемо функцію розподілу F(х):

якщо  , то

якщо  , то

якщо  , то

Таким чином,

Ймовірність влучення випадкової величини Х на ділянку від  до а визначається за формулою

.

Знайдемо математичне сподівання:

отже,

,

.

Так як  , а , ,

,

то .

Приклад 8.9. За даними завдання 8.5 знайти математичне очікування М(Х), Дисперсію D(Х), Моду М0(Х) І медіану Ме(Х).

Рішення. Так як

то .

дисперсія

спочатку знайдемо

.

отже,

Графік щільності ймовірності р(х) Має вигляд (рис. 8.9)

 
 

Мал. 8.9

щільність ймовірності р(х) Максимальна при х = 2, це означає, що М0(Х) = 2.

з умови  знайдемо медіану Ме(Х):  ; звідки

Приклад 8.10. дана функція

Знайти коефіцієнт асиметрії і ексцес випадкової величини Х.

Рішення. Щільність розподілу випадкової величини Х дорівнює

Так як асиметрія  , ексцес  , То знайдемо початкові моменти першого, другого, третього і четвертого порядків:

тоді

Так як  то  отже,

Приклад 8.11. Щільність випадкової величини Х задана в такий спосіб:

Знайти моду, медіану і математичне очікування Х.

Рішення. Знайдемо математичне сподівання Х:

.

Так як щільність розподілу досягає максимуму при х = 1, то М0(Х) = 1. медіану Ме(Х) Знайдемо з умови  . Для цього спочатку знайдемо функцію розподілу :

якщо  , то

якщо  , то

якщо  , то

Таким чином,

рівняння  рівносильне рівнянню  , звідки .

Приклад 8.12. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу

Знайти математичне сподівання функції  (Не знаходячи попередньо щільності розподілу  ).

Рішення. Скориставшись формулою для обчислення математичного очікування функції  від випадкового аргументу Х

де а и b - Кінці інтервалу, в якому укладені можливі значення Х, отримаємо

Приклад 8.13. Випадкова величина Х задана щільністю розподілу

Знайти моду, математичне очікування і медіану величини Х.

Рішення. Так як  , То звідси видно, що при х = 4 щільність розподілу досягає максимуму і, отже, М0(Х) = 4 (можна було знайти максимум методами диференціального обчислення).

Крива розподілу симетрична відносно прямої х = 4, тому М(Х) = Ме(Х) = 4.

 



Попередня   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   Наступна

Дисперсія випадкової величини | Властивості дисперсії випадкової величини | Біноміальний закон розподілу | розподіл Пуассона | геометричний розподіл | гіпергеометричний розподіл | Завдання для самостійного рішення | Безперервні випадкові величини. щільність ймовірності | Для неперервної випадкової величини | Рішення. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати