загрузка...
загрузка...
На головну

гіпергеометричний розподіл

  1. IV.2 Розподіл годин за темами та видами навчальної роботи.
  2. альтернативне розподіл
  3. Барометрична формула і розподіл Больцмана
  4. Барометрична формула. РозподілБольцмана
  5. Біноміальний розподіл
  6. Біноміальний розподіл (розподіл Бернуллі)
  7. Біноміальний розподіл ймовірностей

нехай є N елементів, з яких М елементів володіють деяким ознакою А. Витягуються випадковим чином без повернення n елементів. Х - Дискретна випадкова величина, число елементів володіють ознакою А, Серед відібраних n елементів. Імовірність, що Х = m визначається за формулою

.

Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини, розподіленої по гіпергеометричну закону, визначаються формулами:

,

.

Приклад 7.2. В акредитації беруть участь 4 комерційних ВНЗ. Ймовірності пройти акредитацію і отримати сертифікат для цих вузів, відповідно рівні 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Скласти закон розподілу числа комерційних вузів, які не пройшли акредитацію. Знайти числові характеристики цього розподілу.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає число комерційних вузів, які не пройшли акредитацію. Можливі значення, які може прийняти випадкова величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для написання закону розподілу необхідно розрахувати відповідні ймовірності. Позначимо через подію  - Перший вищий навчальний заклад пройшов акредитацію,  - Другий,  - Третій,  - Четвертий. тоді ; ; ;  . Ймовірності для вузів не пройти акредитацію відповідно рівні ; ; ; .

Тоді маємо:

.

Запишемо закон розподілу у вигляді таблиці

Х
Р  0,012  0,106  0,320  0,394  0,168

Перевірка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1.

обчислимо

.

обчислимо :

,

. .

Приклад 7.3. Імовірність того, що в бібліотеці необхідна студенту книга вільна, дорівнює 0,3. Скласти закон розподілу числа бібліотек, які послідовно відвідає студент, щоб взяти необхідну книгу, якщо в місті 3 бібліотеки.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає число бібліотек, які відвідає студент, щоб отримати необхідну книгу. Можливі значення, які прийме випадкова величина Х: 1, 2, 3.

Позначимо через подію  - Книга вільна в першій бібліотеці,  - у другий,  - В третій. тоді  . Імовірність протилежної події, що книга зайнята

.

Для написання закону розподілу розрахуємо відповідні ймовірності:

,

,

Запишемо закон розподілу у вигляді таблиці.

Х
Р  0,3  0,21  0,49

Перевірка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

Приклад 7.4. З надходять в ремонт 10 годині 7 потребують загальної чищенні механізму. Годинник не розсортовані по виду ремонту. Майстер, бажаючи знайти годинник, які потребують чищення, розглядає їх по черзі і, знайшовши такий годинник, припиняє подальший перегляд. Скласти закон розподілу числа переглянутих годин. Знайти математичне сподівання і дисперсію цієї випадкової величини.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає кількість переглянутих годин. Можливі значення, які прийме випадкова величина Х: 1, 2, 3, 4. Всі значення випадкової величини залежні.

Для написання закону розподілу обчислимо ймовірності того, що випадкова величина прийме кожне зі своїх можливих значень. Для розрахунку ймовірностей будемо використовувати формулу класичної ймовірності і теорему множення для залежних подій.

нехай подія  - Перші, взяті навмання, годинник, які потребують чищення,  - Другі,  - Треті,  - Четверті. Тоді маємо:

,

,

,

Запишемо закон розподілу у вигляді таблиці

Х
Р

Перевіримо, що :

.

Обчислимо математичне сподівання випадкової величини за формулою

.

Обчислимо дисперсію випадкової величини за формулою

.

обчислимо ,

.

Приклад 7.5. Відомо, що в певному місті 20% городян добираються на роботу особистим автотранспортом. Випадково обрані 4 людини. Скласти закон розподілу числа людей, що добираються на роботу особистим автотранспортом. Знайти числові характеристики цього розподілу. Написати функцію розподілу і побудувати її графік.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає число людей у ??вибірці, які добираються на роботу особистим автотранспортом. Можливі значення, які може прийняти випадкова величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Імовірність того, що кожен з відібраних людей, які добираються на роботу особистим автотранспортом, постійна і дорівнює  . Імовірність протилежної події, тобто того, що кожен з відібраних людей добирається на роботу не особистим автотранспортом, дорівнює  . Всі 4 випробування незалежні. Випадкова величина  підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей з параметрами ; ;  . Для написання закону розподілу обчислимо ймовірності того, що випадкова величина прийме кожне зі своїх можливих значень.

Розрахунок шуканих ймовірностей здійснюється за формулою Бернуллі:

.

,

,

,

,

.

Запишемо закон розподілу у вигляді таблиці

Х
Р  0,4096  0,4096  0,1536  0,0256  0,0016

Так як всі можливі значення випадкової величини утворюють повну групу подій, то сума їх ймовірностей повинна дорівнювати 1.

Перевірка: 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 1.

Знайдемо числові характеристики дискретної випадкової величини: математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення. Математичне сподівання може бути розраховане по формулі

.

Так як випадкова величина підпорядковується біномінальної закону, то для розрахунку математичного очікування можна скористатися формулою

.

Дисперсія випадкової величини може бути розрахована за формулою :

,

.

В даному випадку дисперсію можна розрахувати за формулою

.

Розрахуємо середньоквадратичне відхилення випадкової величини за формулою

.

Складемо функцію розподілу випадкової величини Х за формулою

.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Запишемо функцію розподілу

Графік функції розподілу ймовірностей має ступінчастий вигляд (рис. 7.3). Скачки рівні можливостям, з якими випадкова величина приймає можливі значення.

 
 

Мал. 7.3

Приклад 7.6. Клієнти банку, які пов'язані один з одним, не повертають кредити в строк з ймовірністю 0,1. Скласти закон розподілу числа повернутих у строк кредитів з 5 виданих. Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квадратичне відхилення цієї випадкової величини.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає число кредитів, повернутих клієнтами в термін. Можливі значення, які може прийняти випадкова величина Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Імовірність того, що кожен клієнт поверне кредит в строк, постійна і дорівнює  . Імовірність того, що кредит не буде повернутий в строк, дорівнює  . Всі 5 випробувань незалежні. Випадкова величина підпорядковується біноміальному розподілу з параметрами ; ; ;  . Для написання закону розподілу обчислимо ймовірності того, що випадкова величина прийме кожне зі своїх можливих значень. Розрахунок шуканих ймовірностей здійснюється за формулою Бернуллі

,

,

,

,

,

,

.

Запишемо закон розподілу у вигляді таблиці

Х
Р  0,00001  0,00045  0,0081  0,0729  0,32805  0,59049

Математичне сподівання обчислимо за формулою

.

Дисперсію обчислимо за формулою

.

Приклад 7.7. З 10 телевізорів на виставці виявилися 4 телевізора фірми «Соні». Навмання для огляду обрані 3 телевізора. Скласти закон розподілу числа телевізорів фірми «Соні» серед 3 відібраних.

Рішення. Як випадкової величини Х виступає число телевізорів фірми «Соні». Можливі значення, які може прийняти випадкова величина Х: 0, 1, 2, 3. Для написання закону розподілу обчислимо ймовірності того, що випадкова величина прийме кожне зі своїх можливих значень. Ці ймовірності можна розрахувати за формулою класичної ймовірності :

;

.

Запишемо закон розподілу

Х
Р

Переконаємося, що .

Приклад 7.8. На двох автоматичних верстатах виробляються однакові вироби. Дано закони розподілу числа бракованих виробів, вироблених протягом зміни на кожному з них:

Х: Для першого

Х
Р  0,1  0,6  0,2  0,1

Y: Для другого

Y
Р  0,5  0,3  0,2

Скласти закон розподілу числа вироблених протягом зміни бракованих виробів обома верстатами. Перевірити властивість математичного очікування суми випадкових величин.

Рішення. Для того щоб скласти закон розподілу Х + Y необхідно складати  , А відповідні їм ймовірності помножити :

; ,

; ,

; ,

; ,

; ,

; ,

,

,

,

,

,

.

Закон розподілу запишемо у вигляді таблиці

Х + Y
P  0,05  0,33  0,3  0,23  0,07  0,02

Перевіримо властивість математичного очікування :

,

,

,

.

Приклад 7.9. Дискретна випадкова величина Х має тільки два можливих значення: и  , причому  . Імовірність того, що Х прийме значення  , Дорівнює 0,6. Знайти закон розподілу величини Х, Якщо математичне сподівання ; .

Рішення. Сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці, тому ймовірність того, що Х прийме значення  . Напишемо закон розподілу Х

X
P  0,6  0,4

Для того щоб відшукати и  необхідно скласти два рівняння. З умови задачі випливає, що , .

Складемо систему рівнянь

Вирішивши цю систему, маємо ; и ; .

За умовою  , Тому завданню задовольняє лише перше рішення, тобто ;  . Тоді закон розподілу має вигляд

X
P  0,6  0,4

Приклад 7.10. випадкові величини и  незалежні. Знайти дисперсію випадкової величини  , Якщо відомо, що , .

Рішення. Так як мають місце властивості дисперсії

и  , То отримаємо

.

 



Попередня   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   Наступна

Дискретна випадкова величина | Математичне сподівання М (Х) випадкової величини | Властивості математичного очікування | Дисперсія випадкової величини | Властивості дисперсії випадкової величини | Біноміальний закон розподілу | розподіл Пуассона | Безперервні випадкові величини. щільність ймовірності | Для неперервної випадкової величини | Рішення. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати