загрузка...
загрузка...
На головну

Дискретні випадкові величини

  1. U За уривчастості зв'язку діляться на безперервні і дискретні.
  2. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  3. абсолютні величини, що характеризують обсяг явища за певний період часу - результат процесу.
  4. Абсолютні і відносні величини
  5. Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності
  6. Аномалії величини, форми і структури твердих тканин зубів.
  7. Величини. Порівняння. Вимірювання

Визначення 13.1. Випадкова величина Х називається дискретної, Якщо вона приймає кінцеве або рахункове число значень.

Визначення 13.2. Законом розподілу випадкової величини Х називається сукупність пар чисел ( ,  ), Де  - Можливі значення випадкової величини, а  - Ймовірно, з якими випадкова величина приймає ці значення, тобто  = P {X=  }, Причому  = 1.

Найпростішою формою завдання дискретної випадкової величини є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини і відповідні їм ймовірності. Така таблиця називається поруч розподілу дискретної випадкової величини.

Х  ...  ...
Р  ...  ...

Ряд розподілу можна зобразити графічно. У цьому випадку по осі абсцис відкладається  , По осі ординат - ймовірність  . Точки з координатами ( ,  ) З'єднують відрізками і отримують ламану, звану многоугольником розподілу, який є однією з форм завдання закону розподілу дискретної випадкової величини.

Приклад 13.3. Побудувати багатокутник розподілу випадкової величини Х з рядом розподілу

Х
Р  0,1  0,3  0,2  0,4

Визначення 13.4. Кажуть, що дискретна випадкова величина Х має біномінальної розподіл з параметрами (n, p) Якщо вона може приймати цілі невід'ємні значення k  {1,2, ...,n} З вірогідністю Р (Х = х) = .

Ряд розподілу має вигляд:

Х  ... k  ... n
Р  ...  ...

сума ймовірностей = = 1.

Визначення 13.5.Кажуть, що дискретна форма випадкової величини Х має розподіл Пуассона з параметром (  > 0), якщо вона приймає цілі значення k  {0,1,2, ...} з вірогідністю Р (Х = k) = .

Ряд розподілу має вигляд

Х  ... k  ...
Р  ...  ...

Так як розкладання  в ряд Маклорена має такий вигляд  , Тоді сума ймовірностей = =  = 1.

позначимо через Х число випробувань, які потрібно провести до першої появи події А в незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи А в кожному з них дорівнює p (0 < p <1), а ймовірність непоявленія  . можливими значеннями Х є натуральні числа.

Визначення 13.6. Кажуть, що випадкова величина Х має геометричний розподіл з параметром p (0 < p <1), якщо вона приймає натуральні значення k  N з вірогідністю Р (Х = k) =  , де . Ряд розподілу:

Х  ... n  ...
Р  ...  ...

сума ймовірностей = =  = 1.

Приклад 13.7. Монета кинута 2 рази. Скласти ряд розподілу випадкової величини Х  числа випадінь «герба».

P2(0) = =  ; P2(1) = =  = 0,5; P2(2) = = .

Х
Р

Ряд розподілу набуде вигляду:

.

Приклад 13.8. Із знаряддя стріляють до першого попадання в ціль. Ймовірність влучення при одному пострілі 0,6.  відбудеться потрапляння при 3-му пострілі.

 оскільки p= 0,6, q= 0,4, k= 3, тоді Р (А) =  = 0,42* 0,6 = 0,096.


14 Числові характеристики дискретних випадкових величин

Повністю характеризує випадкову величину закон розподілу, однак часто він буває невідомий, тому доводиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами (параметрами), що описують випадкову величину сумарно. Вони називаються числовими характеристиками випадкової величини. До них відносяться: математичне сподівання, дисперсія та ін.

Визначення 14.1. математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів всіх її можливих значень на їх імовірності. Позначають математичне сподівання випадкової величини Х через МХ= М (Х) = ЕХ.

Якщо випадкова величина Х приймає кінцеве число значень, то МХ= .

Якщо випадкова величина Х приймає рахункове число значень, то МХ= ,

причому математичне сподівання існує, якщо ряд сходиться абсолютно.

Зауваження 14.2. Математичне очікування  деяке число, приблизно рівне певному значенню випадкової величини.

Приклад 14.3. Знайти математичне сподівання випадкової величини Х, Знаючи її ряд розподілу

Х
Р  0,1  0,6  0,3

МХ= 3 * 0,1 + 5 * 0,6 + 2 * 0,3 = 3,9.

Приклад 14.4. Знайти математичне сподівання числа появ події А в одному випробуванні, якщо ймовірність події А дорівнює p.

 Випадкова величина Х - Число появи події A в одному випробуванні. Вона може приймати значення  = 1 (A наступило) з ймовірністю p и  = 0 з ймовірністю  , Тобто ряд розподілу

Х
Р p q

МХ= 1 •p+ 0 •q=p.

Тобто, математичне очікування числа появ події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Властивості математичного очікування

Властивість 14.5.Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної: МС = С.

 Будемо розглядати постійну З як дискретну випадкову величину з рядом

С C
Р

Звідси МС = С * 1 = С.

Зауваження 14.6. Твір постійної величини С на дискретну випадкову величину Х Визначається як дискретна випадкова величина СХ, Можливі значення якої дорівнюють добуткам постійної С на можливі значення Х, Ймовірності цих значень СХ рівні можливостям відповідних можливих значень Х.

Властивість 14.7.Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

М (СХ) = С • МХ.

 Якщо випадкова величина Х має ряд розподілу

Х  ...  ...
Р  ...  ...

Ряд розподілу випадкової величини

 СХ  ...  ...
Р  ...  ...

М (СХ) = =  = С • М (Х).

Визначення 14.8.випадкові величини ,  , ...,  називаються незалежними, Якщо для , i= 1,2, ...,n

Р { ,  , ...,  } = Р {  } Р {  } ... Р {  } (1)

Якщо в якості = , i= 1,2, ...,n, То отримаємо з (1)

Р { < , <  , ..., <  } = Р { <  } Р { <  } ... Р { <  }, Звідки виходить інша формула:

( ,  , ...,  ) = ( ) (  ) ... (  ) (2)

для спільної функції розподілу випадкових величин ,  , ...,  , Яку можна також взяти в якості визначення незалежності випадкової величини.

Властивість 14.9.Математичне сподівання добутку 2-х незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

М (ХУ) = МХ• МУ.

Властивість 14.10.Математичне сподівання суми 2-х випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

М (Х + У) = МХ+ МУ.

Зауваження 14.11. Властивості 14.9 і 14.10 можна узагальнювати на випадок декількох випадкових величин.

Приклад 14.12. Знайти математичне сподівання суми числа очок, які можуть випасти при киданні 2-х ігрових кісток.

 нехай Х  число очок, що випали на першій кістки, У  число очок, що випали на другий кістки. Вони мають однакові ряди розподілу:

Х
Р

тоді МХ= МУ=  (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = =  . М (Х + У) = 2 *  = 7.

Теорема 14.13. Математичне сподівання числа появ події А в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні: МХ=np.

 нехай Х - Число появ події А в n незалежних випробуваннях.  число появ події А в i-тому випробуванні, i= 1,2, ...,n. тоді = +  + ... +  . За властивостями математичного сподівання МХ=  . З прикладу 14.4 MXi=p, i= 1,2, ...,n, звідси МХ= =np.

Визначення 14.14.дисперсією випадкової величини називається число DX= M (X-MX)2.

Визначення 14.15.Середнім квадратичним відхиленнямвипадкової величини Х називається число =.

Зауваження 14.16. Дисперсія є мірою розкиду значень випадкової величини навколо її математичного очікування. Вона завжди неотрицательна. Для підрахунку дисперсії зручніше користуватися іншою формулою:

DX = M (X - MX)2 = M (X2 - 2X •MX + (MX)2) = M (X2) - 2M (X •MX) + M (MX)2= = M (X2) -MX • MX +(MX)2= M (X2) - (MX)2.

Звідси DX= M (X2) - (MX)2.

Приклад 14.17. Знайти дисперсію випадкової величини Х, Задану поруч розподілу

X
P  0,1  0,6  0,3

MX= 2 * 0,1 + 3 * 0,6 + 5 * 0,3 = 3,5; M (X2) = 4 * 0,1 + 9 * 0,6 + 25 * 0,3 = 13,3;

DX= 13.3- (3,5)2= 1,05.

властивості дисперсії

Властивість 14.18. Дисперсія постійної величини дорівнює 0:

DC = 0

 DC = M (С MС)2= M (С С)2= 0.

Властивість 14.19. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат

D (СX) = C2 DX.

 D (великий CX) = М (С CMX)2= М (С (X- MX)2) = C2 M (X - MX)2 = C2DX.

Властивість 14.20. Дисперсія суми 2-х незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин

D (Х + Y) = DХ+ DY.

 D (X + У) = М ((X + Y)2) - (M (X + Y))2= M (X2 + 2XY + Y2) - (MX + MY)2= = M (X)2+ 2МХМY+ M (Y2) - (M (X)2+ 2МХМY+ M (Y)2) = M (X2) - (MX)2+ M (Y2) - (MY)2= = DX+ DY.

Слідство 14.21. Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій.

Теорема 14.22. Дисперсія числа появ події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність p появи події постійна, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і непоявленія події в даному випробуванні.

DX =npq.

X - Число появ події А в n незалежних випробуваннях, Х=  , де  - Число появ A в i-тому випробуванні, взаємно незалежні, оскільки результат кожного випробування не залежить від результатів інших.

DX = ,

Р p q

Отримуємо, що М =p і M =p, Тоді D  = M (  ) - (М )2=p-p2=p(1-p) =pq. отже DX = =npq.

Приклад 14.23. Проводяться 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,6. знайти дисперсію Х - Числа появ події в цих випробуваннях.

 оскільки n= 10, p= 0,6, q= 0,4, тоді DX=npq= 10 * 0,6 * 0,4 = 2,4.

Визначення 14.24.Початковим моментом порядку kвипадкової величини Х називають математичне сподівання випадкової величини :

 = M (  ).

 = M (  ),  = M (  ). Звідси DX = - .

Визначення 14.25.Центральним моментом порядку k випадкової величини Х називається математичне сподівання випадкової величини (X-MX)k.

 = М [(X-MX)k].

Таким чином,  = М [X-MX] = MX - MX = 0,  = М [(X-MX)2] = DX. отже = - .

За визначенням центрального моменту і користуючись властивостями математичного сподівання можна отримати формули для моментів більш високих порядків:

=  -3  +2 ,

=  -4  +6  -3 .

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Функції та способи їх завдання. | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності | Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей | геометричні ймовірності | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса | Схема незалежних випробувань Бернуллі. поліномінальної розподіл | Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати