Головна |
Теорема 11.1. (Пуассона) Нехай виробляється n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Тоді, якщо число випробувань необмежено зростає, а p 0, причому n · p = a - Величина постійна, то Pn(k) .
За формулою Бернуллі ймовірність того, що подія з'явиться рівно k раз в n незалежних випробуваннях
Pn(k) = pkqn-k= pk(1 - p)n-k.
Звідси
Pn(k) = pk(1 - p)n-k= pk(1 - p)n-k.
За умовою a = n · p p = , підставляючи, отримаємо:
Pn(k) = =
= ... =
= ... .
Переходячи до межі при n ?
= = [Тому ].
Зауваження 11.2. Теоремою Пуассона зручно користуватися, коли p 0, причому a = n · p 10.Существуют спеціальні таблиці, в яких наведені значення ймовірностей для різних параметрів a и k.
Формула Бернуллі зручна, коли значення n не надто велике. В іншому випадку використовують наближені формули з теорем Муавра-Лапласа.
Теорема 11.3. (локальна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність появи події А в кожному окремому випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, т.е.0 p <1, то ймовірність того, що подія A з'явиться рівно k раз в n незалежних випробуваннях
Pn(k) , де - Мала функція Лапласа, , q= 1p.
Є спеціальні таблиці значень функції . Потрібно враховувати, що функція - Парна, тобто = .
Теорема 11.4.(інтегральна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність появи події А в кожному окремому випробуванні постійна і відмінна від відмінна від 0 і 1, тобто 0 p <1, то ймовірність того, що подія А з'явиться від k1 до k2 раз в n незалежних випробуваннях, визначаться виразом:
Pn(k1, k2) , де - Функція Лапласа, , , q= 1p.
Функція Лапласа - непарна, тобто . Значення знаходять по таблиці.
Приклад 11.5. Нехай ймовірність події А в кожному окремому випробуванні p= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться 75 раз в 100 незалежних випробуваннях.
За локальної теореми Муавра-Лапласа х = = = -1,25. значення (-1,25) = (1,25) = 0,1826 знаходиться по таблиці.
тоді ймовірність
P100(75) * 0,1826 0,04565.
Приклад 11.6. Імовірність Р (А) Появи події А в одному випробуванні дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться понад 69 разів у 100 незалежних випробуваннях.
n= 100, p= 0,8, q= 0,2, k1=70, k1=100.
За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа = = = -1,25, = = = 5. За таблицею (-2,5) = - (2,5) = -0,4938, (5) = 0,5, P100(70,100) (5) - (-2,5) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938
тексти лекцій | Елементи теорії множин. Безлічі і операції над ними | Функції та способи їх завдання. | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності | Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей | геометричні ймовірності | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса |