загрузка...
загрузка...
На головну

Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа

  1. Аксіома Больцано-Вейєрштрасса і теорема про стягують системі відрізків
  2. В) Теорема про зміну моментів кількості руху для матеріальної системи (теорема моментів)
  3. Друга теорема подвійності
  4. Друга теорема Шеннона.
  5. Діфференціалданатин функціялар турали теоремалар
  6. Завдання Д-4. Теорема про рух центру мас
  7. Завдання Д-5. Теорема про зміну кінетичного моменту матеріальної системи (теорема моментів)

Теорема 11.1. (Пуассона) Нехай виробляється n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Тоді, якщо число випробувань необмежено зростає, а p> 0, причому n • p = a - Величина постійна, то Pn(k) .

 За формулою Бернуллі ймовірність того, що подія з'явиться рівно k раз в n незалежних випробуваннях

Pn(k) = pkqn-k= pk(1 - p)n-k.

Звідси

Pn(k) = pk(1 - p)n-k= pk(1 - p)n-k.

За умовою a = n • p  p = , підставляючи, отримаємо:

Pn(k) = =

=  ... =

=  ... .

Переходячи до межі при n> ?

= = [Тому  ].

Зауваження 11.2. Теоремою Пуассона зручно користуватися, коли p> 0, причому a = n • p 10.Существуют спеціальні таблиці, в яких наведені значення ймовірностей для різних параметрів a и k.

Формула Бернуллі зручна, коли значення n не надто велике. В іншому випадку використовують наближені формули з теорем Муавра-Лапласа.

Теорема 11.3. (локальна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність появи події А в кожному окремому випробуванні постійна і відмінна від 0 і 1, т.е.0 < p <1, то ймовірність того, що подія A з'явиться рівно k раз в n незалежних випробуваннях

Pn(k)  , де  - Мала функція Лапласа, , q= 1p.

Є спеціальні таблиці значень функції  . Потрібно враховувати, що функція  - Парна, тобто = .

Теорема 11.4.(інтегральна теорема Муавра-Лапласа) Якщо ймовірність появи події А в кожному окремому випробуванні постійна і відмінна від відмінна від 0 і 1, тобто 0 < p <1, то ймовірність того, що подія А з'явиться від k1 до k2 раз в n незалежних випробуваннях, визначаться виразом:

Pn(k1, k2)  , де  - Функція Лапласа, , , q= 1p.

Функція Лапласа - непарна, тобто  . Значення знаходять по таблиці.

Приклад 11.5. Нехай ймовірність події А в кожному окремому випробуванні p= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться 75 раз в 100 незалежних випробуваннях.

 За локальної теореми Муавра-Лапласа х = =  = -1,25. значення  (-1,25) =  (1,25) = 0,1826 знаходиться по таблиці.

тоді ймовірність

P100(75)  * 0,1826  0,04565.

Приклад 11.6. Імовірність Р (А) Появи події А в одному випробуванні дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що подія А з'явиться понад 69 разів у 100 незалежних випробуваннях.

n= 100, p= 0,8, q= 0,2, k1=70, k1=100.

За інтегральною теоремою Муавра-Лапласа = =  = -1,25, = =  = 5. За таблицею  (-2,5) = -  (2,5) = -0,4938,  (5) = 0,5, P100(70,100)  (5) -  (-2,5) = 0,5 + 0,4938 = 0,9938



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

тексти лекцій | Елементи теорії множин. Безлічі і операції над ними | Функції та способи їх завдання. | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності | Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей | геометричні ймовірності | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати