загрузка...
загрузка...
На головну

Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей

  1. Amp; 10. Основні напрямки сучасної філософія історії
  2. I Основні інформаційні процеси і їх реалізація за допомогою комп'ютерів
  3. I. Основні і допоміжні процеси
  4. I. Правила термінів
  5. II. 6.4. Основні види діяльності та їх розвиток у людини
  6. II. Основні завдання та їх реалізація
  7. III. Основні етапи міжнародних відносин в Новий час.

Лемма 5.1. З m елементів a1, ...,an першої групи і n елементів b1, ..., Bn другої групи можна скласти рівно m • n упорядкованих пар виду (ai, bj), Що містять по одному елементу з кожної групи.

(a1, b1), (a1, b2), ..., (a1, bn), Всьогоm • n пар

(a2, b1), (a2, b2), ..., (a2, bn), M рядків

... ... ... ... ... ... ...

(am, b1), (am, b2), ..., (am, bn).

n стовпців

Приклад 5.2.У колоді карт 4 масті (чирва піку, трефа, бубна), в кожній масті по 9 карт або по 13 карт, тоді в колоді або n = 4 • 9 = 36 карт, або n = 4 • 13 = 52 карти.

Лемма 5.3. з n1 елементів першої групи a1, a2, ..., ,

n2 елементів другої групи b1, b2, ..., ,

і т.д. ... ... ... ... ... ... ... ...

nk елементів kтої групи x1, x2, ..., .

можна скласти рівно n1 • n2 • ... • nk різних упорядкованих комбінацій виду (  ...,  ), Що містять по одному елементу з кожної групи.

Приклад 5.4.При киданні двох гральних кісток число різних упорядкованих комбінацій наступне: N = 62 = 36; при киданні трьох кісток - N = 63= 216.

Леми 5.1 і 5.3 називаються основними правилами комбінаторики.

Нехай є безліч з n елементів { a1, a2, ..., an}. Будемо розглядати вибірки обсягу k виду ( ,  , ...,  ) з n елементів. Все вибірки можна класифікувати за двома ознаками:

1) впорядковані і невпорядковані;

2) з поверненням і без повернення.

Якщо вибірки вважаються впорядкованими, то грає роль порядок елементів у вибірці. Якщо ж вибірка невпорядкована, то все вибірки з одним і тим же складом елементів ототожнюються.

Приклад 5.5.Розглянемо безліч, що складається з трьох елементів {1,2,3}. Складемо таблицю числа вибірок обсягу k= 2 з трьох елементів.

 (1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3 )  (1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3) (3,3)  з поверненням
 (1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2)  (1,2), (1,3) (2,3)  без повернення
 впорядковані  невпорядковані  вибірки

Загальна таблиця числа вибірок обсягу  з  елементів:

nk  з поверненням
 без повернення
 впорядковані  невпорядковані  вибірки

Визначення 5.6.Упорядкована вибірка без повернення називається розміщенням.

число розміщень = .

Приклад 5.7. У ліфт 12-поверхового будинку зайшли 3 людини. Знайти ймовірність того, що всі вийшли на різних поверхах.

 ? = {(i1, i2, i3) | i1, i2, i3 {2,3, ..., 12}}, { i1 i2, i2 i3} -  додаткова умова для події А. Перше (? -  впорядковані вибірки з поверненням, n= 113. Число сприятливих результатів k= =  = 9 • 10 • 11. За класичним визначенням ймовірності Р (А) = = = = .

Визначення 5.8.перестановкоюз kелементів називається сукупність цих же елементів, записаних в довільному порядку. Число перестановок з k елементів Pk=k! (0! = 1).

Визначення 5.9.Довільний k-елементное підмножина безлічі, що складається з n елементів, називається поєднаннямз n елементів по k елементів.

Позначається число поєднань з n елементів по k елементів через

= ; k  {0,1, ...,n}.

Властивості поєднань:

1) =  = 1;

2) = =n;

3) = ;

4) + = .



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Міністерство освіти Республіки Білорусь | тексти лекцій | Елементи теорії множин. Безлічі і операції над ними | Функції та способи їх завдання. | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса | Схема незалежних випробувань Бернуллі. поліномінальної розподіл | Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати