Головна |
Лемма 5.1. З m елементів a1, ...,an першої групи і n елементів b1, ..., Bn другої групи можна скласти рівно m · n упорядкованих пар виду (ai, bj), Що містять по одному елементу з кожної групи.
(a1, b1), (a1, b2), ..., (a1, bn), Всьогоm · n пар
(a2, b1), (a2, b2), ..., (a2, bn), M рядків
... ... ... ... ... ... ...
(am, b1), (am, b2), ..., (am, bn).
n стовпців
Приклад 5.2.У колоді карт 4 масті (чирва піку, трефа, бубна), в кожній масті по 9 карт або по 13 карт, тоді в колоді або n = 4 · 9 = 36 карт, або n = 4 · 13 = 52 карти.
Лемма 5.3. з n1 елементів першої групи a1, a2, ..., ,
n2 елементів другої групи b1, b2, ..., ,
і т.д. ... ... ... ... ... ... ... ...
nk елементів kтої групи x1, x2, ..., .
можна скласти рівно n1 · n2 · ... · nk різних упорядкованих комбінацій виду ( ..., ), Що містять по одному елементу з кожної групи.
Приклад 5.4.При киданні двох гральних кісток число різних упорядкованих комбінацій наступне: N = 62 = 36; при киданні трьох кісток - N = 63= 216.
Леми 5.1 і 5.3 називаються основними правилами комбінаторики.
Нехай є безліч з n елементів { a1, a2, ..., an}. Будемо розглядати вибірки обсягу k виду ( , , ..., ) з n елементів. Все вибірки можна класифікувати за двома ознаками:
1) впорядковані і невпорядковані;
2) з поверненням і без повернення.
Якщо вибірки вважаються впорядкованими, то грає роль порядок елементів у вибірці. Якщо ж вибірка невпорядкована, то все вибірки з одним і тим же складом елементів ототожнюються.
Приклад 5.5.Розглянемо безліч, що складається з трьох елементів {1,2,3}. Складемо таблицю числа вибірок обсягу k= 2 з трьох елементів.
(1,1), (1,2), (1,3) (2,1), (2,2), (2,3) (3,1), (3,2), (3,3) | (1,1), (1,2), (1,3) (2,2), (2,3) (3,3) | з поверненням |
(1,2), (1,3) (2,1), (2,3) (3,1), (3,2) | (1,2), (1,3) (2,3) | без повернення |
впорядковані | невпорядковані | вибірки |
Загальна таблиця числа вибірок обсягу з елементів:
nk | з поверненням | |
без повернення | ||
впорядковані | невпорядковані | вибірки |
Визначення 5.6.Упорядкована вибірка без повернення називається розміщенням.
число розміщень = .
Приклад 5.7. У ліфт 12-поверхового будинку зайшли 3 людини. Знайти ймовірність того, що всі вийшли на різних поверхах.
? = {(i1, i2, i3) | i1, i2, i3 {2,3, ..., 12}}, { i1 i2, i2 i3} - додаткова умова для події А. Перше (? - впорядковані вибірки з поверненням, n= 113. Число сприятливих результатів k= = = 9 · 10 · 11. За класичним визначенням ймовірності Р (А) = = = = .
Визначення 5.8.перестановкоюз kелементів називається сукупність цих же елементів, записаних в довільному порядку. Число перестановок з k елементів Pk=k! (0! = 1).
Визначення 5.9.Довільний k-елементное підмножина безлічі, що складається з n елементів, називається поєднаннямз n елементів по k елементів.
Позначається число поєднань з n елементів по k елементів через
= ; k {0,1, ...,n}.
Властивості поєднань:
1) = = 1;
2) = =n;
3) = ;
4) + = .
Міністерство освіти Республіки Білорусь | тексти лекцій | Елементи теорії множин. Безлічі і операції над ними | Функції та способи їх завдання. | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса | Схема незалежних випробувань Бернуллі. поліномінальної розподіл | Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа |