Головна

Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості

  1. Amp; 1. Предмет соціальної філософії
  2. I. ЗАВДАННЯ АРТИЛЕРІЇ
  3. I. Мета і завдання дисципліни
  4. II. Основні завдання та їх реалізація
  5. II. Зміна уявлень про предмет психології
  6. IV. Звернення зі священними предметами
  7. " Ядро "і" периферія "предмета соціології

Виникнення теорії ймовірностей відносять до XVII століття і пов'язують з рішенням комбінаторних задач теорії азартних ігор і потребами страхової справи. Азартні ігри (карти, кістки) дали стимул для побудови математичних моделей ігрових ситуацій. Ці моделі надавали гравцеві можливість орієнтуватися в ході гри, робити розрахунки ставок, оцінювати шанси виграшу, а також дозволяли планувати витрати і доходи страхових компаній і т.д.

Розробкою таких моделей займалися в 17 столітті Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс. Основи класичної теорії ймовірності були сформульовані в 18 столітті Я. Бернуллі, П. Лапласа, С. Пуассона, К. Гауссом. В 1933году А.Н. Колмогоров сформулював аксіоми теорії ймовірності, що базуються на теорії множин.

Однак з теорією вірогідності розвивалася й інша сучасна дисципліна - математична статистика, яка широко застосовується в економіці, техніці, соціології, медицини, фізики, лінгвістичному програмуванні та ін.

Визначення 3.1.Предметом теорії ймовірностей є кількісний і якісний аналіз математичних моделей імовірнісних експериментів, званий статистичним опрацюванням експериментальних даних.

Імовірнісні експерименти мають наступні загальні риси: непередбаченість результату; наявність певних кількісних закономірностей при їх багаторазовому повторенні при однакових умовах; безліч можливих результатів.

Визначення 3.2.ймовірносними називають експерименти, які можна повторити довільне число раз при дотриманні одних і тих же стабільних умов, проте їх результати неоднозначні, випадкові.

Визначення 3.3.Теорія імовірності - Наука, що займається аналізом математичних моделей для прийняття рішень в умовах невизначеності.

Первинним поняттям теорії ймовірності, не визначеним через інші поняття, є простір елементарних фіналів ?.

Зазвичай в якості простору елементарних фіналів беруться єдино можливі нерозкладних результати експерименту.

Приклад 3.4.Наведемо прімерипространств елементарних фіналів:

1) При киданні симетричною монети в якості ? вибирається ? = {г, р}.

2) При киданні гральної кістки простір елементарних фіналів наступне ? = {1,2,3,4,5,6}.

3) При киданні двох симетричних монет ? = {(р, р), (р, г), (г, р), (г, г)}.

 4) При киданні двох гральних кісток ? = {(i, j) | i, j {1, ..., 6}}, n = 36.

 5) Нехай на [AB] навмання кидається точка ? = {? | ? [AB]} = [AB].

6) Нехай на [AB] навмання кидаються дві точки

? = {(x, y) | x [AB], y [AB]} = [AB] ? [AB].

Визначення 3.5.досвідом або випробуванням називають всяке здійснення певного комплексу умов або дій, при яких відбувається відповідне явище. Можливий результат досвіду називають подією, ті подією називається довільна підмножина A простору елементарних фіналів ?.

Приклад 3.6. Досвідом є підкидання монети, а подіями "герб", "цифра на верхній її стороні" (коли монета впаде). Дослідами є стрілянина по мішені, витяг кулі з ящика і т.п. Події будемо позначати великими літерами латинського алфавіту А, В, С.

Визначення 3.7.Кожна подія, яке може настати в результаті досвіду, називається елементарним результатом (елементарним подією, або шансом).

Визначення 3.8.Елементарні результати, при яких дана подія настає, називаються придатними цієї події, або сприятливими шансами, Тобто ті елементарні результати, з яких складається подія A, називаються придатними події A.

Приклад 3.9.Так, при підкиданні грального кубика елементарні результати А1, А3, А5 є придатними для події "випало непарній число очок".

Кажуть, що подія A відбулося, якщо в результаті експерименту відбувається елементарний результат котрий сприяє події A, Тобто ? A.

Визначення 3.10.подія називається достовірним, В даному досвіді, якщо воно обов'язково станеться в цьому досвіді, тобто весь простір елементарних фіналів ?, якщо його взяти в якості події, називають достовірним подією, оскільки воно відбувається в будь-якому експерименті (завжди).

Приклад 3.11. Якщо в ящику тільки блакитні кульки, то подія "з ящика витягнутий блакитна куля" є достовірним (в ящику немає куль іншого кольору).

Визначення 3.12. подія називається неможливим, В даному досвіді, якщо воно не може відбутися в цьому досвіді.

Порожня множина O (тобто безліч, що не містить жодного елементарного результату) називається неможливим подією, оскільки воно ніколи не станеться.

Приклад 3.13. Так, якщо в ящику лежать тільки червоні кулі, то подія "з ящика споконвічний блакитна куля" є неможливим (таких куль в ящику немає).

Визначення 3.14. подія називається випадковим в даному досвіді, як око може статися, а може і не відбутися в цьому досвіді, тобто всі інші події, крім достовірного і неможливого, називаються випадковими.

Приклад 3.15. Якщо в ящику лежать n блакитних і m червоних куль, однакові за розміром і вагою, то подія "з урни витягнутий блакитна куля" є випадковим (воно може відбутися, а може і не відбутися, оскільки в урні є не тільки блакитні, а й червоні кулі). Випадковими подіями є "герб" і "цифра на верхній стороні монети при її підкиданні", "попадання і промах при стрільбі по мішені", "виграш по квитку лотереї" і т.п.

Зауваження 3.16. Наведені приклади свідчать про те, що один і той же подія в деякому досвіді може бути достовірним, в іншому - неможливим, в третьому - випадковим. Говорячи про достовірність, неможливості, випадковості події, мають на увазі його достовірність, неможливість, випадковість по відношенню до конкретного досвіду, тобто до наявності певного комплексу умов або дій.

Визначення 3.17. Дві події називаються спільними в даному досвіді, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в цьому досвіді.

Приклад 3.18.Так, при підкиданні двох симетричних монет, подія A - «Герб на верхній стороні першої монети" і B - "Цифра на верхній стороні другої монети" є спільними.

Операції над подіями.

Визначення 3.19. сумою подій A и B називають об'єднання цих множин A B.

позначають A + B ={ x | x A або x B }.

замість союзу або - ставиться знак .

Визначення 3.20.твором подій A и B називають перетин множин A B.

позначають AB ={ x | x A и x B }.

 замість союзу і - ставляться знаки  , &.

Визначення 3.21.різницею подій A и B називають різницю множин A \ B.

позначають A \ B ={x | x A и x B}.

Визначення 3.22.Дві події називаються несумісними, Якщо вони не можуть відбутися разом при одному і тому ж випробуванні, тобто події A и B називаються несумісними (несумісними), якщо AB = O.

Якщо AB = O, то будемо говорити, що A  B = A + B.

Так, несумісними є потрапляння і промах при одному пострілі.

 Кілька подій називаються несумісними, якщо вони попарно несумісні.

Визначення 3.23.Кажуть, що подія A тягне подія B, якщо A  B.

Визначення 3.24. Дві події називаються протилежними, Якщо поява однієї з них рівносильно не появу іншого. Якщо одне з протилежних подій позначено літерою A, То інше позначають A. Таким чином подія A = ? \ A називається протилежним до події A.

Приклад 3.25.1) Так, протилежними є події "герб" і "цифра" при одному підкиданні симетричній монети.

2) Якщо A - "Попадання", то A - "Промах" при одному пострілі по мішені.

3) При киданні гральної кістки ? = {1,2,3,4,5,6}. якщо A - Випадання непарного числа очок, тобто A= {1,3,5}, то A = {2,4,6} - протилежне подія (випадання парного числа очок).

Визначення 3.26.безліч подій H1, H2, ..., Hn називають повною групою подій, Якщо вони попарно-несумісні; поява одного і тільки одного з них є достовірною подією.

Таким чином події H1, H2, ..., Hn утворюють повну групу, якщо H1+ H2+ ... + Hn= ? (тобто Hi Hj=O, якщо i  j).

Зокрема події A и A утворюють повну групу, тому що A +A = ?.

Приклад 3.27. Розглянемо події, що з'являються при підкиданні грального кубика (тобто кубика, на гранях якого записані цифри 1,2,3,4,5,6 або зображені знаки, що відповідають цим цифрам). Коли кубик впаде, то верхньою межею виявиться грань з однією з цих цифр. Подія: "верхньою межею виявилася грань з цифрою k"Позначимо через Аk (k= 1,2,3,4,5,6). події А1, А2, А3, А4, А5, А6 утворюють повну групу: вони попарно-несумісні; поява одного і тільки одного з них є достовірною подією (коли кубик впаде, то тільки одна з граней виявиться верхньої, на ній написана тільки одна цифра від 1 до 6).

Визначення 3.28.події вважають рівноможливими, Якщо немає підстав вважати, що одна подія є більш можливим, ніж інші.

Приклад 3.29. При підкиданні монети подія A (Поява цифри) і подія B (Поява герба) рівноможливими, так як передбачається, що монета виготовлена ??з однорідного матеріалу, має правильну циліндричну форму і наявність карбування не впливає на те, яка сторона монети (герб або цифра) виявиться верхньої. При підкиданні грального кубика події А1, А2, А3, А4, А5, А6 є рівно можливими, оскільки передбачається, що кубик виготовлений з однорідного матеріалу, має правильну форму і наявність цифр (або очок) на гранях не впливає на те, яка з шести граней виявиться верхньої.

Відносні частоти і їх властивості.

Нехай проводиться деякий випадковий (імовірнісний) експеримент, простором елементарних фіналів є безліч ?. Розглянемо деякий подія A (A  ?). Якщо експеримент провести N раз, а подія A з'явиться в них N (A) Раз, то число W (A) =  називається відносної частотою появи події A.

Властивість 3.30. Відносна частота довільного події неотрицательна, тобто A  ?, W (A)  0.

Властивість 3.31.Відносна частота достовірного події дорівнює 1.

W (A) = =  = 1.

Властивість 3.32. (Адитивності). Відносна частота суми несумісних подій дорівнює сумі відносних частот цих подій.

W (A + B) = = = +  = W (A) + W (B).

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Міністерство освіти Республіки Білорусь | тексти лекцій | Елементи теорії множин. Безлічі і операції над ними | Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей | геометричні ймовірності | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса | Схема незалежних випробувань Бернуллі. поліномінальної розподіл | Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати