Головна |
Поняття множини є одним з основних математичних понять. Це невизначені поняття, його можна тільки описати або пояснити на прикладах. Так, можна говорити про безліч букв в латинському алфавіті, безліч всіх книг в даній бібліотеці, безлічі студентів в даній групі, безлічі всіх точок даної лінії. Щоб задати безліч, достатньо перерахувати елементи або вказати характеристичні властивості елементів, тобто таку властивість, яким володіють всі елементи даної множини і тільки вони.
Визначення 1.1.Предмети (об'єкти), що становлять певну множину, називаються його елементами.
Безліч прийнято позначати великими латинськими літерами, а елементи множини - малими літерами. Те, що x є елементом множини A, Записується так: x A (x належить A). запис виду x A (x A) означає, що x не належить A, Тобто не є елементом множини A.
Елементи безлічі прийнято записувати в фігурних дужках. Наприклад, якщо A - безліч, що складається з перших трьох букв латинського алфавіту, то його записують так: A ={a, b, c}.
Безліч може містити нескінченно багато елементів (безліч точок прямої, безліч натуральних чисел), кінцеве число елементів (безліч школярів в класі), або взагалі не містити жодного елемента (безліч студентів порожній аудиторії).
Визначення 1.2.Безліч, що не містить жодного елемента, називається порожнім безліччю, Позначається O.
Визначення 1.3.безліч A називається подмноже-ством безлічі B, Якщо кожен елемент множини A належить і безлічі B. це позначається A B (A - підмножина B).
Порожня множина вважають підмножиною будь-якої множини. якщо безліч A не є підмножиною множини B, То пишуть A B.
Визначення 1.4.два безлічі A и B називають рівними, Якщо є підмножинами один одного. позначають A = B. Це означає, що якщо x A, то x B і навпаки, тобто якщо и , то .
Визначення 1.5.перетин множин A и B називають безліч M, Елементи якого є одночасно елементами обох множин A и B. позначають M = A B. Тобто x A B, то x A и x B.
записують A B ={ x | x A и x B }. (Замість союзу і - ставляться знаки , &).
Визначення 1.6.якщо A B = O, то кажуть, що безлічі A и B не перетинаються.
Аналогічно можна визначити перетин 3-х, 4-х і будь-якого кінцевого числа множин.
Визначення 1.7.об'єднанням множин A и B називають безліч M, Елементи якого належать хоча б одній з даних множеств.Обозначают M = A B. Т.ч. A B ={ x | x A або x B }. (Замість союзу або - ставиться знак ).
Аналогічно визначається і безліч A1 A2 ... An. Воно складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з множин A1, A2, ..., An (А може бути, і декільком відразу).
Приклад 1.8. 1) якщо A ={1; 2; 3; 4; 5} і B ={1; 3; 5; 7; 9}, то A B ={1; 3; 5} і A B ={1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}.
2) якщо A ={2; 4} і B ={3; 7}, то A B = O і A B ={2; 3; 4; 7}.
3) якщо A ={Літні місяці} і B ={Місяці, в яких 30 днів}, то A B ={Червня} і A B ={квітень; червень; Липень; Серпень; вересень; листопад}.
Визначення 1.9.натуральними називаються числа 1,2,3,4, ..., використовувані для рахунку предметів.
Безліч натуральних чисел позначається N, N = {1; 2; 3; 4; ...; n; ...}. Воно є нескінченним, має найменший елемент 1 і не має найбільшого елемента.
Приклад 1.10. A - Безліч натуральних дільників числа 40. Перерахувати елементи цієї множини. Чи вірно, що 5 A, 10 A, -8 A, 4 A, 0 A, 0 A.
A = {1,2,4,5,8,10,20,40}. (В, У, Н, Н, Н, В)
Приклад 1.11.Перерахуйте елементи множин, заданих характеристичними властивостями:
а) А= {x | (x-1) (2x-1) (3 +x) = 0}, отримуємо A = {1; ; -3}
б) B= {x | -1,1 < x <5 x N}, маємо B = {1; 2; 3; 4}.
Приклад 1.12.Дано безліч чисел K = {21; 54; 153; 171; 234}. Скласти підмножина чисел з K, Які а) діляться на 7; б) діляться на 9; в) не діляться на 5; г) діляться на 4.
а) A = {21}, б) B = {54; 153; 171; 234}, в) C = K, г) D = O
Приклад 1.13.безліч C складається з 11 елементів, безліч D - З 8. Скільки елементів містить C D , якщо C D містить 15 елементів?
оскільки A + B -A B = A B, Тоді 11 + 8-15 = 4
Визначення 1.14.різниця множин A и B називається безліч M, Елементи якого належать безлічі A і не належать множині B.
позначають M = A \ B.
Таким чином, A \ B ={x | x A и x B}.
Приклад 1.15. якщо A = {1; 2; 3; 4; 5} і B = {1; 5}, то A \ B ={2; 3; 4}.
Міністерство освіти Республіки Білорусь | Предмет і задачі теорії ймовірностей. Події та операції над ними. Відносні частоти і їх властивості | Аксіоми теорії ймовірностей. Дискретні простору елементарних фіналів. Класичне визначення ймовірності | Основні правила комбінаторики. Вибірки, поєднання. Аксіоми теорії ймовірностей | геометричні ймовірності | властивості ймовірності | Умовна ймовірність. незалежність | Формули повної ймовірності та Байєса | Схема незалежних випробувань Бернуллі. поліномінальної розподіл | Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа |