загрузка...
загрузка...
На головну

Алгоритм вираження симетричних многочленів через елементарні.

  1. I. РОЗРОБКА АЛГОРИТМІВ. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ (БЛОК-СХЕМИ) І СЛОВЕСНА ЗАПИС АЛГОРИТМІВ
  2. IV. Доповніть пропозиції словами і виразами з тексту.
  3. IV. Доповніть пропозиції словами і виразами з тексту.
  4. N - площина, що проходить через точку зору паралельно картині, називається нейтральною площиною, N // K.
  5. VII. Якими найбільш близькими за змістом словами або виразами
  6. XII. Особливості надання комунальної послуги з холодного водопостачання через водорозбірну колонку
  7. YI. Доповніть пропозиції словами і виразами з тексту.

1) Нехай  однорідний симетричний многочлен.

1. Наводимо всі подібні і знаходимо старший член  по лексикографічним порядку: .

2. Виписуємо набір показників ступенів при змінних  одночлена  і всі можливі набори невід'ємних цілих чисел  такі, що .

3. Для кожного виписаного набору показників  будуємо одночлен від  виду .

4. Беремо суму отриманих одночленним, взятих рівно по одному разу, причому доданок, відповідне набору для  , Беремо з коефіцієнтом  , А всі інші з невизначеними коефіцієнтами  . Прирівнюємо отриману суму до многочлену :

5. Знаходимо невизначені коефіцієнти  . Для цього задаємо конкретні значення змінних  , Знаходимо для них значення елементарних симетричних многочленів и  , Підставляємо в рівність (*). Отримаємо співвідношення для невизначених коефіцієнтів. Якщо потрібно, задаємо ще значення змінних і т.д.

6. У рівність (*) підставляємо знайдені значення невизначених коефіцієнтів і отримуємо вираз  через елементарні симетричні многочлени.

2) Неоднорідний симетричний многочлен розбиваємо попередньо в суму однорідних симетричних:  , Кожен з яких представляємо у вигляді многочлена від елементарних симетричних за попереднім алгоритмом:  . Сума всіх уявлень і є подання цього симетричного неоднорідного многочлена у вигляді многочлена від елементарних симетричних: .

Приклад 24. Висловити симетричний многочлен  через елементарні симетричні многочлени.

Знаходимо старший по лексикографічним порядку:  , Тому що у нього набір показників (4; 0; 0), а у решти (0; 4; 0) і (0; 0; 4).

Виписуємо набір показників для старшого по лексикографічним порядку (4, 0, 0) і будуємо всі можливі набори з необхідними в (*) умовами: (3; 1; 0), (2; 2; 0), (2; 1; 1 ). Інших наборів немає.

Для кожного отриманого набору будуємо відповідний одночлен від  до покладених коефіцієнтами, беремо їх суму і прирівнюємо до : .

Знаходимо невизначені коефіцієнти .

Це завдання вирішуємо, заповнюючи таблицю

               

При цьому підбираємо самі раціональні набори значень  . Наприклад, якщо візьмемо такий набір значень, що  , То з отриманого одного рівняння відразу знайдемо коефіцієнт  .Такий Набір дан в першому рядку таблиці:

 -2  -3  -2

По набору значень  в першому рядку отримуємо: .  . значить, и .

Візьмемо такий набір значень  , щоб  (Другий рядок таблиці). отримаємо рівняння  . тоді  . Тепер беремо такий набір значень, щоб  (Третій рядок таблиці). Тоді отримаємо рівняння  . Тому  . значить, .

Приклад 25. Розв'яжіть рівняння .

Вирішуємо, використовуючи теорію симетричних многочленів. позначимо  . Тоді, складаючи ці два рівності, а потім складаючи їх четверті ступеня (виключаючи  з рівності), отримуємо систему співвідношень:

Висловимо симетричний многочлен  через елементарні симетричні многочлени від двох змінних  . Зауважимо, що в даному випадку це можна зробити без використання основного алгоритму. дійсно,  . Тому, отримана вище система перепишеться у вигляді

Вирішуємо отриману систему відносно  . підставляючи значення  в друге рівняння системи, отримаємо  або  . тоді  або  Таким чином, з огляду на визначення  , отримаємо  або

За теоремою, зворотної теоремі Вієта,  - Коріння квадратного рівняння  в першому випадку і  у другому.

У першому випадку отримуємо єдине рішення  , А в другому  , Дійсних рішень немає.

Отже,  або .

Приклад 26. Розв'яжіть рівняння .

Як і в попередньому прикладі позначимо  . Тоді отримуємо систему  Так як  , а  , То система перетвориться до виду:

Підставляючи в друге рівняння вираз  , Отримаємо квадратне рівняння  . Вирішуючи його і обчислюючи значення  , Зводимо рішення рівняння до вирішення систем  або

підставами замість  їх вираження:

 або

Як і в попередньому прикладі за теоремою, зворотної теоремі Вієта,  коріння відповідних квадратних рівнянь  В першому випадку  і дійсних коренів немає. У другому випадку  В силу симетричності входження змінних  отримуємо, що  або

З позначень слід, що  або

Приклад 27. Розв'яжіть рівняння  в раціональних числах.

позначимо  . Тоді рівняння рівносильне системі

Зведено перші два доданки в квадрат і складемо, а в лівій частині другого виконаємо дії і отримаємо систему щодо :

Ліва частина другого рівняння не є симетричним многочленом відносно  , Але є симетричним вираженням.

Зауважимо, що и  . Тоді система перетвориться до виду

маємо  . Підставляємо в перше рівняння: .

Вирішуємо це квадратне рівняння:  або .

Тому  або  Тоді по теоремі, зворотної теоремі Вієта,  коріння квадратних рівнянь  або  В результаті отримаємо

Відбираючи тільки раціональні рішення і враховуючи симетричність входження змінних  , Отримаємо:  або  Так як  , то

Приклад 27. Вирішіть систему рівнянь

позначивши  , Отримаємо симетричну систему

Враховуючи що  , Висловлюємо ліві частини обох рівнянь через елементарні симетричні :  Звідки,  або  За теоремою, зворотної теоремі Вієта,  - Коріння квадратного рівняння  Отримуємо, що

В силу симетричності входження змінних ,  або

А так як  то остаточно отримуємо

Таким чином, система має рівно два рішення  або

Приклад 28. Вирішіть систему рівнянь

Так як ліві частини рівнянь є симетричними многочленами, то застосовуємо теорію симетричних многочленів. Висловимо ліві частини рівнянь через елементарні симетричні многочлени від двох змінних

Саме, , .

Тоді початкова система при введених позначеннях рівносильна системі:

підставляючи значення  в друге рівняння, отримаємо рівняння  , Одним з коренів якого є -1. Тоді рівняння представляється у вигляді  . многочлен  не має дійсних коренів. Тому система (*) має єдине дійсне рішення

тоді  і по теоремі, зворотної теоремі Вієта,  - Коріння квадратного рівняння  отримуємо  В силу симетричності входження невідомих  , Вихідне рівняння має два рішення:  або

Приклад 29. Розкласти на множники многочлен .

Дуже часто симетричні вираження легше розкласти на множники, якщо подати їх у вигляді виразів від елементарних симетричних многочленів.

Уявімо  у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів  за відомим алгоритмом.

Знаходимо старший по лексикографічним порядку:  . Комбінація його показників  . Тепер виписуємо всі можливі комбінації показників, які відповідають відповідним умовам:  . Таким чином, .

Шукаємо невизначені коефіцієнти :

 -1  -1  -4

Отже, при  отримуємо, що  . тоді

якщо  то отримуємо, що , ,  . значить, .

Отже,

Тепер, знаючи отримане розкладання, можна придумати шкільні способи для його отримання.


Варіант 1

1. Вирішіть рівняння в цілих числах:

а)

б)

2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 1397, b= 5951.

3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел  , якщо  ділиться на 11, то і  ділиться на 11.

4. Вирішіть систему в натуральних числах:

5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:

6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 30, а= 2457320?

7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .

8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що  ділиться на 12.

9. Доведіть ірраціональність дійсного числа  , якщо .

10. Знайдіть всі натуральні числа  такі, що:

а)  - Різні прості числа;

б)  ділиться на 14 і .

11. Переведіть з однієї системи числення в іншу:  в семерична.

12. Знайдіть залишок від ділення  на  і виконайте дії у зазначеній системі числення .

13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (121); б) 0,21 (5).

14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4871, b= 41323.

15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .

16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб

17. Вирішіть рівняння в цілих числах а)  б)

18. Чи знайдеться на прямий 5х-25у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?

19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.

20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?

21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.

22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).

23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.

24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.

25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.

26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.

27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.

28. За якої умови  ділиться на ?

29.Разделіте  на  при а)  і б) .

30. Розрахуйте  , якщо и .

31. Многочлен  розкладіть за ступенями .

32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .

33. Яким умовам задовольняють числа и  , Якщо біквадратне рівняння  має чотири різних дійсних корені?

34. Розв'яжіть рівняння  методом Кардано.

35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .

36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .

37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .

38. Вирішіть систему

39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .

40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена  , якщо

Варіант 2

1. Вирішіть рівняння в цілих числах:

а)

б)

2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= Тисяча чотиреста сорок три, b= 1495.

3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел  , якщо  ділиться на 13, то і  ділиться на 13.

4. Вирішіть систему в натуральних числах:

5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:

6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 18, а= 2132766?

7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .

8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що  ділиться на 15.

9. Доведіть ірраціональність дійсного числа  , якщо .

10. Знайдіть всі натуральні числа  такі, що:

а)  - Різні прості числа;

б)  ділиться на 15 і .

11. Переведіть з однієї системи числення в іншу:  в шестерічную.

12. Знайдіть залишок від ділення  на  і виконайте дії у зазначеній системі числення .

13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (24); б) 0,031 (12).

14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 3907, b= 65231.

15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .

16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб

17. Вирішіть рівняння в цілих числах а)  б)

18. Чи знайдеться на прямий 3х-24у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?

19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.

20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?

21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.

22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).

23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.

24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.

25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.

26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.

27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.

28. За якої умови  ділиться на ?

29.Разделіте  на  при а)  і б) .

30. Розрахуйте  , якщо и .

31. Многочлен  розкладіть за ступенями .

32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .

33. Знаючи, що многочлен  має корінь  , Знайдіть інші його коріння.

34. Розв'яжіть рівняння  методом Кардано.

35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику

36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .

37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .

38. Вирішіть систему

39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .

40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена  , якщо

варіант 3

1. Вирішіть рівняння в цілих числах:

а)

б)

2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 3225, b= 1805.

3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел  , якщо  ділиться на 17, то і  ділиться на 17.

4. Вирішіть систему в натуральних числах:

5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:

6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 44, а= 7211002?

7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .

8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що  ділиться на 8.

9. Доведіть ірраціональність дійсного числа  , якщо .

10. Знайдіть всі натуральні числа  такі, що:

а)  - Різні прості числа;

б)  ділиться на 10 і .

11. Переведіть з однієї системи числення в іншу:  в семерична.

12. Знайдіть залишок від ділення  на  і виконайте дії у зазначеній системі числення .

13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (72); б) 0,201 (53).

14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4951, b= 56129.

15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .

16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб

17. Вирішіть рівняння в цілих числах а)  б)

18. Чи знайдеться на прямий 7х-28у= 19 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?

19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.

20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?

21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.

22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).

23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.

24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.

25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.

26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.

27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.

28. За якої умови  ділиться на ?

29.Разделіте  на  при а)  і б) .

30. Розрахуйте  , якщо и .

31. Многочлен  розкладіть за ступенями .

32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .

33. Нехай  - Різні числа, причому  . Доведіть, що якщо рівняння и  мають рівно один спільний корінь, то інші корені цих рівнянь є корінням рівняння .

34. Розв'яжіть рівняння  методом Кардано.

35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .

36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .

37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння

38. Вирішіть систему

39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .

40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена  , якщо

варіант 4

1. Вирішіть рівняння в цілих числах:

а)

б)

2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 3615, b= 11905.

3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел  , якщо  ділиться на 23, то і  ділиться на 23.

4. Вирішіть систему в натуральних числах:

5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:

6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 54, а= 3101238?

7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .

8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що  ділиться на 33.

9. Доведіть ірраціональність дійсного числа  , якщо .

10. Знайдіть всі натуральні числа  такі, що:

а)  - Різні прості числа;

б)  ділиться на 21 і .

11. Переведіть з однієї системи числення в іншу:  в вісімкову.

12. Знайдіть залишок від ділення  на  і виконайте дії у зазначеній системі числення .

13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (521); б) 0,208 (7).

14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4703, b= 68413.

15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .

16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб .

17. Вирішіть рівняння в цілих числах а)  ; б)

18. Чи знайдеться на прямий 6х-28у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?

19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.

20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?

21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.

22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).

23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.

24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.

25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.

26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.

27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.

28. За якої умови  ділиться на ?

29.Разделіте  на  при а)  і б) .

30. Розрахуйте  , якщо и .

31. Многочлен  розкладіть за ступенями .

32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .

33. Знайдіть всі значення  , При яких рівняння  має позитивні коріння.

34. Розв'яжіть рівняння  методом Кардано.

35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .

36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .

37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння

38. Вирішіть систему

39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .

40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена  , якщо

варіант 5

1. Вирішіть рівняння в цілих числах:

а)

б)

2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 1517, b= Тисяча чотиреста сорок три.

3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел  , якщо  ділиться на 19, то і  ділиться на 19.

4. Вирішіть систему в натуральних числах:

5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:

6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 33, а= 1762323?

7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .

8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що  ділиться на 18.

9. Доведіть ірраціональність дійсного числа  , якщо .

10. Знайдіть всі натуральні числа  такі, що:

а)  - Різні прості числа;

б)  ділиться на 6 і .

11. Переведіть з однієї системи числення в іншу:  в шестерічную.

12. Знайдіть залишок від ділення  на  і виконайте дії у зазначеній системі числення .

13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (32); б) 0,53 (17).

14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 3881, b= 107113.

15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .

16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб .

17. Вирішіть рівняння в цілих числах а)  ; б) .

18. Чи знайдеться на прямий 8х+2у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?

19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.

20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?

21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.

22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).

23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.

24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.

25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.

26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.

27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.

28. За якої умови  ділиться на ?

29.Разделіте  на  при а)  і б) .

30. Розрахуйте  , якщо и .

31. Многочлен  розкладіть за ступенями .

32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .

33. Відомо, що рівняння  має два негативних кореня. Доведіть, що и

34. Розв'яжіть рівняння  методом Кардано.

35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .

36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .

37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .

38. Вирішіть систему

39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .

40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена

Попередня   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24

Алгоритм рішення рівнянь четвертого ступеня в радикалах. | Ділення з залишком в. Схема Горнера. | Найбільший спільний дільник. Взаємна простота і не приводиться. | Багаточлени над полем комплексних чисел. | Багаточлени над полем дійсних чисел. | Многочлени над. | Знаходження раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. | Алгоритм знаходження раціональних коренів многочлена. | Звільнення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику. | Симетричний многочлен і їх застосування. |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати