Головна |
1) Нехай однорідний симетричний многочлен.
1. Наводимо всі подібні і знаходимо старший член по лексикографічним порядку: .
2. Виписуємо набір показників ступенів при змінних одночлена і всі можливі набори невід'ємних цілих чисел такі, що .
3. Для кожного виписаного набору показників будуємо одночлен від виду .
4. Беремо суму отриманих одночленним, взятих рівно по одному разу, причому доданок, відповідне набору для , Беремо з коефіцієнтом , А всі інші з невизначеними коефіцієнтами . Прирівнюємо отриману суму до многочлену :
5. Знаходимо невизначені коефіцієнти . Для цього задаємо конкретні значення змінних , Знаходимо для них значення елементарних симетричних многочленів и , Підставляємо в рівність (*). Отримаємо співвідношення для невизначених коефіцієнтів. Якщо потрібно, задаємо ще значення змінних і т.д.
6. У рівність (*) підставляємо знайдені значення невизначених коефіцієнтів і отримуємо вираз через елементарні симетричні многочлени.
2) Неоднорідний симетричний многочлен розбиваємо попередньо в суму однорідних симетричних: , Кожен з яких представляємо у вигляді многочлена від елементарних симетричних за попереднім алгоритмом: . Сума всіх уявлень і є подання цього симетричного неоднорідного многочлена у вигляді многочлена від елементарних симетричних: .
Приклад 24. Висловити симетричний многочлен через елементарні симетричні многочлени.
Знаходимо старший по лексикографічним порядку: , Тому що у нього набір показників (4; 0; 0), а у решти (0; 4; 0) і (0; 0; 4).
Виписуємо набір показників для старшого по лексикографічним порядку (4, 0, 0) і будуємо всі можливі набори з необхідними в (*) умовами: (3; 1; 0), (2; 2; 0), (2; 1; 1). Інших наборів немає.
Для кожного отриманого набору будуємо відповідний одночлен від до покладених коефіцієнтами, беремо їх суму і прирівнюємо до : .
Знаходимо невизначені коефіцієнти .
Це завдання вирішуємо, заповнюючи таблицю
При цьому підбираємо самі раціональні набори значень . Наприклад, якщо візьмемо такий набір значень, що , То з отриманого одного рівняння відразу знайдемо коефіцієнт .Такий Набір дан в першому рядку таблиці:
-2 | -3 | -2 | |||||
По набору значень в першому рядку отримуємо: . . значить, и .
Візьмемо такий набір значень , щоб (Другий рядок таблиці). отримаємо рівняння . тоді . Тепер беремо такий набір значень, щоб (Третій рядок таблиці). Тоді отримаємо рівняння . Тому . значить, .
Приклад 25. Розв'яжіть рівняння .
Вирішуємо, використовуючи теорію симетричних многочленів. позначимо . Тоді, складаючи ці два рівності, а потім складаючи їх четверті ступеня (виключаючи з рівності), отримуємо систему співвідношень:
Висловимо симетричний многочлен через елементарні симетричні многочлени від двох змінних . Зауважимо, що в даному випадку це можна зробити без використання основного алгоритму. дійсно, . Тому, отримана вище система перепишеться у вигляді
Вирішуємо отриману систему відносно . підставляючи значення в друге рівняння системи, отримаємо або . тоді або Таким чином, з огляду на визначення , отримаємо або
За теоремою, зворотної теоремі Вієта, - Коріння квадратного рівняння в першому випадку і у другому.
У першому випадку отримуємо єдине рішення , А в другому , Дійсних рішень немає.
Отже, або .
Приклад 26. Розв'яжіть рівняння .
Як і в попередньому прикладі позначимо . Тоді отримуємо систему Так як , а , То система перетвориться до виду:
Підставляючи в друге рівняння вираз , Отримаємо квадратне рівняння . Вирішуючи його і обчислюючи значення , Зводимо рішення рівняння до вирішення систем або
підставами замість їх вираження:
або
Як і в попередньому прикладі за теоремою, зворотної теоремі Вієта, коріння відповідних квадратних рівнянь В першому випадку і дійсних коренів немає. У другому випадку В силу симетричності входження змінних отримуємо, що або
З позначень слід, що або
Приклад 27. Розв'яжіть рівняння в раціональних числах.
позначимо . Тоді рівняння рівносильне системі
Зведено перші два доданки в квадрат і складемо, а в лівій частині другого виконаємо дії і отримаємо систему щодо :
Ліва частина другого рівняння не є симетричним многочленом відносно , Але є симетричним вираженням.
Зауважимо, що и . Тоді система перетвориться до виду
маємо . Підставляємо в перше рівняння: .
Вирішуємо це квадратне рівняння: або .
Тому або Тоді по теоремі, зворотної теоремі Вієта, коріння квадратних рівнянь або В результаті отримаємо
Відбираючи тільки раціональні рішення і враховуючи симетричність входження змінних , Отримаємо: або Так як , то
Приклад 27. Вирішіть систему рівнянь
позначивши , Отримаємо симетричну систему
Враховуючи що , Висловлюємо ліві частини обох рівнянь через елементарні симетричні : Звідки, або За теоремою, зворотної теоремі Вієта, - Коріння квадратного рівняння Отримуємо, що
В силу симетричності входження змінних , або
А так як то остаточно отримуємо
Таким чином, система має рівно два рішення або
Приклад 28. Вирішіть систему рівнянь
Так як ліві частини рівнянь є симетричними многочленами, то застосовуємо теорію симетричних многочленів. Висловимо ліві частини рівнянь через елементарні симетричні многочлени від двох змінних
Саме, , .
Тоді початкова система при введених позначеннях рівносильна системі:
підставляючи значення в друге рівняння, отримаємо рівняння , Одним з коренів якого є -1. Тоді рівняння представляється у вигляді . многочлен не має дійсних коренів. Тому система (*) має єдине дійсне рішення
тоді і по теоремі, зворотної теоремі Вієта, - Коріння квадратного рівняння отримуємо В силу симетричності входження невідомих , Вихідне рівняння має два рішення: або
Приклад 29. Розкласти на множники многочлен .
Дуже часто симетричні вираження легше розкласти на множники, якщо подати їх у вигляді виразів від елементарних симетричних многочленів.
Уявімо у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленів за відомим алгоритмом.
Знаходимо старший по лексикографічним порядку: . Комбінація його показників . Тепер виписуємо всі можливі комбінації показників, які відповідають відповідним умовам: . Таким чином, .
Шукаємо невизначені коефіцієнти :
-1 | -1 | -4 | |||
Отже, при отримуємо, що . тоді
якщо то отримуємо, що , , . значить, .
Отже,
Тепер, знаючи отримане розкладання, можна придумати шкільні способи для його отримання.
Варіант 1
1. Вирішіть рівняння в цілих числах:
а)
б)
2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 1397, b= 5951.
3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел , якщо ділиться на 11, то і ділиться на 11.
4. Вирішіть систему в натуральних числах:
5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:
6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 30, а= 2457320?
7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .
8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що ділиться на 12.
9. Доведіть ірраціональність дійсного числа , якщо .
10. Знайдіть всі натуральні числа такі, що:
а) - Різні прості числа;
б) ділиться на 14 і .
11. Переведіть з однієї системи числення в іншу: в семерична.
12. Знайдіть залишок від ділення на і виконайте дії у зазначеній системі числення .
13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (121); б) 0,21 (5).
14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4871, b= 41323.
15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .
16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб
17. Вирішіть рівняння в цілих числах а) б)
18. Чи знайдеться на прямий 5х-25у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?
19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.
20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?
21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.
22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).
23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.
24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.
25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.
26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.
27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.
28. За якої умови ділиться на ?
29.Разделіте на при а) і б) .
30. Розрахуйте , якщо и .
31. Многочлен розкладіть за ступенями .
32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .
33. Яким умовам задовольняють числа и , Якщо біквадратне рівняння має чотири різних дійсних корені?
34. Розв'яжіть рівняння методом Кардано.
35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .
36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .
37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .
38. Вирішіть систему
39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .
40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена , якщо
Варіант 2
1. Вирішіть рівняння в цілих числах:
а)
б)
2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= Тисяча чотиреста сорок три, b= 1495.
3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел , якщо ділиться на 13, то і ділиться на 13.
4. Вирішіть систему в натуральних числах:
5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:
6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 18, а= 2132766?
7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .
8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що ділиться на 15.
9. Доведіть ірраціональність дійсного числа , якщо .
10. Знайдіть всі натуральні числа такі, що:
а) - Різні прості числа;
б) ділиться на 15 і .
11. Переведіть з однієї системи числення в іншу: в шестерічную.
12. Знайдіть залишок від ділення на і виконайте дії у зазначеній системі числення .
13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (24); б) 0,031 (12).
14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 3907, b= 65231.
15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .
16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб
17. Вирішіть рівняння в цілих числах а) б)
18. Чи знайдеться на прямий 3х-24у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?
19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.
20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?
21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.
22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).
23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.
24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.
25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.
26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.
27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.
28. За якої умови ділиться на ?
29.Разделіте на при а) і б) .
30. Розрахуйте , якщо и .
31. Многочлен розкладіть за ступенями .
32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .
33. Знаючи, що многочлен має корінь , Знайдіть інші його коріння.
34. Розв'яжіть рівняння методом Кардано.
35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику
36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .
37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .
38. Вирішіть систему
39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .
40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена , якщо
варіант 3
1. Вирішіть рівняння в цілих числах:
а)
б)
2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 3225, b= 1805.
3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел , якщо ділиться на 17, то і ділиться на 17.
4. Вирішіть систему в натуральних числах:
5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:
6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 44, а= 7211002?
7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .
8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що ділиться на 8.
9. Доведіть ірраціональність дійсного числа , якщо .
10. Знайдіть всі натуральні числа такі, що:
а) - Різні прості числа;
б) ділиться на 10 і .
11. Переведіть з однієї системи числення в іншу: в семерична.
12. Знайдіть залишок від ділення на і виконайте дії у зазначеній системі числення .
13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (72); б) 0,201 (53).
14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4951, b= 56129.
15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .
16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб
17. Вирішіть рівняння в цілих числах а) б)
18. Чи знайдеться на прямий 7х-28у= 19 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?
19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.
20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?
21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.
22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).
23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.
24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.
25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.
26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.
27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.
28. За якої умови ділиться на ?
29.Разделіте на при а) і б) .
30. Розрахуйте , якщо и .
31. Многочлен розкладіть за ступенями .
32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .
33. Нехай - Різні числа, причому . Доведіть, що якщо рівняння и мають рівно один спільний корінь, то інші корені цих рівнянь є корінням рівняння .
34. Розв'яжіть рівняння методом Кардано.
35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .
36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .
37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння
38. Вирішіть систему
39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .
40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена , якщо
варіант 4
1. Вирішіть рівняння в цілих числах:
а)
б)
2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 3615, b= 11905.
3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел , якщо ділиться на 23, то і ділиться на 23.
4. Вирішіть систему в натуральних числах:
5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:
6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 54, а= 3101238?
7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .
8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що ділиться на 33.
9. Доведіть ірраціональність дійсного числа , якщо .
10. Знайдіть всі натуральні числа такі, що:
а) - Різні прості числа;
б) ділиться на 21 і .
11. Переведіть з однієї системи числення в іншу: в вісімкову.
12. Знайдіть залишок від ділення на і виконайте дії у зазначеній системі числення .
13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (521); б) 0,208 (7).
14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 4703, b= 68413.
15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .
16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб .
17. Вирішіть рівняння в цілих числах а) ; б)
18. Чи знайдеться на прямий 6х-28у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?
19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.
20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?
21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.
22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).
23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.
24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.
25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.
26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.
27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.
28. За якої умови ділиться на ?
29.Разделіте на при а) і б) .
30. Розрахуйте , якщо и .
31. Многочлен розкладіть за ступенями .
32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .
33. Знайдіть всі значення , При яких рівняння має позитивні коріння.
34. Розв'яжіть рівняння методом Кардано.
35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .
36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .
37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння
38. Вирішіть систему
39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .
40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена , якщо
варіант 5
1. Вирішіть рівняння в цілих числах:
а)
б)
2. Знайдіть НСД (a,b) І лінійно висловіть його через a и b з цілими коефіцієнтами, якщо a= 1517, b= Тисяча чотиреста сорок три.
3. Доведіть, що для будь-яких цілих чисел , якщо ділиться на 19, то і ділиться на 19.
4. Вирішіть систему в натуральних числах:
5. Складіть дробу, привівши їх до найменшого спільного знаменника:
6. Сформулюйте і доведіть ознаку подільності на m в десятковій системі числення. Чи буде число а ділитись на m, якщо m= 33, а= 1762323?
7. Доведіть, що такі цифри не можуть бути простими одночасно: .
8. Знайдіть всі можливі цифри x и y такі, що ділиться на 18.
9. Доведіть ірраціональність дійсного числа , якщо .
10. Знайдіть всі натуральні числа такі, що:
а) - Різні прості числа;
б) ділиться на 6 і .
11. Переведіть з однієї системи числення в іншу: в шестерічную.
12. Знайдіть залишок від ділення на і виконайте дії у зазначеній системі числення .
13. Уявіть наступні нескінченні десяткові дроби у вигляді звичайних нескоротних дробів: а) 0, (32); б) 0,53 (17).
14. Знайдіть канонічну форму записи натуральних чисел a и b, якщо a= 3881, b= 107113.
15. Вкажіть загальну формулу цілих чисел n, Для яких скоротних дріб .
16. Знайдіть довжину предперіода десяткового дробу, в яку звертається звичайна дріб .
17. Вирішіть рівняння в цілих числах а) ; б) .
18. Чи знайдеться на прямий 8х+2у= 13 хоча б одна точка з цілочисельними координатами?
19. Вирішіть в цілих числах рівняння x + y = xy.
20. Ціле число n при розподілі на 2 дає залишок 1, при діленні на 3 - залишок 2. Який залишок дає n при розподілі на 6?
21. Доведіть, що твір трьох послідовних цілих чисел ділиться на 6.
22. Відомо, що ціле число 2n+1 - Точний квадрат. Доведіть, що n ділиться на 4 (n - ціле число).
23. Знайдіть тризначне число, яке дорівнює квадрату деякого двозначного числа і кубу деякого однозначного.
24. Знайдіть найменше натуральне число, яке після множення на 2 стане квадратом, а після множення на 3 - кубом деяких натуральних чисел.
25. Знайдіть всі прості числа p и q такі, що p2-2q2= 1.
26. Твір числа 21 на деяке натуральне чотиризначне число - точний куб. Знайдіть це чотиризначне число.
27. Доведіть, що число, записане тридцятьма одиницями і яким завгодно кількістю нулів, не є точним квадратом.
28. За якої умови ділиться на ?
29.Разделіте на при а) і б) .
30. Розрахуйте , якщо и .
31. Многочлен розкладіть за ступенями .
32. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами многочлен .
33. Відомо, що рівняння має два негативних кореня. Доведіть, що и
34. Розв'яжіть рівняння методом Кардано.
35. Забудьте про алгебраїчної ірраціональності в знаменнику .
36. Знайдіть суму кубів коренів рівняння .
37. Знайдіть всі раціональні рішення рівняння .
38. Вирішіть систему
39. Розкладіть на множники з цілими коефіцієнтами .
40. Знайдіть за алгоритмом всі раціональні корені многочлена
Алгоритм рішення рівнянь четвертого ступеня в радикалах. | Ділення з залишком в. Схема Горнера. | Найбільший спільний дільник. Взаємна простота і не приводиться. | Багаточлени над полем комплексних чисел. | Багаточлени над полем дійсних чисел. | Многочлени над. | Знаходження раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами. | Алгоритм знаходження раціональних коренів многочлена. | Звільнення від алгебраїчної ірраціональності в знаменнику. | Симетричний многочлен і їх застосування. |