загрузка...
загрузка...
На головну

ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

  1. V. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ.
  2. абсолютні величини, що характеризують обсяг явища за певний період часу - результат процесу.
  3. Абсолютні і відносні величини
  4. Аномалії величини, форми і структури твердих тканин зубів.
  5. Величини. Порівняння. Вимірювання
  6. Величини. Еластичність пропозиції.
  7. Імовірність. Випадкові події.

§ 1. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ.

У фізиці та інших науках про природу зустрічається багато різних величин різної природи, як наприклад: час, довжина, обсяг, вага і т.д. Постійною величиною називають ве- личину, приймаючу лише одне фіксоване значення. Величини, які можуть приймати різні значення, на-ни опиняються змінними. Величина вважається заданою, якщо вказано безліч  значень, які вона може приймати. Якщо однозначно відомо, яке саме значення з безлічі  прийме величина при створенні визна лённих умов, то про неї говорять як про «звичайної», детермінованою величиною. Прикладом такої величини є кількість букв в слові. Більшість фізичних величин вимірюються за допомогою приладів з властивою їм точністю вимірювань і, в змісті наведеного визначення, вони не є «звичайними». Такого роду «незвичайні» величини називаються випадковими. Для випадкових величин безліч  доцільно назвати безліччю можливих значень. Випадкова величина приймає те чи інше значення ня з певною ймовірністю. Зауважимо, що всі величини можна вважати випадковими, так як детермінована вели-чину - це випадкова величина, яка приймає кожне значення з імовірністю, що дорівнює одиниці. Все сказане вище є достатньою підставою для вивчення випадкових величин.

Визначення. випадковою величиною називається величина, яка в результаті досвіду може приймати ту чи іншу (але обов'язково тільки одне) значення, причому заздалегідь, до досвіду, невідомо, яке саме.

Поняття випадкової величини є фундаментальним поняттям теорії ймовірностей і грає важливу роль в її додатках.

Випадкові величини позначаються:  , А їх зна -ченія, відповідно: .

Виділяють два основні класи випадкових величин: диск -ретние і безперервні.

Визначення. Дискретної випадкової величиною називають випадкову величину, число можливих значень якої кінцеве або рахункове безліч.

приклади дискретних випадкових величин:

1.  - Частота влучень при трьох пострілах. Можливі значення:

2.  - Число дефектних виробів з  штук. Можливі значення:

3.  - Число пострілів до першого попадання. Можливі значення:

Визначення. Безперервною випадковою величиною називають таку випадкову величину, можливі значення якої не -преривно заповнюють певний проміжок (кінцевий або нескінченний).

приклади безперервних випадкових величин:

1.  - Випадкове відхилення по дальності від точки потрапляння ня до мети при пострілі з гармати.

Так як снаряд може потрапити в будь-яку точку, інтервалу, обмеженого мінімальним і максимальним значеннями дальності польоту снаряда, можливих для даного знаряддя, то можливі значення випадкової величини  заповнюють про -межуток між мінімальним і максимальним значенням.

2.  - Помилки при вимірюванні радіолокатором.

3.  - Час роботи приладу.

Випадкова величина є свого роду абстрактний ви- раженіем деякого випадкового події. З кожним випадок -ним подією можна пов'язати одну або кілька характеризу- ють його випадкових величин. Наприклад, при стрільбі по ми -шені можна розглянути такі випадкові величини: число влучень у мішень, частота влучень в мішень, кількість очок, набраних при попаданні в певні області мішені і т.д.

§ 2 ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН.

Визначення. Законом розподілу випадкової величини називається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між-ду можливими значеннями випадкової величини і соответст- інди їм ймовірностями.

Якщо згадати визначення функції, то закон распреде -льон є функцією, область визначення якої є область значень випадкової величини, а область значень даної функції складається з ймовірностей значень випадкової величини.

2.1. РЯД РОЗПОДІЛУ

Розглянемо дискретну випадкову величину  , Віз можне значення якої  нам відомі. Але зна ня значень випадкової величини, очевидно, не дозволяє нам її повністю описати, так як ми не можемо сказати, насколь- до часто слід очікувати тих чи інших можливих значень випадкової величини при повторенні досвіду в одних і тих же умовах. Для цього необхідно знати закон розподілу ймовірностей.

В результаті досвіду дискретна випадкова величина прини -мает одне зі своїх можливих значень, тобто відбудеться одна з подій:

 (1)

які утворюють повну групу несумісних подій.

Ймовірності цих подій:

,

Найпростішим законом розподілу дискретної випадкової величини є таблиця, в якій наведено всі можли ні значення випадкової величини і відповідні їм ве -роятності:

Таку таблицю називають поруч розподілу випадкової величини .

Для наочності, ряд розподілу можна представити графіком:

Ця ламана називається многоугольником розподілу. Це також одна з форм завдання закону розподілу дискрет - ної випадкової величини .

Сума ординат багатокутника розподілу, представля - ющая суму ймовірностей всіх можливих значень випадок -ної величини, дорівнює одиниці.

Приклад 1. Зроблено три постріли по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,7. Скласти ряд розподілу числа влучень.

Випадкова величина  - «Число влучень» може прин- мати значення від 0 до 3 - х, причому в цьому випадку вірогідність - ності визначаються за формулою Бернуллі:

.

тоді

 0,027  0,189  0,441  0,343

Перевірка

Приклад 2. В урні назодітся 4 білих і 6 чорних щаров. Навмання витягуються 4 кулі. Знайти закон розподілу слу чайної величини  - «Число білих куль серед відібраний -них».

Ця випадкова величина може приймати значення від 0 до 4 - х. Знайдемо ймовірності аозможних значень випадкової величини.

Чи можемо перевірити, що сума отриманих ймовірностей рав- на одиниці.

2.2. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ.

Ряд розподілу не можна побудувати для безперервної слу- чайної величини, так як вона приймає нескінченно багато значень. Більш універсальним законом розподілу під- ходив він, як для дискретної, так і для безперервної слу - чайної величини  є функція розподілу.

Визначення. Функцією розподілу (інтегральним зако ном розподілу) випадкової величини  називається зав- ня ймовірності виконання нерівності  , Тобто

 (1)

Таким чином, функція розподілу  дорівнює імовірність ність того, що випадкова величина в результаті досвіду попа- дає лівіше точки .

Для дискретної випадкової величини, для якої ми знаємо ряд розподілу:

функція розподілу буде мати вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини - розривна ступінчаста фігура. Для наочності, розглянемо приклад.

приклад 3 Дан ряд паспределенія. Знайти функцію розподілу пр -деленія і побудувати її графік

 0,2  0,1  0,3  0,4

За визначенням,

0,8

0,3

0,2

1 2 3 4

Властивості ФУНКЦІЇ РОЗПОДІЛУ

1 Функція розподілу - це невід'ємна фун- кція, значення якої укладені між 0 і 1, тобто

2 Імовірність появи випадкової величини в про- проміжку  дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях проміжку:

 (2)

3 Функція розподілу - неубутна функція, тобто при  виконано: ;

4

Перейдемо в рівність (2) до межі при  . Одержимо замість ймовірності попадання випадкової величини в про- проміжок  ймовірність точкового значення випадкової величини, тобто

 . (3)

Значення цієї межі залежить від того, чи є точка  точкою безперервності функції  , Або в цій точці функція  має розрив. якщо функція  безперервний на в точка  , То межа дорівнює 0, тобто  . Якщо ж в цій точці функція  має розрив (1 - го ро да), то межа дорівнює значенню стрибка функції  в точці .

Так як безперервна випадкова величина має непрерив -ву функцію розподілу  , То з рівності нулю межі (3) випливає, що ймовірність будь-якого фіксованого значення неперервної випадкової величини дорівнює нулю. Це випливає з того, що можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно багато. З цього, зокрема, випливає, що такі ймовірності збігаються:

Наведені властивості функції розподілу можна сфор- муліровать наступним чином: функція розподілу - це невід'ємна неубутна функція, яка задовольнить вус -ловіям:  Протилежне твердження також має місце: монотонно зростаюча безперервна функція, яка задовольняє умовам

є функцією розподілу деякої безперервної слу- чайної величини. Якщо значення цієї величини зосередитися ни на деякому проміжку  , То графік цієї функції можна схематично зобразити наступним чином:

0

Розглянемо приклад. Функція розподілу неперервної випадкової величини  задана в такий спосіб:

Знайти значення «  ", побудувати графік  і знайти веро -ятность

Так як функція розподілу неперервної випадкової величини неперервна, то  - Безперервна функція, і при  має виполгяться рівність:

 або  , Тобто

Побудуємо графік цієї функції

0 2 4

Знайдемо необхідну ймовірність

Зауваження. Функцію розподілу, іноді ще називають інтегральним законом розподілу. Нижче пояснимо, чому саме.

2.3 Щільність РОЗПОДІЛУ.

Так як за допомогою функції розподілу дискретної

випадкової величини в будь-якій точці ми можемо визначити ймовірність можливих значень, то вона однозначно визна- чає закон розподілу дискретної випадкової величини.

Однак по функції розподілу важко судити про харак- тере розподілу неперервної випадкової величини в НЕ -великий околиці тієї чи іншої точки числової осі.

Більш наочне уявлення про характер розподілу неперервної випадкової величини поблизу різних точок дає функція, яку називають щільністю розподілу (або диференціальним законом розподілу)

нехай  - Безперервна випадкова величина з функцікй розподілу  . Знайдемо ймовірність попадання цієї випадкової величини в елементарний ділянку .

За формулою (2), маємо

Розділимо це рівність на

.

Ставлення, що стоїть ліворуч, називається середньої ймовірно -стью на одиниці довжини ділянки.

вважаючи функцію  диференціюється, перейдемо до перейдемо в цій рівності до межі

.

Визначення. Границя відношення ймовірності попадання неперервної випадкової величини на елементарний ділянку  до довжини цієї ділянки  при  називаються ється щільністю розподілу неперервної випадкової ве - личини  і позначається  отже,

Щільність розподілу показує, наскільки часто слу -чайная величина  з'являється в деякій околиці точ ки  при повторенні дослідів.

Крива, що зображає графік щільності розподілу, на- ни опиняються кривої распрелеленія.

Якщо можливі значення випадкової величини  за- ють певний проміжок  , то  поза цього проміжку.

Визначення. Випадкова величина  називається непре - ної, Якщо її функція розподілу  неперервна на всій числовій прямій, а щільність розподілу  не- переривана всюди, за винятком може бути кінцевого числа точок (точок розриву 1 - го роду).

Властивості ЩІЛЬНОСТІ РОЗПОДІЛУ

1. Щільність розподілу неотрицательна, тобто

(Це випливає з того, що  - Похідна неубивающей функції  ).

2. Функція розподілу неперервної випадкової величини

ни дорівнює інтегралу від щільності розподілу (і тому є інтегральним законом розподілу), тобто

Справді,  (За визначенням диференціала функції). отже,

На графіку щільності розподілу функція розподілу

зображується площею заштрихованої області.

3. Імовірність попадання випадкової величини на ділянку  дорівнює інтегралу від щільності розподілу по цьому проміжку, тобто

Справді,

4. Інтеграл в нескінченних межах від щільності розподілу пр -деленія дорівнює одиниці, тобто

Іншими словами, площа фігури під графіком щільності розподілу дорівнює 1. Зокрема, якщо можливі значення ня випадкової величини зосереджені на ділянці  , то

Приклад. Нехай щільність розподілу Заза функцією

Знайти: а) значення параметра  ; б) функцію розподілу  в) Обчислити ймовірність того, що випадкова величи- на набуде значення з відрізка .

а) По властивості 4,  . тоді

б) По властивості 2,  якщо

якщо , .

Таким чином,

в) По властивості 3,

§ 3. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ

ВЕЛИЧИН

При вирішенні багатьох практичних завдань немає необхідності знати всі ймовірні характеристики випадкової величини. Іноді досить знати тільки деякі числові характе - ристики закону розподілу.

Числові характеристики дозволяють в стислій формі Вира -зіть найбільш суттєві особливості того чи іншого розподілу.

Про кожну випадкової величиною перш за все необхідно знати її середнє значення, біля якого групуються всі можливі значення цієї величини, а також деяке число, що характеризує ступінь розсіювання цих значень що- середнього.

Розрізняють характеристики положення і характеристики рас сіяння. Однією з найважливіших характеристик стану яв- ляется математичне очікування.

3.1 Математичне сподівання (середнє значення).

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину, име -ющую можливі значення  з вірогідністю

.

Визначення. математичним очікуванням дискретної слу- чайної величини  називається сума творів всіх можливих значень цієї величини на їх ймовірності, тобто

 . (1)

Інакше, математичне очікування позначається

Приклад. Нехай дано ряд розподілу:

 0,2  0,1  0,3  0,4

тоді

Розглянемо тепер безперервну випадкову величину  всі можливі значення якої укладені в відрізку .

Розіб'ємо цей відрізок на  часткових відрізків, довжини яких позначимо:  , І в кожному частковому інтервалі візьмемо по довільній точці, відповідно .

Так як твір  при- бліжённо одно ймовірності попадання випадкової величини на елементарний ділянку  , То сума творів  складена за аналогією з визна -льон математичного очікування дискретної випадкової величини, приблизно дорівнює математичному очікуванню НЕ -преривной випадкової величини  нехай .

тоді

Визначення. математичним очікуванням неперервної випадкової величини називається наступний певний інтеграл:

 (2)

Якщо неперервна випадкова величина приймає значення на всій числовій прямій, то

Приклад. Нехай дана щільність розподілу неперервної випадкової величини:

Тоді її математичне сподівання:

Поняття математичного очікування має просту хутра -ніческую інтерпретацію. Розподіл ймовірностей слу -чайной величини можна інтерпретіроварь як розподіл одиничної маси по прямій. Дискретної випадкової величини, що приймає значення  з вірогідністю  відповідає пряма, на якій маси  зосереджені в точках  . Непре- ної випадкової величини відповідає безперервне распреде -льон мас на всій прямій або на кінцевому відрізку цієї прямої. Тоді математичне очікування - це абсциса цент- ра тяжкості.

Властивості МАТЕМАТИЧНОГО ОЧІКУВАННЯ

1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної:

2. Постійний множник можна винести за знак математичного очікування:

3. Математичне сподівання алгебраїчної суми слу -чайних величин дорівнює сумі алгебри їх математичних очікувань:

4. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних -ческіх очікувань:

5. Математичне сподівання відхилення випадкової величини від її математичного очікування дорівнює нулю:

3.2. Мода і медіана випадкової величини.

Це ще дві характеристики положення випадкової величини.

Визначення. модою  дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення. Для безперервного -ної випадкової величини мода - це точка максимуму функ- ції .

Якщо багатокутник розподілу (для дискретної випадкової величини) або крива розподіл (для неперервної випадкової величини) має дві або більше точок максимуму, то розподіл називається двухмодальним або багатомі -дальним, відповідно.

Якщо немає жодної точки максимуму, то розподіл називається антімодальним.

Визначення. медианой  випадкової величини  на - називається таке її значення, относітеоьно якого равноверо- ятни отримання більшого або меншого значення випадкової величини, тобто

Іншими словами,  - Це абсциса точки, в якій площа під графіком щільності розподілу (многоуголь- ніком розподілу) ділиться навпіл.

Приклад. Дана щільність випадкової величини:

Знайти медіану цієї випадкової величини.

медіану  знайдемо з умови  . У нашому випадку,

З чотирьох коренів необхідно вибрати той, який укладений між 0 і 2, тобто

зауваження. Якщо розподіл випадкової величини одно- модальное і симетричне (нормальне), то всі три характе -рістікі положення: математичне сподівання, мода і медіа -на, збігаються.

3.3 Дисперсія і середньоквадратичне відхилення.

Значення спостережуваних випадкових величин, зазвичай, більш-менш коливаються біля деякого середнього значення. Це явище називається розсіюванням випадкової величини близь- ко її середнього значення. Числові характеристики, показива- ющие, наскільки щільно згруповані можливі значення випадкової веліпіни близько середнього, називаються характерис - тиками розсіювання. З властивості 5 математичного очікування стала помітно меншою, що лінійне відхилення значень випадкової вели -чіни від середнього значення не може служити характеристикою розсіювання, так як позитивні і негативні відхилення-ня «гасять» один одного. Тому основною характеристикою розсіювання випадкової величини прийнято вважати математічес - дещо сподівання квадрата відхилення випадкової величини від середнього.

Визначення. дисперсією називається математичне ожі -Даний квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування  (Середнього значення), тобто

 (3)

Для дискретної випадкової величини:

 (4) для неперервної випадкової величини:

 (5)

Але, незважаючи на зручності цієї характерічтікі розсіювання, бажано мати характеристику розсіювання відповідну з самої випадкової величиною і її математичним очікуванням.

Тому вводиться ще одна характеристика розсіювання, кото -рая називається середнім квадратичним відхиленням і рав -на кореню з дисперсії, тобто .

Для обчислення дисперсії зручно користуватися формулою, яку дає наступна теорема.

ТЕОРЕМА. Дисперсія випадкової величини дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової вели -чіни і квадратом її математичного очікуванням, тобто

Справді, за визначенням

Так як .

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної випадкової величини дорівнює нулю, тобто

2. Постійний множник сучайной величини виноситься з дисперсії з квадратом, тобто

3. Дисперсія алгебраїчної суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій, тобто

слідство з 2 і 3 властивостей:

Розглянемо приклади ..

Приклад 1. Дан ряд розподілу дискретної випадкової величини. Знайти її середньоквадратичне відхилення.

 - 1
 0,2  0,05  0,2  0,3  0,25

спочатку знайдемо

Тоді середнє відхилення

приклад 2. Нехай дана щільність розподілу непрерив -ної випадкової величини:

Знайти її дисперсію і середнє квадратичне відхилення.

тоді

3.4 Моменти випадкових величин.

Розрізняють моменти двох видів: початкові і центральні.

Визначення. Початковим моментом порядку випадкової

величини  називають математичне очікування величини  , Тобто .

Для дискретної випадкової величини:

Для неперервної випадкової величини:

Зокрема, математичне очікування  - Це на- ний момент 1 - го порядку.

Визначення. Центральним моментом полрядка  слу -чайной величини  називається математичне очікування величини  , Тобто

Для дискретної випадкової величини:

Для безперервної -

Центральний момент 1 - го порядку дорівнює нулю (властивість 5 математичного очікування); ;  характеризує асиметрію (скощенность) графіка щільності розподілу.  називається коефіцієнтом асиметрії.

 служить для характеристики Островерх розподілу.

Визначення. ексцесом випадкової величини  називає -ся число

Для номально розподіленої випадкової величини ставлення ня  . Тому криві розподілу, більш островер- хійо, ніж нормальна, мають позитивний ексцес (  ), А більш плосковерхі мають негативний ексцес (  ).

Приклад. Нехай дана щільність розподілу випадкової величини :

Знайти коефіцієнт асиметрії і ексцес цієї випадкової величини.

Знайдемо необхідні для цього моменти:

 Тоді коефіцієнт асиметрії:  (Негативна асиметрія).

ексцес дорівнює

Крім розглянутих вище початкових і центральних мо -ментов на практиці іноді застосовуються так звані абсо- лютні моменти.

Абсолютний початковий момент визначається формулою:

Абсолютний центральний момент задається формулою:

Зокрема,  називається середнім арифме- метичних відхиленням і іноді використовується для харак -терістікі розсіювання випадкової величини.

Поряд із зазначеними вище числовими характеристиками, для опису випадкових величин використовуються поняття квантилів.

Визначення. квантиль рівня  (або  - Квантиль) називається таке значення  випадкової величини, при кото ром функція її розподілу приймає значення, рівне  , Тобто

У позначеннях цього визначення, медіана випадкової величини

§ 4 ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ

ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Спочатку розглянемо деякі закони розподілу дискретних випадкових величин.

4.1 Біноміальний розподіл .

Нехай випадкова величина  - Це число появ недо -тор події  в серії з  незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події  , А вірогідність не появи події  Ряд розподілу такої величини має вигляд:

де  . Такий ряд розподілу називається біноміальним. Математичне сподівання випадкової величини  в цьому випадку має вигляд:

 (1)

Для обчислення цього виразу, продифференцировав по  виражається у формі:  отримаємо

 Якщо ми помножимо це рівність на  , отримаємо

 (2)

але  а праві частини рівностей (1) і (2) збігаються, тоді

Продифференцировав той же самий вираз двічі, отримаємо

Помноживши отриману рівність на  , Отримаємо:

тоді

Таким чином,

Звідси  То так

Отже, для біноміального розподілу:

Приклад. Вироблено 20 незалежних пострілів по міше- ні. Ймовірність влучення при кожному пострілі  . Знайти математичне сподівання, дисперсію і середнє квад -ратіческое очікування числа влучень.

Випадкова величина  - Число влучень, розподілена за біноміальним законом.  тоді

4.2 Розподіл Пуассона.

Визначення. Дискретна випадкова величина  має

закон розподілу Пуассона, Якщо вона задається низкою розподілу

в якому ймовірності визначаються за формулою Пуассона

 (3)

де (  - Середнє число появ події в серії випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події постійна величина  ).

Наведемо без доведення наступну теорему.

ТЕОРЕМА. Математичне сподівання і дисперсія випадок -ної величини, розподіленої за законом Пуассона, збігаються і дорівнюють параметру  цього закону, тобто

При досить великих  (Взагалі при  ) І малих значеннях  за умови, що твір  - Постійна величина (  ), Закон розподілу Пуассона є хорошим наближенням біноміального за -кона, тобто розподіл Пуассона - це асимптотическое рас -пространеніе біноміального закону. Іноді цей закон називаються -вают законом рідкісних явищ. Згідно із законом Пуассона распреде- лени, наприклад, число збоїв автоматичної лінії, число від- казов системи в «нормальному режимі», число збоїв в роботі АТС і т.п.

4.3 Геометричний розподіл.

Визначення. Дискретна випадкова величина  мае геометричний розподіл, якщо  , Де для деякого події ,

 і її ряд розподілу має вигляд:

В цьому випадку вірогідність є нескінченно спадаючу геометричну прогресію і її сума

.

ТЕОРЕМА. У разі випадкової величини, що має геометричні розподіл з параметром  , Математичне очікування і дисперсія обчислюються за формулами:

Приклад. Виробляються постріли по мішені до першого попа дання. Ймовірність влучення при кожному пострілі .

Скласти ряд розподілу випадкової величини  - «Чис ло влучень». Знайти її математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення.

За теоремою,

середнє відхилення

4.4 гіпергеометричний розподіл.

Нехай в партії з  виробів є  стандартних. Випадковим чином відбирають  виробів. Нехай випадкова величина  - Число стандартних виробів серед відібраних. оче

1   2
загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати