загрузка...
загрузка...
На головну

багаторазових вимірювань

  1. Ваги результатів вимірювань
  2. Види геодезичних вимірювань
  3. види вимірювань
  4. Види засобів вимірювань
  5. Візуальні ергономічні параметри ВДТ і межі їх вимірювань
  6. виконання вимірювань
  7. геодезичних вимірювань

Припустимо, що ми n раз виміряли значення деякої величини x. Внаслідок випадкових факторів виходить сукупність n різних значень однієї і тієї ж величини x. Ця сукупність значень отримала назву кінцевої вибірки. Нехай максимальне виміряне значення одно xmax, Мінімальне - xmin. Уявімо результати вимірювань в графічній формі. Для цього попередньо проведемо деяку їх обробку. Розіб'ємо повний інтервал зміни величини x на m дрібніших інтервалів і введемо величину інтервалу Dx = (xmax - xmin) /m. Для кожного такого інтервалу визначимо кількість вимірювань Dn, Для яких значення величини x потрапляє в розглянутий інтервал. визначимо величину у = (Dn / n) /Dx і побудуємо графік залежності y (x). величина Dn / nв цьому відношенні визначає частку від загального числа вимірювань, припадає на обранийінтервал. Приклад можливого такого графіка наведено на рис.1.

 
 

 Мал. В 1. Гістограма результатів вимірювань величини x

Графік являє собою столбчатую діаграму, яка називається гистограммой. Гістограма досить наочно демонструє нам як розподілені значення результатів вимірювань: Одні значення величини x в процесі вимірювань виходили досить рідко, інші - більш часто, а якісь - дуже часто. На деякий інтервал Dx доводиться максимальне значення величини y.

З досвіду випливає, що при збільшенні числа вимірювань гістограма буде приймати просту і цілком певну форму, яка для багатьох різних експериментів виявляється універсальною. якщо зробити граничний перехід: n ® ?, Dx ® 0, То гістограма перетвориться в безперервну криву, яка описується функцією такого вигляду:

f(x) = A exp. {- (X- xo) 2/ 2s 2}.  (В 1)

Ця залежність отримала назву функції розподілу Гауссаабо закону нормального розподілу Гаусса. Її графік зображений на рис. В 2. Зображена безперервна крива є, таким чином, граничним розподілом або, як його ще називають, генеральним розподілом.

Граничне розподіл - це теоретична ідеалізація, До якої ніколи не можна абсолютно точно наблизитися в експерименті. Чим більше кількість вимірювань, тим ближче гістограма до граничного розподілу. теоретична ідеалізація, Хоча і не досяжна, дуже важлива: вона демонструє граничні можливості розподілу результатів в даному експерименті. Якби могли отримати в експерименті граничне розподіл, то інформація, що міститься в ньому, була максимально можливою і повною.

Слід підкреслити, що не всі граничні розподілу мають вигляд нормального розподілу Гаусса. Але такий розподіл найчастіше буде відповідати Вашим експериментальними даними. З цієї причини ми розглядаємо саме цей розподіл. Можливо, надалі Ви познайомитеся і з іншими розподілами.

Нормальне (генеральна) розподіл характеризується двома параметрами:

1) генеральним середнім значенням xo ,

2) генеральним відхиленнямs.

Генеральне середнє є те значення x, На яке припадає максимум функції розподілу Гаусса. Значення випадкової величини x розподілені щодо xo симетрично (крива нормального розподілу має вісь симетрії, що проходить через координату xo).

 
 

Мал. В 2. Функція розподілу Гаусса

Генеральне відхилення являє собою міру ширини кривої нормального розподілу. Чим менше значення s, Тим швидше зменшується значення функції Гаусса в міру віддалення значення x від величини генерального середнього, тим вже крива нормального розподілу, менше розкид значень вимірюваної величини і, отже, точніше вимір.

Функція розподілу Гаусса дозволяє розрахувати частку вимірювань, що припадає на цікавий для інтервал значень величини x:

 , (В 2)

де x1 - Нижня межа обраного інтервалу значень величини х,

x2 - Верхня межа обраного інтервалу значень величини х.

Функція розподілу Гаусса (В1) задовольняє умові нормування:

.

Тому (В2) можна інтерпретувати як ймовірність P того, що «справжнє» значення вимірюваної величини виявляється в сюжеті інтервалі. З геометричного сенсу інтеграла випливає, що площа під кривою нормального розподілу в межах обраного інтервалу (див. Рис. В.2), віднесена до повної площі під всієї кривої, повинна давати величину цієї ймовірності і, відповідно, значення ?n / n.

Використовуючи імовірнісний сенс функції Гаусса, можна показати, що середнє значення вимірюваної величини, яке визначається як

в разі нормального розподілу збігається з xo , Тобто = xo . Тому величина xo і отримала назву середнього значення генерального (нормального) розподілуабогенерального середнього.

Аналогічно можна показати, що значення s збігається з величиною стандартного абосередньоквадратичного відхилення, Квадрат якого для нормального розподілу визначається виразом ? (x - )2 f dx. Тому s називається середньоквадратичним (стандартним) відхиленням генерального (нормального) розподілуабо генеральним відхиленням. Среднеквадратічноеотклоненіе характеризує середню міру розкиду (відхилення) випадкової величини x від середнього значення  . Зверніть увагу, спочатку підсумовуються (інтегруються) значення величини (x - )2 - Квадрати всіх відхилень від середнього. Квадратний корінь з цієї суми і дає величину середньоквадратичного відхилення (з визначенням пов'язана назва величини). Якби підсумовувалися самі відхилення, тобто величини (x -  ), То в силу симетрії нормального розподілу Гаусса результат був би рівний нулю. Це обумовлено тим, що негативні і позитивні по знаку відхилення є рівноімовірними. З цієї причини вкачестве середньої міри відхилення випадкової величини від середнього використовується саме середньоквадратичне відхилення.

Візьмемо інтервал (xo - ?x, xo + ?x), Межі якого симетричні по відношенню до генерального середнього. Користуючись (2), для нормального розподілу можна визначити ймовірність P попадання «істинного» значення вимірюваної величини в цей інтервал. Якщо ймовірність визначена, то інтервал називається довірчим інтервалом вимірювання, А ймовірність називають довірчою ймовірністю або надійністю вимірювання. Надійність вимірювання виражається або в частках одиниці або у відсотках і залежить від величини обраного інтервалу.

Якщо заданий довірчий інтервал із зазначенням величини надійності (ймовірності P), То інформація про результати вимірювання вважається поданою з урахуванням випадкових похибок вимірювання. величина ?x, Що характеризує ширину довірчого інтервалу, називається довірчої похибкою.

В якості довірчого інтервалу для нормального розподілу найчастіше використовується інтервал (xo -s, xo + S), пов'язаний зі стандартним відхиленням. Величина довірчої ймовірності для такого інтервалу становить приблизно 68,3%.

Якщо взяти ?x = 2s, то P = 95,5%. при ?x = 3s величина P = 99,7%. Останнє, наприклад, означає, що ймовірність виявити результат вимірювання величини x за межами інтервалу (xo -3s, xo +3s) Становить всього 0,3%. Можна вважати, що практично «справжнє» значення вимірюваної величини знаходиться в цьому інтервалі.

Від функції розподілу Гаусса, яка є теоретичною граничної ідеалізацією, повернемося тепер до нашого реального розподілу (див. Рис. В1), в якому кількість вимірювань n являє собою кінцеву величину. Як в цьому випадку визначається довірчий інтервал і представляються результати вимірювань?

Аналогом величини xo виступає величина вибіркового середнього значення (Середньоарифметичного для кінцевої вибірки):

=  . (У 3)

аналогом величини s є величина вибіркового середньоквадратичного відхилення:

Sx =  , (В 4)

Щоб отримати оцінку довірчого інтервалу для кінцевого числа вимірювань доводиться вводити величину ts - Коефіцієнт Стьюдента (Псевдонім англійського математика В. С. Госсета). Тільки запровадження цього коефіцієнта дозволяє визначити довірчу ймовірність для заданого інтервалу значень або визначити інтервал для заданої величини ймовірності. Остання з цих двох операцій простіша, тому ми будемо діяти саме так. Значення коефіцієнта Стьюдента для різних значень n и P визначаються за спеціальною таблицею, фрагмент якої має вигляд:

Таблиця В.1

 
 

 Значення коефіцієнта Стьюдента

Задавши необхідне значення надійності вимірювання (ймовірності P), Знаходимо по таблиці величину ts, Відповідну проведеним кількості вимірювань n. Наприклад, для P = 80% при n = 5 значення ts = 1.5.

величина довірчої похибки вимірювання знаходиться за формулою:

?x = ts Sx/  . (В 5)

Чим більше значення надійності вимірювання вибирається, тим більше значення коефіцієнта Стьюдента і тим більше ширина довірчого інтервалу (більше величина довірчої похибки). З ростом числа вимірів величина ts зменшується.

Результат багаторазового вимірювання представляється в такій формі:

 ± ?x (n = ..., P = ...).

В дужках вказується кількість вимірювань і значення довірчої ймовірності, відповідне довірчій похибки.

Така форма запису є найбільш інформативною, тому що вона містить дані не тільки про середнє значення виміряної величини і похибки вимірювання, а й оцінку надійності результату.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   Наступна

Вступ | Представлення результатів одноразових вимірювань | Оформлення результатів вимірювань | протокол | Вихідні дані і робочі формули | Додаток до протоколу |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати