На головну

теоретичні відомості

  1. HTML: Загальні відомості.
  2. I. Теоретичні основи формування артикуляційної моторики у дітей.
  3. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів.
  4. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 1 сторінка
  5. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 2 сторінка
  6. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 3 сторінка
  7. Ii) публічний показ, виконання та повідомлення по дротах для загального відома перероблених або відтворених таким способом творів. 4 сторінка

числовим рядом називається нескінченна послідовність чисел  , З'єднаних знаком складання:

числа  називаються членами ряду, А член - загальним або n-м членом ряду.

Серед рядів особливе місце займають статечні ряди, членами яких є статечні функції аргументу х:

Дійсні числа  називаються коефіцієнтами ряду, х - Дійсна змінна.

Розглянутий статечної ряд розташований за ступенями х.

Мають місце ряди, розташовані за ступенями  , Тобто ряд виду

,

де  - Деяке постійне число.

Для додатків важливо вміти цю функцію f (x) розкладати в статечної ряд, т. е. функцію f (x) представляти у вигляді суми степеневого ряду.

Для будь-якої функції f (x), визначеної в околиці точки  і має в ній похідні до (N + 1)-го порядку включно, справедлива формула Тейлора:

де ,  - Залишковий член у формі Лагранжа.

Число з можна записати у вигляді  , де .

Без залишкового члена маємо - многочлен Тейлора:

.

якщо функція f (x) має похідні будь-яких порядків (т. е. нескінченно диференційована) в околиці точки  і залишковий член  прямує до нуля при  , То з формули Тейлора виходить розкладання функції f (x) за ступенями  , Зване поруч Тейлора:

.

Якщо в ряді Тейлора покласти  , То отримаємо розкладання функції за ступенями x в так званий ряд Маклорена:

.

Формально ряд Тейлора можна побудувати для будь-якої нескінченно диференціюється (це необхідна умова) в околиці точки  . Але звідси ще не випливає, що він буде сходитися до даної функції f (x); він може виявитися розходяться або сходитися, але не до функції f (x).

Приклад 1. розкласти многочлен

в ряд Тейлора при

Рішення:

Знайдемо похідні даного многочлена:

У точці  маємо:

За формулою

отримуємо:

Приклад 2.Записати формулу Тейлора і вираз залишкового члена для

при n = 4 і

Рішення:

Формула Тейлора має вигляд:

де

Знайдемо похідні функції  в точці

Шукана формула має вигляд:

де и  , Тобто

.

Для того щоб ряд Тейлора функції f (x)

сходився до f (x) в точці x, Необхідно і достатньо, щоб в цій точці залишковий член формули Тейлора, наближався до нуля при  , Т. Е. .

Розкладання деяких елементарних функцій в ряд Тейлора (Маклорена)

Для розкладання функції f (x) в ряд Маклорена потрібно:

1) Знайти похідні ;

2) Обчислити значення похідних в точці ;

3) Написати ряд

для заданої функції і знайти його інтервал збіжності;

4) Знайти інтервал (-R; R), в якому залишковий член ряду Маклорена  . Якщо такий інтервал існує, то в ньому функція f (x) і сума ряду Маклорена збігаються.



Попередня   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   29   30   31   32   33   34   Наступна

Приклад 4. | Невласні інтеграли від необмежених функцій | Приклад 7. | теоретичні відомості | теоретичні відомості | Координати центру мас фігури | Завдання для самостійної роботи | теоретичні відомості | Рівняння допускають зниження порядку | Можливі три випадки |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати