Головна |
Дано рівняння лінії r = r (J) в полярній системі координат. Потрібно: 1) побудувати лінію по точках на проміжку від j = 0 до j = 2p з кроком, рівним p / 8; 2) знайти рівняння лінії в прямокутній декартовій системі координат, у якій початок збігається з полюсом, а позитивна піввісь абсцис - з полярною віссю; 3) назвати лінію, знайти координати центру і піввісь.
5.1. . | 5.2. . | 5.3. . |
5.4. . | 5.5. . | 5.6. . |
5.7. . | 5.8. . | 5.9. . |
5.10. . | 5.11. . | 5.12. . |
5.13. . | 5.14. . | 5.15. . |
5.16. . | 5.17. . | 5.18. . |
5.19. . | 5.20. . | 5.21. . |
5.22. . | 5.23. . | 5.24. . |
5.25. . | 5.26. | 5.27. . |
5.28. | 5.29. . | 5.30. . |
Рішення типового варіанту КР № 1
2Заданіе 1. Вирішити слу методом Крамера та матричним методом. Зробити перевірку знайденого рішення.
Рішення. метод Крамера. Складемо і обчислимо визначник системи D і допоміжні визначники (отримані з D заміною стовпця коефіцієнтів при відповідній невідомої стовпцем вільних членів) розкладанням за елементами першого рядка
D =
;
; ; ;
тоді
.
зробимо перевірку
? Х = (4, 2, 1).
матричний метод. позначимо
, .
знайдемо
1) визначник
.
Отже, матриця невироджена і існує .
2) транспоновану матрицю .
3) союзну матрицю .
4) зворотний матрицю .
Знаходимо рішення системи X = А-1В:
.
відповідь: Х = (4, 2, 1). v
2Заданіе 2. Вирішити систему лінійних рівнянь АХ = В, Заданої розширеної матрицею, методом послідовного виключення невідомих. У разі невизначеності системи знайти її загальне, базисне і будь-яка приватна рішення. Зробити перевірку.
.
Рішення. візьмемо змінну х3 в першому рівнянні за базисну і виключимо її з другого і третього рівнянь системи. Для цього помножимо перше рівняння на (+2) і складемо з другим. для виключення х3 з третього рівняння помножимо перше рівняння на (+1) і складемо з третім:
.
Візьмемо в іншому рядку нову базисну змінну х4 і виключимо її з першого і третього рівнянь. Викреслимо рядок, що містить одні нулі.
? .
Отже, базисними змінними будуть х3, х4.
Дозволимо отримані рівняння щодо базисних змінних. Решта (небазисних) змінні називаються вільними (х1 и х2).
Вираз базисних змінних через вільні називається спільним рішенням Слу.
У нашому випадку загальне рішення має вигляд
Якщо в загальному рішенні прирівняти вільні змінні нулю, то отримаємо базисне рішення
.
Якщо в загальному рішенні вільним змінним давати довільні значення, то отримаємо безліч приватних рішень.
нехай х1 = 1, х2 = -1 ? ;
х1 = 0, х2 = 2 ? .
Зробимо перевірку, підставивши, наприклад, базисне рішення в слу:
відповідь: Загальне рішення базисне рішення , Приватне рішення . v
2 Завдання 3. По трьох заданих точках А(3, 1), В(-13, -11), С(-6, 13) побудувати трикутник і засобами векторної алгебри знайти: 1) довжину сторони ВС; 2) рівняння лінії ВС; 3) рівняння висоти, проведеної з точки А; 4) довжину висоти, проведеної з точки А; 5) площа трикутника АВС; 6) кут між сторонами ВА и ВС; 7) координати точки N - Середини боку АС; 8) координати точки М, Що ділить сторону АВ щодо 2: 3, рахуючи від точки А.
Рішення.Креслення трикутника наведено на малюнку 1.
1. Обчислимо координати вектора , де В(х1, у1, z1), С(х2, у2, z2), за формулою
= (-6 - (-13); 13 - (-11)) = (7, 24).
Обчислимо довжину вектора за формулою
= .
2. Запишемо рівняння прямої ВС у вигляді :
? ? ? .
рівняння прямої ВС: .
3. Рівняння висоти А D може бути отримано різними способами.
1 спосіб.Зауважимо, що вектор є нормальним вектором для прямої А D і крапка А(3, 1) належить прямій А D, Отже,
? .
Отже, А D: .
2 спосіб.Запишемо рівняння висоти, проведеної з точки А в формі рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, При цьому скористаємося властивостями кутових коефіцієнтів взаємно перпендикулярних прямих.
Визначимо кутовий коефіцієнт прямої ВС. Для цього розв'яжемо рівняння прямої щодо у, маємо
? ? .
Підставимо отримані дані в рівняння прямої, що проходить через точку М(х0, у0), Перпендикулярно даної прямий y = k1x + b, Яке має вигляд , І отримаємо .
Запишемо отримане рівняння у формі загального рівняння площини:
.
Зауважимо, що результати в першому і другому слyчаях збігаються.
Отже, пряма А D задається рівнянням .
4. Довжину висоти А D також можна визначити різними способами.
1 спосіб.Оскільки координати точки А відомі, знайдемо координати точки D. Зауважимо, що точка D лежить на перетині прямих ВС и А D, Отже, її координати задовольняють рівнянням обох прямих. Складаємо систему з рівнянь, які задають прямі ВС и А D:
Вирішимо систему за формулами Крамера:
? ,
, ,
; ? D(-8,52; 4,36).
Тепер скористаємося формулою для обчислення довжини відрізка
.
2 спосіб. довжину відрізка А D можна розглядати як відстань від точки А(3, 1) до прямої ВС ( ), Тому скористаємося формулою , Де (x0, y0) - Координати точки А, Ах + Ву + С = 0 - рівняння прямої:
.
5. Знайти площу трикутника АВС. У попередніх пунктах були визначені величина підстави і довжина висоти . Тому доцільно застосувати формулу . маємо (Кв. Од.).
6. Для обчислення величини кута між сторонами ВА и ВС (Кут a) скористаємося формулою :
, ,
.
.
a = аrcсos 0,8 = 36 ° 50 ? (Якщо скористатися калькулятором або комп'ютером, то результат може бути записаний у вигляді 36,87 °).
7. Для знаходження координат середини відрізка АС скористаємося формулами ; ; , Де l = 1. Маємо
? .
8. Координати точки М, Знайдемо за формулами ; ; , Де l = 2/3:
; .
остаточно .
відповідь: = 25; рівняння прямої ВС: ; рівняння прямої А D: ; ; (Кв. Од.); a = 36 ° 50 ?; ; . v
2 Завдання 4. По чотирьох заданих точках А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0) побудувати піраміду і засобами векторної алгебри знайти: 1) довжину ребра А1А2; 2) кут між ребрами А1А2 и А1А4; 3) площа грані А1А2А3; 4) обсяг піраміди А1А2А3А4; 5) рівняння прямої А1А2; 6) рівняння площини А1А2А3.
Креслення піраміди наведено на малюнку 2.
1. Знайдемо координати і довжину вектора :
= ,
.
2. Для визначення кута j, обчислимо координати і модулі векторів, спрямованих на всі боки цього кута:
, ;
.
Кут визначимо за формулою
.
За таблицями знаходимо .
3. Для обчислення площі грані А1А2А3 скористаємося властивостями векторного добутку двох векторів, на яких побудований трикутник А1А2А3, І формулою :
, = (-4, 5, -3), ,
= ,
? (Кв. Од.).
4. Для обчислення обсягу скористаємося формулою змішаного твори:
, (Куб. Од.).
5. Для визначення рівняння прямої А1А2 скористаємося рівнянням . маємо
,
остаточно отримуємо рівняння прямої А1А2
.
6. Рівняння площини А1А2А3 запишемо у формі рівняння площини, що проходить через три точки по формулі :
.
Розділимо обидві частини рівняння на 10, остаточно рівняння площини А1А2А3 набуде вигляду x + 2y + 2z - 18 = 0.
відповідь: ; ; (Кв. Од.);
(Куб. Од.); рівняння прямої А1А2: ;
рівняння площини А1А2А3: x + 2y + 2z - 18 = 0. v
2 Завдання 5 Дано рівняння лінії в полярній системі координат. Потрібно: 1) побудувати лінію по точках на проміжку від j = 0 до j = 2p з кроком, рівним p / 8; 2) знайти рівняння лінії в прямокутній декартовій системі координат, у якій початок збігається з полюсом, а позитивна піввісь абсцис - з полярною віссю; 3) назвати лінію, знайти координати центру і довжини півосей.
Рішення. Складемо таблицю 4 для обчислення значень r.
Таблиця 4
j | p / 8 | p / 4 | 3p / 8 | p / 2 | 5p / 8 | 3p / 4 | 7p / 8 | p | ... | |
cos j | 0,92 | 0,71 | 0,38 | -0,38 | -0,71 | -0,92 | -1 | ... | ||
r | 1,04 | 1,15 | 1,38 | 1,80 | 2,59 | 4,14 | 6,90 | ... |
Для переходу в декартових систему координат скористаємося формулами
, .
отримаємо рівняння
,
яке після перетворень набуде вигляду
? ?
? ? ,
? ? .
Отримали рівняння еліпса з центром в точці О? (-4; 0) і півосями а = 5, b = 3 (рисунок 4).
відповідь: Рівняння еліпса з центром в точці
О(-4; 0) і півосями а = 5, b = 3. v
Самарський державний університет шляхів сполучення | Частина 1 | Завдання для контрольної роботи №1 | Завдання № 2 | Завдання № 7 | Завдання № 8 | Завдання № 9 |