загрузка...
загрузка...
На головну

Завдання № 5

  1. А тепер завдання.
  2. ВІДПОВІДНО ДО ЙОГО комунікативні-стилістичні ЗАВДАННЯМ
  3. Виконайте завдання за таким зразком.
  4. Виконайте завдання за таким зразком.
  5. Виконайте завдання за таким зразком ;,
  6. Домашнє завдання
  7. Домашнє завдання

Дано рівняння лінії r = r (J) в полярній системі координат. Потрібно: 1) побудувати лінію по точках на проміжку від j = 0 до j = 2p з кроком, рівним p / 8; 2) знайти рівняння лінії в прямокутній декартовій системі координат, у якій початок збігається з полюсом, а позитивна піввісь абсцис - з полярною віссю; 3) назвати лінію, знайти координати центру і піввісь.

 5.1. .  5.2. .  5.3. .
 5.4. .  5.5. .  5.6. .
 5.7. .  5.8. .  5.9. .
 5.10. .  5.11. .  5.12. .
 5.13. .  5.14. .  5.15. .
 5.16. .  5.17. .  5.18. .
 5.19. .  5.20. .  5.21. .
 5.22. .  5.23. .  5.24. .
 5.25. .  5.26.  5.27. .
 5.28.  5.29. .  5.30. .

Рішення типового варіанту КР № 1

2Заданіе 1. Вирішити слу методом Крамера та матричним методом. Зробити перевірку знайденого рішення.

Рішення. метод Крамера. Складемо і обчислимо визначник системи D і допоміжні визначники (отримані з D заміною стовпця коефіцієнтів при відповідній невідомої стовпцем вільних членів) розкладанням за елементами першого рядка

D =

;

; ; ;

тоді

.

зробимо перевірку

? Х = (4, 2, 1).

матричний метод. позначимо

, .

знайдемо

1) визначник

.

Отже, матриця невироджена і існує .

2) транспоновану матрицю .

3) союзну матрицю .

4) зворотний матрицю .

Знаходимо рішення системи X = А-1В:

.

відповідь: Х = (4, 2, 1). v

2Заданіе 2. Вирішити систему лінійних рівнянь АХ = В, Заданої розширеної матрицею, методом послідовного виключення невідомих. У разі невизначеності системи знайти її загальне, базисне і будь-яка приватна рішення. Зробити перевірку.

.

Рішення. візьмемо змінну х3 в першому рівнянні за базисну і виключимо її з другого і третього рівнянь системи. Для цього помножимо перше рівняння на (+2) і складемо з другим. для виключення х3 з третього рівняння помножимо перше рівняння на (+1) і складемо з третім:

.

Візьмемо в іншому рядку нову базисну змінну х4 і виключимо її з першого і третього рівнянь. Викреслимо рядок, що містить одні нулі.

? .

Отже, базисними змінними будуть х3, х4.

Дозволимо отримані рівняння щодо базисних змінних. Решта (небазисних) змінні називаються вільними (х1 и х2).

Вираз базисних змінних через вільні називається спільним рішенням Слу.

У нашому випадку загальне рішення має вигляд

Якщо в загальному рішенні прирівняти вільні змінні нулю, то отримаємо базисне рішення

.

Якщо в загальному рішенні вільним змінним давати довільні значення, то отримаємо безліч приватних рішень.

нехай х1 = 1, х2 = -1 ? ;

х1 = 0, х2 = 2 ? .

Зробимо перевірку, підставивши, наприклад, базисне рішення в слу:

відповідь: Загальне рішення  базисне рішення  , Приватне рішення  . v

2 Завдання 3. По трьох заданих точках А(3, 1), В(-13, -11), С(-6, 13) побудувати трикутник і засобами векторної алгебри знайти: 1) довжину сторони ВС; 2) рівняння лінії ВС; 3) рівняння висоти, проведеної з точки А; 4) довжину висоти, проведеної з точки А; 5) площа трикутника АВС; 6) кут між сторонами ВА и ВС; 7) координати точки N - Середини боку АС; 8) координати точки М, Що ділить сторону АВ щодо 2: 3, рахуючи від точки А.

Рішення.Креслення трикутника наведено на малюнку 1.

1. Обчислимо координати вектора  , де В(х1, у1, z1), С(х2, у2, z2), за формулою

 = (-6 - (-13); 13 - (-11)) = (7, 24).


 Обчислимо довжину вектора за формулою

= .

2. Запишемо рівняння прямої ВС у вигляді :

? ? ? .

рівняння прямої ВС: .

3. Рівняння висоти А D може бути отримано різними способами.

1 спосіб.Зауважимо, що вектор  є нормальним вектором для прямої А D і крапка А(3, 1) належить прямій А D, Отже,

? .

Отже, А D: .

2 спосіб.Запишемо рівняння висоти, проведеної з точки А в формі рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, При цьому скористаємося властивостями кутових коефіцієнтів взаємно перпендикулярних прямих.

Визначимо кутовий коефіцієнт прямої ВС. Для цього розв'яжемо рівняння прямої щодо у, маємо

? ? .

Підставимо отримані дані в рівняння прямої, що проходить через точку М(х0, у0), Перпендикулярно даної прямий y = k1x + b, Яке має вигляд  , І отримаємо .

Запишемо отримане рівняння у формі загального рівняння площини:

.

Зауважимо, що результати в першому і другому слyчаях збігаються.

Отже, пряма А D задається рівнянням .

4. Довжину висоти А D також можна визначити різними способами.

1 спосіб.Оскільки координати точки А відомі, знайдемо координати точки D. Зауважимо, що точка D лежить на перетині прямих ВС и А D, Отже, її координати задовольняють рівнянням обох прямих. Складаємо систему з рівнянь, які задають прямі ВС и А D:

Вирішимо систему за формулами Крамера:

? ,

, ,

; ? D(-8,52; 4,36).

Тепер скористаємося формулою для обчислення довжини відрізка

.

2 спосіб. довжину відрізка А D можна розглядати як відстань від точки А(3, 1) до прямої ВС (  ), Тому скористаємося формулою  , Де (x0, y0) - Координати точки А, Ах + Ву + С = 0 - рівняння прямої:

.

5. Знайти площу трикутника АВС. У попередніх пунктах були визначені величина підстави  і довжина висоти  . Тому доцільно застосувати формулу  . маємо  (Кв. Од.).

6. Для обчислення величини кута між сторонами ВА и ВС (Кут a) скористаємося формулою :

, ,

.

.

a = аrcсos 0,8 = 36 ° 50 ? (Якщо скористатися калькулятором або комп'ютером, то результат може бути записаний у вигляді 36,87 °).

7. Для знаходження координат середини відрізка АС скористаємося формулами ; ;  , Де l = 1. Маємо

? .

8. Координати точки М, Знайдемо за формулами ; ;  , Де l = 2/3:

; .

остаточно .

відповідь:  = 25; рівняння прямої ВС:  ; рівняння прямої А D: ; ;  (Кв. Од.); a = 36 ° 50 ?; ;  . v

2 Завдання 4. По чотирьох заданих точках А1(4, 2, 5), А2(0, 7, 2), А3(0, 2, 7), А4(1, 5, 0) побудувати піраміду і засобами векторної алгебри знайти: 1) довжину ребра А1А2; 2) кут між ребрами А1А2 и А1А4; 3) площа грані А1А2А3; 4) обсяг піраміди А1А2А3А4; 5) рівняння прямої А1А2; 6) рівняння площини А1А2А3.

 Креслення піраміди наведено на малюнку 2.

1. Знайдемо координати і довжину вектора :

= ,

.

2. Для визначення кута j, обчислимо координати і модулі векторів, спрямованих на всі боки цього кута:

, ;

.

Кут визначимо за формулою

.

За таблицями знаходимо .

3. Для обчислення площі грані А1А2А3 скористаємося властивостями векторного добутку двох векторів, на яких побудований трикутник А1А2А3, І формулою :

,  = (-4, 5, -3), ,

= ,

?  (Кв. Од.).

4. Для обчислення обсягу скористаємося формулою змішаного твори:

,  (Куб. Од.).

5. Для визначення рівняння прямої А1А2 скористаємося рівнянням  . маємо

,

остаточно отримуємо рівняння прямої А1А2

.

6. Рівняння площини А1А2А3 запишемо у формі рівняння площини, що проходить через три точки по формулі :

.

Розділимо обидві частини рівняння на 10, остаточно рівняння площини А1А2А3 набуде вигляду x + 2y + 2z - 18 = 0.

 відповідь: ; ;  (Кв. Од.);

 (Куб. Од.); рівняння прямої А1А2: ;

рівняння площини А1А2А3: x + 2y + 2z - 18 = 0. v

2 Завдання 5 Дано рівняння лінії  в полярній системі координат. Потрібно: 1) побудувати лінію по точках на проміжку від j = 0 до j = 2p з кроком, рівним p / 8; 2) знайти рівняння лінії в прямокутній декартовій системі координат, у якій початок збігається з полюсом, а позитивна піввісь абсцис - з полярною віссю; 3) назвати лінію, знайти координати центру і довжини півосей.

Рішення. Складемо таблицю 4 для обчислення значень r.

 Таблиця 4

j  p / 8  p / 4  3p / 8  p / 2  5p / 8  3p / 4  7p / 8 p  ...
 cos j  0,92  0,71  0,38  -0,38  -0,71  -0,92  -1  ...
r  1,04  1,15  1,38  1,80  2,59  4,14  6,90  ...

 
 

 Побудуємо лінію, враховуючи, що  (Рисунок 3).

Для переходу в декартових систему координат скористаємося формулами

, .

отримаємо рівняння

,

яке після перетворень набуде вигляду

? ?

? ? ,

? ? .

Отримали рівняння еліпса з центром в точці О? (-4; 0) і півосями а = 5, b = 3 (рисунок 4).

відповідь: Рівняння еліпса з центром в точці

О(-4; 0) і півосями а = 5, b = 3. v



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   Наступна

Самарський державний університет шляхів сполучення | Частина 1 | Завдання для контрольної роботи №1 | Завдання № 2 | Завдання № 7 | Завдання № 8 | Завдання № 9 |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати