Головна

ТЕМА 6. ПЕВНИЙ ІНТЕГРАЛ

  1. III Інтегральне числення
  2. абсолютні величини, що характеризують обсяг явища за певний період часу - результат процесу.
  3. Автогенератори гармонійних коливань на інтегральних мікросхемах
  4. Зростаючим значенням інтегральної кривої відповідають позитивні значення диференціальної кривої, убутним - негативні значення.
  5. Обчислення ПОДВІЙНИХ інтеграли
  6. Обчислення криволінійний інтеграл
  7. Обчислення визначеного інтеграла. Рішення задач фізичного і геометричного змісту за допомогою певного інтеграла

Нехай на відрізку [a, b] визначена деяка функція f (x). Будемо говорити, що задано розбиття відрізка [a, b], якщо задані точки x0, x1, ..., Xn, Такі, що a = x0 1 <... n-1 n = B.

Розбиття відрізка [a, b] будемо позначати символом {xk}. Відрізки [xk-1 , xk ], K = 1, ..., n, називаються частковими відрізками. Позначимо довжини цих відрізків символами :

Діаметром розбиття називається число

На кожному частковому відрізку виберемо довільним чином точку  і обчислимо значення функції в цій точці  . За даним розбиття {xk} Побудуємо суму:  яка називається інтегральною сумою або сумою Рімана.

Функція f (x) називається інтегрованою (за Ріманом) на відрізку [a, b], якщо для будь-якого розбиття {xk}, для котрого  , І для будь-якого вибору точок  існує межа послідовності інтегральних сум  і він дорівнює А:

У цьому випадку число А називається певним інтегралом функції f (x) на відрізку [a, b] і позначається .

Розглянемо геометричний сенс інтегральної суми в разі безперервної неотрицательной функції

Криволінійної трапецією назвемо фігуру, обмежену графіком функції y = f (x), прямими x = a і x = b і відрізком [a, b] осі OX (Рис.4).

Мал. 4

Зробимо розбиття {xk} Відрізка [a, b] і в кожному частковому відрізку [xk-1, xk] Виберемо точку  . Тоді кожний доданок інтегральної суми дорівнює площі прямокутника з основою довжини  і висотою  . Вся ж сума  дорівнює площі «ступінчастою фігури», що виходить об'єднанням всіх зазначених прямокутників.

З визначення випливає, що визначений інтеграл  є межею, при  послідовності площ відповідних східчастих фігур, тому він дорівнює площі криволінійної трапеції.

Можна довести, що якщо функція y = f (x) неперервна на відрізку [a, b], то вона інтегровна на [a, b], тобто межа інтегральної суми існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a, b] на часткові відрізки [xk-1, xk] І вибору наших точок .

Якщо функція f (x) інтегрована на відрізку [a, b], то її інтеграл є числом, не залежних від позначення змінної інтегрування:

Для будь-якої функції f (x), визначеної в точці а,

Для функції f (x), інтегрованої на [a, b],

Властивості визначеного інтеграла

1. Якщо функції f (x) і g (x) інтегровними на відрізку [a, b], то для будь-яких дійсних чисел  справедливо рівність:

2. Якщо функція f (x) інтегрована на відрізках [a, c] і [c, b], то вона інтегровна і на відрізку [a, b], причому

3. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a, b] і F (x) - якась первісна для f (x) на цьому відрізку, то справедлива формула Ньютона-Лейбніца:

 (1)

символ  називається знаком подвійної підстановки. З його допомогою формула (1) записується так:

Приклад 1. Обчислити наступні певні інтеграли по формулі (1):

Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [a, b], а функція  визначена і неперервна разом зі своєю похідною  на відрізку  , причому  для будь-якого и  Тоді виконується співвідношення:

 (2)

Формула (2) називається формулою заміни змінної в певному інтегралі.

Приклад 2. Обчислити визначений інтеграл .

Зробимо заміну змінної

і перерахуємо межі інтегрування: при x = 1 t = 1; при x = 9 t = 3.

Зауважимо, що при обчисленні визначеного інтеграла за формулою (2) ми не повертаємося до старої змінної.

Якщо функції U (x) і V (x) мають похідні на відрізку [a, b], то справедлива наступна формула інтегрування частинами:

 (3)

Приклад 3. обчислити інтеграл .

Застосуємо формулу інтегрування частинами, позначивши:

.

тоді:

 



Попередня   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26   27   28   Наступна

Рішення. | Рішення. | Рішення. | ТЕМА 4. ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ | ТЕМА 5. НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ | Властивості невизначеного інтеграла | безпосереднє інтегрування | Інтегрування шляхом підведення під знак диференціала | Заміна зміною в невизначеному інтегралі | Інтегрування по частинах в невизначеному інтегралі |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати