загрузка...
загрузка...
На головну

геодезичних вимірювань

  1. Ваги результатів вимірювань
  2. Види геодезичних вимірювань
  3. види вимірювань
  4. Види засобів вимірювань
  5. Візуальні ергономічні параметри ВДТ і межі їх вимірювань
  6. виконання вимірювань

Щоб встановити критерій для оцінки точності даного ряду вимірів, необхідно знайти спосіб математичної обробки випадкових похибок цих вимірів, який не залежав би від знаків окремих похибок даного ряду і на якому наявність порівняно великих окремих похибок було б рельєфно відображено.

Середня похибка ?. Здавалося б, що більш природно оцінку точності виконувати по середній помилці, що обчислюється як середнє арифметичне з абсолютних значень похибок, тобто

 . (17)

Однак аналіз цієї формули показує, що середня похибка практично не реагує на наявність в ряду вимірів великих похибок. Наприклад, маємо два ряди випадкових похибок вимірювань:

1 ряд: 3, 2, 4, 2, 1, 0, 4, 3, 2, 3

2 ряд: 0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1

Середні похибки цих рядів однакові

81 = 82 = 24/10 = 2,4,

але абсолютно очевидно, що вимірювання другого ряду мають меншу точність, ніж першого.

Таким чином, середня похибка не може служити надійним критерієм оцінки точності геодезичних вимірювань, особливо при їх обмеженому числі. Тому іноді вважають, що ймовірна похибка краще характеризує даний ряд вимірювань.

Ймовірна похибка р Ймовірною похибкою називається таке значення випадкової похибки в даному ряду вимірювань, по відношенню до якого однаково можливі похибки як більше цього значення за абсолютною величиною, так і менше. Якщо випадкові похибки даного ряду вимірів розташувати в порядку зростання їх абсолютної величини, то ймовірна похибка буде знаходитися в середині цього ряду. При наявності досить великого ряду вимірювань таким способом можна приблизно визначити значення ймовірної похибки. Більш точно її значення визначається через середню квадратичну помилку. У теорії ймовірності доведено, що ймовірна похибка пов'язана із середньою квадратичною похибкою співвідношенням

r = 2m / 3 »0,67 . m. (18)

У той же час середня похибка пов'язана із середньою квадратичною похибкою співвідношенням

q = 4m / 5 »0,80 . m. (19)

Середня квадратична похибка m.Під середньоквадратичної похибкою розуміють таку помилку, квадрат якої дорівнює середньому арифметичному від суми квадратів справжніх випадкових похибок

або m =  . (20)

Середня квадратична похибка більш надійно характеризує точність вимірювань і більш рельєфно відображає наявність порівняно великих похибок в даному ряду вимірювань. Дійсно, якщо оцінити вимірювання для двох вищенаведених рядів випадкових похибок, то отримаємо такі результати

и ,

тобто другий ряд вимірювань дійсно менш точний, ніж перший.

Надійність середньої похибки характеризується середньою квадратичною похибкою самої середньої похибки, отриманої з експерименту, яка визначається за формулою

 (21)

при n = 8 mm = 0,25 m.

Звідси видно, що для досить надійної оцінки точності геодезичних вимірювань можна обмежуватися вже цим числом вимірювань n ?  8.

Запропонована Гауссом формула (20) для оцінки точності геодезичних вимірювань передбачає використання випадкових дійсних похибок. Однак на практиці доводиться мати справу і з вероятнейшими похибками. У зв'язку з цим виникає питання про можливість використання принципу середньої похибки для оцінки точності вимірювань при наявності ймовірності випадкових похибок. Для цього необхідно проаналізувати взаємозв'язок ймовірність і справжніх похибок (14).

Нехай маємо ряд вимірювань і відповідно ряд рівностей

D1 = 1 + e

D2 = 2 + e

D3 = 3 + e

 
 


Dn = n + e

Звівши в квадрат ліву і праву частини цих рівностей і склавши їх почленно, отримаємо

[D2] = [ 2] + 2 . e [  ] + N. e2.

З огляду на властивість суми Ймовірна похибка (16), будемо мати

[D2] = [ 2] + N. e2.  (22)

Склавши почленно ліву і праву частини вихідних рівності і звівши їх в квадрат, отримаємо

[D] 2 = [ ] 2 + 2n . e [  ] + N2 . e2.

З огляду на властивість суми Ймовірна похибка (16) і п'яте властивість для середнього арифметичного з творів парних випадкових похибок (6), матимемо

[D] 2 = [D2] = N2 . e2. (23)

Звідси

 . (24)

Підставивши знайдене значення в рівність (22), отримаємо

 (25)

або з урахуванням (20)

m =  (26)

Цей вислів середньої похибки через випадкові ймовірність похибки вперше було запропоновано Бесселя.

Гранична похибка Dp. Як показав аналіз формули (4) і кривої Гаусса (рис. 2), випадкова похибка може бути більше середньої похибки в 32 випадках з 100, більше подвоєною середньоквадратичної тільки в 5 випадках з 100 і більше потроєною всього лише в 3 випадках з 1000 . Отже, майже неймовірно, щоб випадкова похибка вимірювання перевищила потрійну величину середньоквадратичної похибки. Тому цю величину і вважають граничної, тобто

Dперед = 3 . m. (27)

На практиці, враховуючи обмежену кількість вимірювань, як гранична приймають подвоєну середню квадратичну похибку

Dперед = 2 . m. (28)

Абсолютні і відносні похибки 1 / N. Розглянуті вище похибки: справжні, середні, середні квадратичні, ймовірні і граничні називаються абсолютними похибками.

В принципі для оцінки точності вимірювань можна користуватися будь-який з цих похибок, проте в різних країнах перевага віддається будь-якої однієї. Наприклад, в США - імовірною, а в Росії - середньої похибки.

Для характеристики точності вимірювань будь-якої величини L до неї прийнято приписувати праворуч її абсолютну помилку зі знаком ±, тобто пишуть

L ± q або L ± m, або L ± Dперед, або L ± r. (29)

У всіх цих випадках приписка абсолютної похибки має умовне значення як критерій для оцінки точності вимірюваної величини.

Сама по собі величина абсолютної похибки часто слабо характеризує точність вимірювань. Дійсно, про що говорить, наприклад, той факт, що довжина деякої лінії місцевості виміряна з абсолютною середньоквадратичної похибкою m =  5 см? Добре чи погано в даному випадку вироблено вимір? На це можна відповісти лише при наявності самого значення виміряної величини D. Якщо, наприклад, з вказаною похибкою була виміряна одна з ліній теодолітного ходу довжиною в 200 м, то можна сказати, що вимір було зроблено з досить високою точністю, так як значення абсолютної похибки становить 1/4000 частку виміряної величини. Якщо ж з тієї ж похибкою було виміряно, наприклад, діаметр труби розміром в 20 см, то, очевидно, такий вимір слід визнати грубим, так як значення абсолютної похибки становить ? частку вимірюваної величини.

Ось ця частка абсолютної похибки від вимірювань величини називається відносною похибкою, так як виходить ставленням абсолютної похибки до всієї вимірюваній величині. Відносна похибка виражається простий дробом, чисельник якого дорівнює одиниці, а знаменник деякого числа, отриманого в результаті поділу вимірюваної величини на абсолютну похибку

 . (30)

Говорячи про відносну похибки, необхідно уточнювати, яка абсолютна похибка співвідноситься з вимірюваноївеличиною. Залежно від цього відносну помилку називають, наприклад, середньої відносної похибкою (q / L), середньоквадратичне відносною похибкою (m / L).

Відносна похибка є важливим критерієм оцінки точності вимірювань і побудов і служить мірою для попереднього розрахунку її. Наприклад, коли встановлюється точність лінійних вимірювань при теодолитной зйомці з відносною похибкою 1/2000, то це означає, що при вимірюванні 100-метрових ліній абсолютна середня квадратична похибка не повинна бути більше 5 см, при вимірюванні 200-метрових ліній абсолютна похибка не повинна перевищувати 10 см. В геодезичній практиці майже всі вимірювання оцінюються відносною похибкою, крім кутових вимірювань. Справа в тому, що точність вимірювання кута не залежить від його величини. У той же час часто доводиться мати справу з величинами, отриманими в результаті різних спільних вимірів, наприклад, кутових і лінійних. В цьому випадку дати порівняльну оцінку впливу цих вимірів на точність отриманого результату можна лише шляхом розрахунку. Наприклад, при визначенні положення точки В відносно А відстань АВ 3000 м було виміряно з відносною похибкою 1/2000, а напрямок АВ з абсолютною похибкою 0,5/ (Рис. 3).

-
-
-
-
 А В В ?

В//

Мал. 3. Схема поздовжнього і поперечного зміщення точки В

 Очевидно, що під впливом похибки вимірювання довжини точка В зміститься в поздовжньому напрямку на величину 1,5 м - (ВВ/ = 3000/2000), а під впливом похибки вимірювання напрямку отримає поперечний зсув на величину 0,4 м -

/В//= 3000Х0,5// 3438/), Тобто в 3,5 рази менше.

Якби була відома в даному випадку відносна похибка вимірювання кута, то для порівняльного аналізу впливу цих вимірів розрахунків робити не довелося б.

У геодезії за відносну похибку вимірювання кута (напрямку) приймають абстрактне число, виражене простий дробом і отримане при перекладі абсолютної кутовий похибки в радіани

 . (31)

В даному прикладі відносна похибка вимірювання напрямку буде дорівнює

.

Звідси видно, що похибки лінійних вимірювань (1/2000) дуже впливають на точність кінцевого результату, ніж похибки кутових вимірів (1/6876), в ті ж 3,5 рази.

Питання для самоперевірки

1. Що розуміють під процесом вимірювань в геодезії?

2. Які вимірювання зустрічаються в геодезичній практиці?

3. Що таке равноточние і неравноточних вимірювання?

4. Що розуміють під вагою вимірювань?

5. Джерела появи похибок в процесі вимірювань.

6. Які похибки найчастіше зустрічаються в геодезичній практиці?

7. Які властивості грубих і систематичних похибок і способи їх виключення з результатів вимірювань?

8. Які завдання вирішує теорія похибок?

9. Що розуміють під кривою похибок, і які висновки з цього випливають?

10. Які властивості випадкових похибок?

11. Спосіб визначення найбільш достовірного результату з ряду вимірювань однієї і тієї ж величини і що розуміють під арифметичної серединою?

12. Що таке Ймовірна похибка і які її властивості?

13. Які критерії оцінки точності результатів вимірювань?

14. Що таке середня похибка?

15. Що розуміють під ймовірною похибкою?

16. Що таке середня квадратична похибка і в чому відмінність між формулами Гаусса і Бесселя?

17. Який зв'язок між середньою, імовірною і середньоквадратичної похибками?

18. Що таке гранична похибка?

19. Що розуміють під абсолютної і відносної похибками?

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОХИБОК | ГЕОДЕЗИЧНИХ ИЗМЕРЕНИЙ У БУДІВНИЦТВІ | УДК 528.48 | Види геодезичних вимірювань | І їх класифікація | Властивості випадкових похибок | Середня квадратична похибка | Середня квадратична похибка | Середня квадратична похибка | Середня квадратична похибка |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати