Головна

Ознака Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність ряду

  1. III.2. Умовна структура управління
  2. IV. По регіонах (географічний ознака).
  3. IV. Ознаки клінічної та біологічної смерті.
  4. Абсолютна - Відносна -
  5. абсолютна адресація
  6. Абсолютна І ВІДНОСНА БЕДНОСТЬ
  7. Абсолютна і відносна істина.

Теорема (ознака Лейбніца). Знакозмінні ряд сходиться, якщо:

1) послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно убуває, тобто .

2) загальний член ряду прямує до нуля: . При цьому сума S ряду задовольняє нерівностям

Нехай дано знакозмінний ряд  , де  - Довільні числа (дійсні або комплексні). якщо ряд  , Складений з абсолютних величин його членів, сходиться, то даний ряд  також сходиться. В цьому випадку знакозмінний ряд  називається абсолютно збіжним. Отже, якщо ж знакозмінний ряд  сходиться, а ряд  розходиться, то даний ряд  називається умовно збіжним.

Приклад 1.Дослідити на збіжність ряд Рішення. 1. Досліджуємо на збіжність ряд  з абсолютних величин членів даного ряду: =  . Порівняємо цей ряд з рядом  . Так як <  , то >  для всіх n. ряд  розходиться, так як розходиться ряд  (Як ряд Діріхле  при p =  <1). Значить, по 1-му ознакою порівняння розходиться і ряд .

Отже, вихідний ряд не є абсолютно збіжним.

2. З'ясуємо, чи сходиться даний Знакозмінні ряд, застосовуючи ознака Лейбніца.

· Перевіримо, чи виконується нерівність >  для абсолютних

величин членів даного ряду:

= > .

Дане нерівність еквівалентно нерівності <  , Яке вірно для будь-якого n = 1,2 ... Значить  для все номерів n = 1,2 ...

· Знайдемо межа загального члена ряду: =  = 0.

Таким чином, для даного Знакозмінні ряду виконані обидві умови, що містяться в ознаці Лейбніца, звідки випливає, що вихідний ряд сходиться, однак він не є абсолютно збіжним, а тому цей ряд сходиться умовно. відповідь: ряд  сходиться умовно.

завдання 6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди:

 1)  6)
 2)  7)
 3)  8)
 4)  9)
 5)  10)


Попередня   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   Наступна

Знакозмінні ряди. ознака Лейбніца | Властивості абсолютно і умовно збіжних рядів | Лекція 4. Функціональні ряди. Статечні ряди. Формула Тейлора | Властивості степеневих рядів | Формула Тейлора | Лекція 5. Ряди Тейлора і Маклорена | Числові ряди. Ряди з додатними членами | Необхідна ознака збіжності ряду | Ознаки порівняння рядів з додатними членами | ряд Діріхле |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати