На головну

Ознака Даламбера збіжності рядів з додатними членами

  1. II. Типи відносин між членами синтагми
  2. IV. По регіонах (географічний ознака).
  3. IV. Ознаки клінічної та біологічної смерті.
  4. Аналіз варіаційних рядів
  5. Аналіз часових рядів при наявності періодичних коливань: адитивна і мультиплікативна моделі.
  6. Аналіз часових рядів.
  7. АНАЛІЗ ТИМЧАСОВИХ РЯДІВ.

Теорема 3 (ознака Даламбера). Нехай дано ряд з додатними членами  , І існує кінцевий межа  , Тоді:
 1) ряд  сходиться, якщо ,
 2) ряд  розходиться, якщо ,
 3) якщо  , То для з'ясування збіжність ряду ознака Даламбера не застосовують.

Доведення. 1) Нехай межа  існує і  . Розглянемо число q таке, що  . З визначення меж слід, що  існує  N, починаючи з якого
 виконується нерівність ,  . Таким чином,  , Тобто  . беремо n = N, N+1, N+2, ..., Тоді , ,  , ..., .

Запишемо вихідний ряд  у вигляді:  . Розглянемо новий ряд  . Цей ряд є ряд геометричної прогресії з и  , Який сходиться, а значить, сходиться ряд  , так як  на підставі теореми 1. Ряд  отриманий з вихідного  відкиданням кінцевого числа членів  , Тоді ряд  сходиться (властивість 1, лекція 1, розд. 1.3). Таким чином, вихідний ряд  сходиться, якщо  . Перша частина теореми доведена.

2) Нехай  . Розглянемо число q таке, що .  , З визначення меж слід: ,  Таким чином,  і при  загальний член ряду  не прагне до 0, тобто ряд  розходиться, так як не виконується необхідна умова збіжності ряду (теорема 1, лекція 1, розд. 1.3). Друга частина теореми доведена.

3) Якщо ,  дорівнює одиниці або не існує, в цьому

випадку для з'ясування збіжність ряду ознака Даламбера не застосовують.

приклад 6. Дослідити на збіжність ряд .

Рішення. позначимо ,  ; знайдемо  . складемо межа  , Тобто за ознакою Даламбера ряд сходиться.

відповідь: ряд  сходиться.

приклад 7. Дослідити на збіжність ряд .

Рішення. позначимо  ; знайдемо  . складемо межа

,

тобто за ознакою Даламбера ряд розходиться.

відповідь: ряд  розходиться.

2.4. Радикальна ознака Коші збіжності рядів
 з позитивними членами

Теорема 4 (радикальний ознака Коші). Нехай дано ряд з додатними членами  і нехай існує кінцевий межа  тоді:
 1) якщо  , Ряд сходиться,
 2) якщо  , Ряд розходиться,
 3) якщо  , То для з'ясування збіжність ряду радикальний ознака Коші не застосовують.

Доведення. 1) Нехай існує  ; так як  , то  . Розглянемо число q таке, що  . З визначення меж слід, що  існує  N, починаючи з якого  виконується нерівність , ,  . Розпишемо вихідний ряд

 . (1)
 Складемо новий ряд

 . (2)

Ряд (2) являє собою ряд геометричної прогресії зі знаменником :  , Тобто цей ряд сходиться, а значить, ряд (1) сходиться по I ознакою порівняння рядів (теорема 1 даної лекції).

2) Нехай існує  . Починаючи з деякого ,  , Тобто  , Тоді вихідний ряд розходиться по необхідному ознакою збіжності (теорема 1, лекція 1, розд. 1.3).
 3) Якщо  (Або не існує), то для з'ясування збіжність ряду радикальний ознака Коші не застосовують. Теорема доведена.

приклад 8. Дослідити на збіжність ряд

Рішення. позначимо  . Складемо межа:

 , Тобто по радикальному ознакою Коші ряд сходиться.

відповідь: ряд  сходиться.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Російський хіміко-технологічний університет | Їм. Д. І. Менделєєва | Деякі відомості про послідовності | Знакопостоянного ряди, ряди з позитивними членами | Ряди Діріхле і їх збіжність, гармонійний ряд | Властивості абсолютно і умовно збіжних рядів | Лекція 4. Функціональні ряди. Статечні ряди. Формула Тейлора | Властивості степеневих рядів | Формула Тейлора | Лекція 5. Ряди Тейлора і Маклорена |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати