Головна

Ряди Діріхле і їх збіжність, гармонійний ряд

  1. ряд Діріхле
  2. Середній арифметичний і гармонійний індекси, тотожні агрегатному

визначення 1. Числовий ряд виду  називається поруч Дирихле з показником р,  R. Зауважимо, що при  отримуємо ряд  , який називається гармонійним.

приклад 1. Дослідити ряд Діріхле  на збіжність в залежності від р.

Рішення. 1) У разі, якщо  , Члени ряду  утворюють неубутних послідовність, а сам ряд розходиться по необхідному ознакою збіжності (  ).

2) У разі  для дослідження збіжності ряду використовуємо інтегральний ознака Коші. введемо функцію  , Яка задовольняє всім умовам теореми Коші (теорема 3, лекція 1, розд. 1.5): при  вона безупинна, позитивна і монотонно убуває,  . Обчислимо невласний інтеграл  в двох випадках а)  , Б)  , Тобто коли :

-Якщо ,  , то  при  , тоді  , Отже, невласний інтеграл розходиться і розходиться вихідний ряд.

-Якщо ,  , то  при  , тоді  , Отже, невласний інтеграл сходиться і сходиться вихідний ряд.

3) У випадку  маємо гармонійний ряд  , для котрого
 також застосуємо інтегральний ознака Коші, тобто розглянемо інтеграл  , Отже, невласний інтеграл розходиться, а значить, гармонійний ряд розходиться.

висновок: Ряд Діріхле  сходиться, якщо  , І розходиться, якщо .



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Російський хіміко-технологічний університет | Їм. Д. І. Менделєєва | Деякі відомості про послідовності | Ознака Даламбера збіжності рядів з додатними членами | Знакозмінні ряди. ознака Лейбніца | Властивості абсолютно і умовно збіжних рядів | Лекція 4. Функціональні ряди. Статечні ряди. Формула Тейлора | Властивості степеневих рядів | Формула Тейлора | Лекція 5. Ряди Тейлора і Маклорена |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати