Головна |
§1. Декартова система координат.
Визначення 1. Три взаємно перпендикулярні числові осі, які мають загальне початок відліку і однакові масштаби, називаються декартовой системою координат даного простору.
Координатні осі зазвичай позначають літерами x, y и z або символами OX, OY и OZ . Будь-яка
крапка М простору знаходиться у взаємно однозначній відповідності з множиною впорядкованих трійок дійсних чисел - координатами своїх ортогональних проекцій
на осях х, у и z, Які називаються координатами самої точки М: М(Мх,Му,Мz).
В якості базису векторного простору вибираються орт i, j и k, Сонаправленнимі координатним осях x, y и z відповідно (рис.12). Розглянемо вектор .
Вектор з початком в точці О і кінцем в точці М називається радіус вектор точки М.
Нехай його координати в даному базисі рівні rx,ry и rz , Тобто
z З визначення суми векторів (§2) відразу випливає, що
вектор . У свою чергу, кожне
Mz з доданків правої частини дорівнює проекції вектора r на
М координатну вісь (§3), помножену на відповідний
kr базисний орт: и
О j My y . В силу єдиності розкладання
i вектора по базису (§4, Т1) маємо наступний результат:
Мх
x рис.1
У декартовій системі координат координати вектора в ортонормированном базисі рівні
його проекція на координатні осі.
§2.Найпростіші задачі аналітичної геометрії.
У цьому параграфі будуть розглянуті три завдання: обчислення координат вектора за координатами точок А и В, Обчислення довжини відрізка і поділ відрізка в даному відношенні.
1. Обчислення координат вектора .
В нехай - Довільний вектор простору (рис.2). точки А '
М и В ' з координатами Ах и Вх - Проекції точок А и В на вісь ОХ.
А Координати вектора дорівнюють його проекція на координатні осі (§1).
Отже, його перша координата дорівнює Вх ? Ах (Гл.I, §3, св.3).
А 'М' В 'ОХ Аналогічний результат виходить для інших координатних
Рис.2 осей. Таким чином: .
2. Обчислення довжини відрізка.
Так як довжина відрізка АВ (|AB|) Дорівнює , То |AB| =
(Гл.1, §7).
3. Розподіл відрізка в даному відношенні.
Розглянемо т. (Рис.2). Потрібно визначити число , де АМ и МВ - Величини спрямованих відрізків , Зване ставленням, в якому т. М ділить
спрямований відрізок . З курсу елементарної геометрії і отриманих результатів маємо: . Звідси легко отримуємо координати точки М:
.
зауваження.
1. Найбільш важливим окремим випадком є поділ відрізка навпіл:
2. Отриманий результат зберігається для будь-якого розташування точок, що лежать
на одній прямій. У разі, коли т. величина ? буде негативною.
§2. Аналітична геометрія на площині.
В цьому і кількох наступних параграфах будуть розглянуті основні завдання аналітичної геометрії на площині.
Нехай дана деяка фіксована координатна площину, Тобто площину, на якій
задана декартова система координат XOY і ортонормованій базис {i, j}, Орт якого сонаправлени координатним осях х и у відповідно.
Будь-яка точка площини визначається двома координатами - координатами своїх ортогональних проекцій на ці осі: М(х, у).
Будь-вектор площини так само визначається двома координатами - коефіцієнтами розкладання по базису або, що те ж саме, своїми проекціями на координатні осі: а = (ах , ау).
Лінія на площині визначається як геометричне місце точок площині (ГМТ), що задовольняють деякому геометричному або аналітичного умові. Геометричне умова необхідно перевести в аналітичне (геометрія - аналітична!), А у аналітичного
- З'ясувати геометричний сенс (аналітична геометрія). Аналітичним завданням лінії є рівняння з двома змінними: F(x, y) = 0, тобто лінія на площині визначається як
геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють даному рівнянню.
Іноді лінія задається в параметричної формі:
Зауваження. В математичному аналізі рівняння F(x, y) = 0 називають неявним завданням функції
(окремий випадок y = f (x) Називається явним завданням), тобто використовуються поняття функції і аргументу. В аналітичній геометрії, взагалі кажучи, змінні х и у вважають рівноправними.
§3. Пряма на площині.
визначимо пряму l на площині таким чином:
Нехай задані довільна фіксована т. М0(х0,у0) і довільний фіксований
ненульовий вектор , Перпендикулярний цій прямій, який називається
нормальним вектором прямої або просто нормаллю.
Прямої, що проходить через т. М0 , З даними нормальним вектором називається геометричне місце кінців векторів на площині, що мають початок в т. М0 і ортогональних вектору (Рис.3).
Використовуючи дане визначення, легко написати аналітичне завдання або рівняння цієї прямої.
у Нехай т. М(х,у) - Довільна точка прямої.
З умови відразу слід:
М0
М х Отже, - Рівняння прямої, що проходить
Рис.3 через точку (х0,у0) І перпендикулярній вектору
Якщо позначити вираз - Ах0 ? Ву0 через С , То отримаємо
загальне рівняння прямої на площині:
§4.Спеціальні види рівняння прямої.
I. Рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Добре відоме рівняння y = k x + b, де k = tg? - Тангенс кута нахилу прямої до осі ОХ ,
а b - величина відрізка від початку координат до точки перетину прямої з віссю OY .
II. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.
Так як пряма повністю визначається двома точками, природно написати відповідне рівняння. Нехай дано дві різні точки, що належать прямій l:
. В цьому випадку . Звідси:
- Рівняння прямої через дві точки.
III. Канонічне і параметричні рівняння прямої.
Будь-вектор, колінеарний прямій l називається напрямних вектором прямий.
(Зокрема, вектор (Пункт II) - направляючий) Якщо дана точка на
прямий і спрямовує вектор , То останнє рівняння можна переписати у вигляді:
? канонічне рівняння прямої. Якщо отриману пропорцію прирівняти
до параметру t , То отримаємо параметричні рівняння прямої: .
IV. Рівняння прямої у відрізках.
Нехай відомі точки перетину прямої з осями координат: .
Звідси: рівняння прямої в відрізках.
§5.Основні завдання, пов'язані з прямою.
I. Кут між прямими.
Розглянемо дві прямі l1 и l2 . Якщо ці прямі задані своїми загальними рівняннями, то
косинус кута між ними може бути знайдений як косинус кута між їх нормалями або напрямними векторами за допомогою скалярного твори: .
Зауваження. Спрямовує вектор з нормального (і навпаки) легко отримати наступним чином:
У разі завдання прямих рівняннями з кутовим коефіцієнтом, маємо співвідношення:
II. Умови паралельності і ортогональності двох прямих.
III. Відстань від точки до прямої.
Обчислимо відстань від довільної точки площини M*(x*, y*) До прямої l: Ax + By + C = 0.
нехай М(х,у) - Довільна точка прямої, - Нормаль (рис.4).
Відстань від т.M* до прямої, очевидно, так само модулю проекції
-М* вектора на вектор нормалі:
М
Оскільки крапка , то Ах + Ву = ? С і остаточно отримуємо:
рис.4
зауваження. знак вираження Ах*+ Ву*+ З змінюється при переході точки через пряму.
§6. Алгебраїчні лінії на площині.
Лінії, що описуються алгебраїчним рівнянням n -го порядку від двох змінних, називають лініями або кривими n -го порядку на площині.
Лінії 1 - го порядку описуються рівнянням Ах + Ву + С = 0 ( ) Представляють собою прямі.
Рівняння 2 - го порядку: , ( ) називають
кривими 2 - го порядку і являють собою ціле сімейство плоских кривих.
§7.окружність.
Визначення. окружність - Геометричне місце точекплоскості, рівновіддалених від
заданої фіксованої точки площини, яку називають центром кола. відстань від
точок кола до центру - радіус кола.
Якщо центр кола знаходиться в т. М0(х0,у0), А радіус дорівнює r, То рівняння кола може бути написано в наступному вигляді:
§8.еліпс.
Визначення.еліпсом називається геометричне місце точекплоскості, сума відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок площині, званих фокусами еліпса, є величина постійна.
Для виведення рівняння еліпса виберемо фокуси в точках F1(-c, 0) і F2(c, 0) (c > 0), а суму відстаней позначимо через 2а (2a>2 c). нехай М(х,у) - Довільна точка еліпса. тоді:
y
b М
?a F1 F2 a x позначивши a2 ? c2 = b2 , остаточно
?b отримаємо:
рис.5
числа a и b називаються півосями еліпса (точки перетину еліпса з осями координат мають своїми координатами числа а и b (Рис.5)).
Відношення відстані між фокусами еліпса до довжини великий осі називається ексцентриситетом еліпса: Ексцентриситет характеризує форму
еліпса. при ? = 0 еліпс перетворюється в коло, при ? = 1 - вироджується у відрізок.
Написане вище рівняння називається канонічним рівнянням еліпса. (Взагалі, в геометрії словами канонічне рівняння, зазвичай, називають рівняння, що містить в явному вигляді всі основні геометричні характеристики об'єкта. Див. Наприклад, канонічне рівняння прямої (§4))
Це рівняння є окремим випадком рівняння 2 - го порядку (§6). Неважко бачити,
що будь-яке рівняння являє собою еліпс за умови
AC> 0. (Більш загальні умови будуть виведені пізніше)
приклад. - еліпс
з центром в т. (-1,2) і півосями 2 і 4. F1(-1, ) і F2(-1, ).
зауваження. 1) Фокуси еліпса завжди розташовані на великих півосях.
2) Якщо права частина = 0, то вироджених еліпс (точка), якщо = -1 - уявний еліпс.
§9.гіпербола.
Визначення.гіперболою називається геометричне місце точекплоскості, різниця відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок площині, званих фокусами гіперболи, є величина постійна і не рівна нулю.
Знову виберемо фокуси в точках F1(-c, 0) і F2(c, 0) (c > 0), а модуль різниці відстаней позначимо через 2а (2a < 2 c). Для довільної точки гіперболи М(х,у) Маємо:
Після проведення елементарних перетворень, аналогічних попереднім, одержимо
канонічне рівняння гіперболи:
y З рівняння відразу випливає, що
b при гіпербола має асимптоти .
а F2 x Ексцентриситет гіперболи визначається так само, як і
у еліпса, і дорівнює
рис.6
зауваження. 1) При дослідженні рівняння 2 - го порядку можуть бути отримані рівняння
наступного виду: Центр таких гіпербол знаходиться в точці (х0,у0), А
-1 В правій частині означає, що гіпербола повернута навколо початку координат на 900 .
2) Рівняння описує дві пересічні прямі.
3) «Шкільне» рівняння гіперболи являє собою окремий випадок, коли вісь
гіперболи повернута на 450, А асимптотами є координатні осі.
приклад. Визначити вид і характеристики кривої:
§10.парабола.
Визначення.параболою називається геометричне місце точекплоскості, відстань від кожної з яких до фіксованої точки площини, яку називають фокусом параболи, дорівнює відстані до фіксованої прямої, званої директоркою параболи.
у Нехай фокус має координати (p/ 2,0): F(p /2,0), а директриса
записується рівнянням х = -р /2. Відстань між фокусом
-M(x,y) І директоркою одно р - параметру параболи (рис.7).
Точки параболи задовольняють рівняння:
-р /2 F х
Після простих перетворень отримаємо канонічне рівняння
параболи: у2 = 2рх.
рис.7
§11.Криві другого порядку - висновок.
У попередніх параграфах були розглянуті три виду кривих другого порядку: еліпси,
гіперболи і параболи, а також їх приватні та вироджені випадки. Два перших виду називають
центральними кривими. Параболи - не центральною. Можна довести (це буде зроблено
пізніше), що цими трьома видами вичерпуються Усе криві другого порядку. З прикладу §8 видно, що складові 1 - го ступеня в рівнянні кривої (§6) впливають тільки на паралельний перенос кривих. Надалі буде доведено, що доданок 2ВГУ визначає поворот
кривої навколо початку координат.
§12. Аналітична геометрія в просторі.
Поверхні в просторі задаються або рівнянням з трьома змінними:
або в параметричної формі:
Лінії в просторі задаються перетином двох поверхонь, або параметрично:
тобто
При вирішенні завдань в просторі особливо важливо знати геометричний сенс параметрів, що входять в рівняння.
§13.Площина в просторі.
Визначення. Площиною називається геометричне місце кінців векторів, що мають спільний початок і ортогональних даному ненульових векторів, званому нормальним вектором площини.
Для виведення рівняння площини Р зафіксуємо т. і нормальний вектор
(Рис.8) .Тоді . Звідси отримуємо:
- Рівняння площини, що проходить через
т. і ортогональної вектору .
Якщо розкрити дужки і позначити , То отримаємо загальне рівняння площини:
зауваження. І в загальному рівняння площині коефіцієнти А, В и С є координатами
вектора нормалі.
§14.Спеціальні випадки рівняння площини.
I. Рівняння площини, що проходить через три точки.
Нехай тт. Необхідною і достатньою умовою комплекту. М тій же площині є компланарність векторів У свою чергу, умова компланарності (гл.I, §11, св.2) призводить до наступного рівняння:
II. Рівняння площини у відрізках.
Візьмемо в якості попередніх точок точки перетину з осями координат:
z
c Рівняння площини набуде вигляду:
- М0
b y
a
х рис.8
§15. Основні завдання, пов'язані з площиною.
I. Умови паралельності, перпендикулярності, кут між площинами.
Дано дві площини:
Всі перераховані умови випливають з геометричного сенсу коефіцієнтів (§13).
II. Відстань від точки до площини.
Обчислюється так само, як у випадку прямої на площині (§5). нехай довільна точка простору. Відстань від точки до площини дорівнює модулю проекції
Після простих перетворень отримаємо
(#) III. Зв'язка і пучок площин.
Определеніе1. Безліч площин, що проходять через єдину спільну точку М0 , називається зв'язкою площин з центром в т. М0 (Позначення - S(M0)).
Розглянемо три площини, що належать S(M0):
... (*)
Теорема. рівняння описує зв'язку площин з центром в даній точці.
{Потрібно довести 2 твердження: 1) 2) .
1) Так як всі складові Q дорівнюють нулю в т. М0 , То і Q = 0 в цій точці.
2) Так як СЛАР (*) має єдине рішення (x0,y0,z0), То з правила Крамера слід,
що визначник системи відмінний від нуля, тобто вектори лінійно незалежні і
. значення D = D* , Тому що всі площини проходять через т. М0 }
Определеніе2. . Безліч площин, що проходять через загальну пряму - вісь площин,
називаєтьсяпучком площин.
Теорема.Рівняння пучка площин має вигляд:
,за умови
§16. Пряма в просторі.
Найбільш простим завданням прямої в просторі є її завдання, як лінії перетину двох площин: .
(Природно припускати, що площині не збігаються і не паралельні)
Однак, таке завдання має великий недолік: воно не містить в явному вигляді жодної геометричній характеристики прямої. зручніше користуватися канонічним рівнянням прямої, в якому вона визначається як геометричне місце кінців векторів, що мають спільний початок і колінеарних даному ненульових векторів - направляючої вектору прямий.
Якщо позначити будь-яку фіксовану точку прямої через М0 , А спрямовує вектор , То для довільної точки прямої М отримаємо співвідношення:
? канонічне рівняння прямої в просторі. (Див. §4, п.III)
зауваження. Насправді, канонічне рівняння являє собою систему двох лінійних рівнянь з трьома змінними, тобто лінію перетину двох площин. Але, по - перше, це
особливі площині (паралельні координатним осях) і, по - друге, в запису системи геометричні характеристики прямої фігурують в явному вигляді.
приклад. Перейти до канонічного завданням:
{Покладемо z = 0. Тоді x = 2, y = - 1; . Звідси: }
Від канонічного рівняння легко перейти до параметричного завдання. Прирівняємо отриману пропорцію до нової змінної і висловимо через неї змінні x, y и z:
приклад. Знайти точку перетину прямої з площиною x - y +2z - 11 = 0.
{x = 1 + 2t, y = -3t, z = -2 + t > 7t - 14 = 0 > t = 2 > (5, -6, 0)}
Рівняння прямої через дві точки можна написати, взявши в якості направляючого вектора вектор :
(#) У деяких завданнях зручно користуватися векторних поданням прямий. У цьому випадку пряма задається радіус - вектором (§1) поточної точки прямої.
(Рис.9)
тут:
M r0 - Радіус - вектор т. М0
M0 l = (p, q, r) - Спрямовує вектор прямої.
рис.9
§17.Основні завдання.
Дві завдання, пов'язані з прямою були вже розглянуті на прикладах в попередньому параграфі.
Завдання, пов'язані з обчисленням кутів між прямими, прямою і площиною, включаючи умови ортогональності і паралельності, вирішуються з використанням напрямних векторів прямих і нормальних векторів площин. Так, наприклад, синус кута між прямою і площиною буде дорівнює модулю косинусу кута між відповідними напрямних і нормальним векторами:
Умови ортогональності і паралельності прямої і площини записуються наступним чином:
Розглянемо дві прямі з направляючими векторами і проходять через точки М1 и М2 відповідно. Прямі можуть перетинатися, бути паралельними або схрещуватися. У двох перших випадках мішаний добуток Якщо ж прямі схрещуються, то
Обидва умови є необхідними і достатніми. Так як відстань між перехресними прямими дорівнює відстані між паралельними площинами, в яких вони лежать, то воно може бути знайдено за формулою - Обсяг паралелепіпеда
поділений на площу підстави.
приклад. Як розташовані прямі и ?
Якщо вони перетинаються - знайти загальну точку. Якщо немає - відстань між ними.
{ прямі схрещуються.
}
§18.Поверхні в просторі.
Загальна постановка задач в просторі була дана в §12. Розглянемо тепер кілька спеціальних завдань.
I. Циліндричні поверхні.
Розглянемо рівняння з двома змінними в просторі : F(x,y) = 0. На площині XOY
воно описує деяку криву. У просторі кожній точці (x*,y*) Цієї кривої буде відповідати пряма , Тобто пряма, що проходить через точку (x*,y*, 0) і паралельна осі OZ. Поверхня, утворена безліччю всіх таких прямих, називається циліндром с направляючої F(x,y) = 0 в площині XOY и утворює паралельної осі OZ.
Аналогічно розглядаються циліндри, що утворюють яких паралельні іншим координатним осях: F(x, z) = 0 і F(y, z) = 0.
зауваження. Природно, існують похилі циліндри, в рівняння яких входять всі змінні в явному вигляді. Однак, повинен існувати такий поворот системи координат, після якого одна з змінних буде відсутній в запису рівняння.
приклади. 1) - Прямий круговий циліндр радіуса r і віссю OZ.
2) ? еліптичний циліндр з котра утворює, паралельної осі OY.
3) у2 = 8z ? параболічний циліндр з котра утворює, паралельної осі OХ.
§19. поверхня обертання.
У цьому параграфі будуть розглянуті поверхні, утворені обертанням плоскої кривої навколо однієї з координатних осей. Для визначеності, візьмемо криву F(y, z) = 0 в площині YOZ і вісь обертання ОZ . Зафіксуємо довільне значення z* і висловимо з рівняння F(y, z*) = 0 відповідне значення у = f(z*). При обертанні, в площині z = z* вийде окружність
x2 + y2 = f 2(z*). Рівняння самої поверхні обертання матиме вигляд x2 + y2 = f 2(z) (Рис.10).
Необхідно відзначити, що аналітичне рішення рівняння
z F(y, z*) = 0 щодо у зовсім не обов'язково, тим більше,
F(y, z) = 0 що воно може бути досить трудомістким, або неможливим.
Тому, рівняння поверхні обертання в даному випадку
записується в такий спосіб:
y
x
рис.10
Правило запису рівняння поверхні обертання плоскої кривої навколо координатної осіПоверхня обертання плоскої кривої навколо координатної осі може бути отримана заміною другою змінною величиною в рівнянні кривої на квадратний корінь з суми квадратів цієї та відсутньої змінних (в розглянутому випадку ).
приклад. Написати рівняння поверхонь, отриманих в результаті обертання кривої у2 = 6х навколо осей ОХ и OY. {
}
зауваження. Якщо в рівнянні деякої поверхні дві змінні присутні тільки
в зв'язці як сума квадратів, то ця поверхня є поверхнею обертання навколо координатної осі третьої змінної.
§20.Проекція лінії перетину двох поверхонь на координатну площину.
Однією з найважливіших завдань дослідження взаємного розташування двох поверхонь є визначення лінії їх перетину. Формально, лінія перетину записується як система двох рівнянь з трьома змінними (див. §12 і §16): . Для аналізу лінії перетину виключимо в даній системі одну з змінних, наприклад z. В результаті вийде одне рівняння з двома невідомими: f(x,y) = 0, яке можна сприймати як криву на площині XOY. Будь-якій точці цієї кривої (x*,y*), Буде відповідати деякий
значення z*, При якому точка (x*,y*, z*) Належить лінії перетину поверхонь. Отже, пряма паралельна осі OZ, Що проходить через точку лінії перетину поверхонь, на площині XOY перетинає криву f(x,y) = 0. Безліч таких прямих утворюють циліндр з направляючої f(x,y) = 0 в площині XOY і утворює паралельної осі OZ (§18). Таким чином, доведено наступне твердження:
Якщо виключити одну із змінних з рівнянь двох поверхонь, то вийде уравненіепроекціі лінії перетину цих поверхонь на координатну площину двох, що залишилися змінних.
приклад. Знайти проекцію лінії перетину поверхонь и на
площину YOZ. {Виключимо х: гіпербола. З рівняння першої поверхні (круговий циліндр) слід, що верхня гілка, }
§21. Поверхні другого порядку. Дослідження методом перетинів.
Загальний вигляд алгебраїчної поверхні другого порядку являє собою многочлен другого ступеня щодо трьох змінних:
Одним з найбільш продуктивних методів вивчення поверхонь в просторі є метод перетинів. Він полягає в дослідженні кривих, які утворюються в перетинах поверхні площинами, паралельними координатним. Для цього достатньо зафіксувати одну з змінних в рівнянні поверхні і отримати, тим самим, рівняння кривої в площині, паралельній двом іншим координатним осях. Цей метод буде використаний в наступних параграфах при дослідженні поверхонь другого порядку. При цьому будуть розглядатися тільки рівняння, безпосередньо зводяться до канонічним.
§22.еліпсоїд.
еліпсоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням , коефіцієнти А, В и С - Числа одного знака, а L має знак їм протилежний.
При цих умовах рівняння еліпсоїда може бути написано в канонічному вигляді:
де .
Для визначення форми еліпсоїда застосуємо метод перетинів. нехай z = h фіксоване.
Перетин еліпсоїда площиною z = h матиме вигляд - Еліпс з даними півосями. Звідси випливають кілька висновків:
1) ; при h = c еліпс вироджується в точку.
2) Найбільші піввісь еліпс матиме при h = 0.
3) Аналогічна картина матиме місце в перетинах
x = h або y = h. (Рис.11)
рис.11
Як і в випадку еліпса, числа a, b и c називаються півосями еліпсоїда. Якщо вони всі різні, то еліпсоїд називається тривісним. Якщо дві півосі дорівнюють один одному, то ми отримаємо еліпсоїд обертання (§19). У разі рівності всіх піввісь - маємо сферу: .
§23.Гіперболоїди і конус.
гіперболоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат визначається рівнянням , Де коефіцієнти А, В и С - Числа різних знаків, а L - Відмінно від нуля. Для визначеності будемо вважати, що А и В більше нуля, а
С - менше нуля: A> 0, B> 0, C < 0. Залежно від знака L маємо два типи гіперболоїдів.
I. L <0. Після стандартних перетворень (§22) отримаємо рівняння: .
Знову скористаємося методом перетинів.
площині z = h поверхню перетинає по еліпсах .
Зі збільшенням h (або z) Півосі еліпса збільшуються. Мінімальні піввісь будуть при
h = 0, тобто в площині ХОY.
У площинах x = h (або y = h ) Виходять гіперболи . (Рис.12)
при h < a або h > a (Для y - h < b або h > b ) Гіперболи орієнтовані протилежно.
при h = a (h = b) Перетинами є прямі. Це свідчить про наявність у однополосного гиперболоида прямолінійних утворюють.
при a = b маємо гіперболоїд обертання.
Поверхня, що описується рівнянням називається односмуговий гіперболоїд.
приклад. Довести, що т. (5,4,2) належить Гіперболоїд і знайти прямолінійні утворюючі, що проходять через цю точку. {1) 1 + 1-1 = 1, 2) l:x = pt +5,y = qt +4,z = rt +2
Підставами в рівняння: прирівняємо коефіцієнти нулю і покладемо r = 1 і друга утворює
}
II. L> 0. У цьому випадку рівняння матиме вигляд: .
при z = h маємо , Звідки відразу слід обмеження на h і, тим самим, на величину z: . У перетинах, як і в попередньому випадку будуть еліпси. при z = ± 1 еліпси вироджуються в точки (0,0, ± 1).
при x = h або y = h в перетинах знову вийдуть гіперболи, але на відміну від однополостного гиперболоида який не міняє орієнтацію в залежності від величини h (Ріс.12б).
при a = b отримаємо гіперболоїд обертання.
поверхня називається двуполостной гіперболоїдом.
II. Нехай тепер при тих же обмеженнях на А, В и З L = 0. Рівняння прийме вигляд:
перетину площинами z = h знову будуть еліпсами з збільшуються півосями при зростанні модуля z, А в перетинах x = h або y = h - Пересічні прямі (ріс.12в).
Такі поверхні називаються конічними або конусами.
§24.параболоїд.
параболоїдом називається поверхню, яка в деякій декартовій системі координат
визначається рівнянням , Де коефіцієнти А, В и K нерівні нулю.
Можливі два випадки: AB> 0 і AB 0. Для визначеності будемо вважати A> 0, K 0.
I. A > 0, B > 0, K <0. Рівняння приводиться до вигляду .
У перетинах z = h (h > 0) отримуємо еліпси , Піввісь яких ростуть із зростанням h.
У перетинах x = h и y = h - параболи и (Рис.13).
поверхня називається еліптичних параболоїдом.
z z
х
y y
x
рис.13 ріс.13б
II. A > 0, B <0, K <0. Рівняння має вигляд: ? гіперболічний параболоїд.
У перетинах z = h виходять гіперболи, орієнтація яких змінюється при зміні знака h.
У перетинах x = h и y = h - Параболи, що мають протилежний зміст гілок (ріс.13б).
Пізніше, при вивченні загальних властивостей лінійних просторів, буде доведено, що ніяких інших поверхонь другого порядку не існує. Можливі тільки деякі приватні і вироджені випадки. Будь-яке рівняння другого порядку від трьох змінних приводиться до одного з розглянутих типів.
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ | Глава I. Векторна алгебра. | I. Сума векторів. | A a ?a | Лінійні властивості проекцій. | Приклади. | Властивості скалярного твори. | Властивості векторного твори. |