Головна

Розрахунок одновимірних електростатичних полів за рівняннями Пуассона і Лапласа

  1. I. Вибір електродвигуна і кінематичний розрахунок
  2. I. Вибір електродвигуна і кінематичний розрахунок
  3. I. Розрахунок накопичувальної частини трудової пенсії.
  4. I. Розрахунок розміру плати за комунальну послугу, надану споживачеві за розрахунковий період в i-м житловому приміщенні (житловий будинок, квартира) або нежитловому приміщенні
  5. I. Розрахунок розміру плати за комунальну послугу, надану споживачеві за розрахунковий період в i-м житловому приміщенні (житловий будинок, квартира) або нежитловому приміщенні
  6. I. Розрахунок розміру страхової частини трудової пенсії.
  7. II. ЗАВДАННЯ ДЛЯ ТИПОВИХ РОЗРАХУНКІВ

Електростатичне поле в однорідному середовищі з постійною діелектричної проникністю повністю характеризується рівнянням Пуассона (1.11) або (якщо в даній області відсутні об'ємні пов'язані заряди) рівнянням Лапласа (1.12).

Найбільш просто рівняння Пуассона і Лапласа вирішуються в разі одновимірних полів, потенціали яких залежать тільки від однієї координати. При цьому диференціальні рівняння в приватних похідних переходять в звичайні диференціальні рівняння другого порядку, рішення яких за певних граничних умовах є нескладним завданням.

Так, в прямокутній системі координат рівняння Пуассона і Лапласа для одновимірного поля будуть мати такий вигляд:

 (1.22)

 (1.23)

Рішення рівняння (1.22), очевидно, може бути отримано лише тоді, коли об'ємна щільність заряду r і абсолютне значення діелектричної проникності e задані як функції координат у всьому просторі. Наприклад, якщо об'ємна щільність r змінюється уздовж осі ОХ за законом

(Де коефіцієнт а й показник ступеня n є постійними), то, в разі, коли e = const, приватне рішення рівняння Пуассона матиме такий вигляд:

 (1.24)

де С1 і С2 - Постійні інтегрування, які визначаються з граничних умов.

У разі, коли об'ємна щільність заряду r також є постійною величиною, рішення має вигляд

Приватне рішення рівняння Лапласа (1.29) можна представити таким чином:

 (1.25)

У циліндричній системі координат для одновимірного поля вид рівняння Пуассона або Лапласа і їх рішення залежать від того, функцією якої координати є шуканий потенціал U. Наприклад, якщо потенціал U залежить тільки від радіальної координати r (U = U (r)), то рівняння ( 1.11) і (1.12) матимуть вигляд

 (1.26)

 (1.27)

Рішення рівняння (1.26) визначається видом функції r. Якщо, наприклад, об'ємна щільність заряду r змінюється вздовж радіуса r за законом

то шукане рішення матиме вигляд:

 (1.28)

Для випадку, коли об'ємна щільність заряду r не залежить від координати r, рішення рівняння (1.26) можна представити таким чином:

 (1.29)

Рішення рівняння Лапласа (1.27) має вигляд:

 (1.30)

Якщо шуканий потенціал є функцією лише однієї кутової координати j, то рівняння Пуассона і Лапласа набувають такий вигляд:

 (1.31)

 (1.32)

При постійному значенні r рівняння (1.31) має приватне рішення

 . (1.33)

Рішення рівняння Лапласа (1.32) можна записати в такий спосіб:

 (1.34)

У сферичній системі координат для одновимірного поля вид рівняння Пуассона або Лапласа і їх рішення залежать також від того, функцією якої координати є шуканий потенціал U.

Так, якщо потенціал U залежить тільки від радіальної координати r, то рівняння Пуассона і Лапласа матимуть вигляд:

 (1.35)

 (1.36)

При зміні об'ємної щільності заряду r за законом

,

рішення рівняння (1.35) можна представити таким чином:

 (1.37)

Якщо r є постійною величиною, рішення матиме вигляд

 (1.38)

Рівняння Лапласа (1.36) має наступне рішення:

 (1.39)

У разі, якщо потенціал U залежить тільки від однієї координати q, рівняння Лапласа (1.12) буде мати вигляд

 (1.40)

Рішення цього рівняння можна представити в такий спосіб:

 (1.41)

Якщо потенціал U є функцією лише однієї координати j, то рівняння (1.12) буде мати вигляд

а його рішення є лінійною функцією цієї координати

Приклад 1. Плоский конденсатор з двома шарами діелектрика підключений до джерела постійної напруги U0= 100В (рис. 1.25). Відносні значення діелектричної проникності шарів er1= 3, er2= 6. Товщина шарів - d1= d2= 1мм. Один з шарів заряджений з об'ємною густиною r, яка змінюється по товщині за законом r = 10-4х Кл / м3.

Нехтуючи крайовим ефектом, знайти розподіл потенціалу та напруженості поля в шарах діелектрика.

Побудувати графіки зміни потенціалу і напруженості електричного поля уздовж осі ОХ.

Рішення. Дане завдання з розрахунку електричного поля є одновимірної. У першому шарі електричний потенціал відповідає рівняння Лапласа (1.23), а в другому - рівняння Пуассона (1.22). Рішення цих рівнянь можна представити за допомогою виразів (1.24) і (1.25), відповідно, при n = 1 і а = 1.

Для визначення постійних інтегрування використовуємо граничні умови на зовнішніх кордонах області і на кордоні розділу двох діелектриків (внутрішньому кордоні).

Будемо при цьому вважати, що права пластина має нульовий потенціал.

 
 

тут D1 і D2 - Нормальні складові вектора електричного зміщення.

З першої рівності випливає, що С2= U0.

Перепишемо три наступних граничних умови, підставляючи в них відповідні вирази для потенціалів і вектора електричного зміщення:

Вирішуючи останню систему з трьох рівнянь щодо невідомих З1, З3, І С4, Отримаємо З1= -66670, С3= -33333, С4= 66.666.

Таким чином, остаточно вираження для напруженості поля і потенціалів можна записати у вигляді:

Графіки зміни потенціалу і напруженості поля представлені на рис. 1.26

 
 

 На графіку всі значення представлені у відносних одиницях, причому за базисні значення прийняті значення потенціалу і напруженості поля на поверхні лівої пластини (Ub= 100 В, Eb= 66670 В / м).

Приклад 2. Нескінченно довгий діелектричний (er= 4) порожній циліндр заряджений і знаходиться в повітрі. Радіус внутрішньої поверхні циліндра R1= 2 мм, зовнішній - R2= 6мм (ріс.1.27). Густина заряду r є функцією відстані від осі циліндра r = 0.1r.

Знайти закони зміни потенціалу і напруженості поля в функції відстані від осі циліндра. Побудувати графіки зміни зазначених функцій уздовж радіуса.

Рішення. Поле в даному випадку є одновимірним, оскільки напруженість поля і потенціал залежать тільки від однієї радіальної координати.

При вирішенні задачі по розрахунку електричного поля в заданій області, цю область необхідно розбити на три підобласті. У першій з них (0 ? r ? R1) Поле відсутнє (Е = 0). У другій подобласти (R1? r ? R2) Електричний потенціал відповідає рівняння Пуассона (1.26), а в третій (R2? r ? ?) - рівняння Лапласа (1.27), які мають рішення (1.28) (при n = 1, a = 0.1) і (1.30).

Перепишемо ці рішення в наступному вигляді:

Тут індекси у потенціалів позначають їх приналежність до другої і третьої підобласті.

Постійні інтегрування визначимо з граничних умов, які можна поставити як з класичних граничних умов, так і з таких міркувань. Оскільки поле всередині циліндра відсутня, то при r = R1, Можна прийняти Е2= 0.

Звідси відразу визначаємо постійну З1= 7.533.

Приймемо потенціал рівним нулю на зовнішній поверхні циліндра (U2= 0 при r = R2), Тоді

 (1.42)

і, таким чином, С2= 106.335.

потенціал U3 з боку третьої подобласти на цій же поверхні (r = R2) Також буде дорівнює нулю.

Тут же на кордоні розділу двох діелектриків рівні між собою нормальні складові векторів електричного зміщення, а з урахуванням того, що в нашому випадку вектор електричного зміщення має одну складову, яка спрямована по радіусу, то це означає, що на кордоні розділу рівні між собою і самі вектори електричного зміщення.

Перепишемо останнє рівняння в наступному вигляді:

 (1.43)

Вирішуючи спільно рівняння (1.42) і (1.43), знаходимо постійні інтегрування З3= -783.427, С4= -4008.

Таким чином, вирази для напруженості електричного поля і потенціалу приймають вид

Потенціал в першій подобласти (всередині циліндра) є величиною постійною, що дорівнює значенню потенціалу з боку другої подобласти на внутрішній поверхні циліндра.

Графік зміни потенціалу і напруженості електричного поля представлений на рис. 1.28. Всі значення на графіку дані в відносних одиницях. За базисне значення напруженості поля прийнято її значення на зовнішній поверхні циліндра Eb= 130.6кВ / м.

 
 

 В якості базисного значення потенціалу прийнято абсолютне значення потенціалу на відстані 0.01м від осі циліндра Ub= 400.2В.

Це ж відстань r = 0.01м прийнято за базисне значення радіальної координати.

Приклад 3.Циліндричний нескінченно довгий конденсатор заповнений двошаровим діелектриком, відносні значення діелектричної проникності шарів якого дорівнюють відповідно er1= 2 і er2= 4. Радіус внутрішньої жили дорівнює R1= 1мм, внутрішній радіус зовнішньої обкладки - R3= 4 мм, радіус поверхні розділу шарів діелектрика - R2= 2 мм (рис. 1.29). До обкладкам конденсатора прикладено постійну напругу Uо = 100 В. Один з діелектриків заряджений (внутрішній). Густина заряду є функцією відстані r від осі конденсатора r = аr2 (А = 10).

Визначити закон зміни потенціалу і напруженості електричного поля в кожному шарі.

Побудувати графіки зміни напруженості поля і потенціалу вздовж радіуса.

Рішення. У цьому завданню поле так само є одномірним. Тому електричний потенціал в першому шарі діелектрика (R1? r ? R2) Задовольняє рівняння (1.26), а в другому шарі (R2? r ? R3) - Рівняння (1.27). Ці рівняння мають рішення (1.28) і (1.30), відповідно. Перепишемо їх (при n = 2) в наступному вигляді:

 
 

Для визначення постійних інтегрування С1, З2, З3, З4 поставимо граничні умови.

Так, якщо взяти потенціал зовнішнього електрода рівним нулю, то потенціал внутрішнього електрода буде дорівнює U0.

 ; (1.44)

 . (1.45)

На межі поділу шарів діелектриків (r = R2) Рівні між собою потенціали і вектори електричного зміщення (вектор електричного зміщення має одну складову, спрямовану вздовж радіуса).

Вирішуючи систему рівнянь, складену з останніх двох рівнянь і рівнянь (1.44) і (1.45) щодо постійних інтегрування, отримуємо З1= -94.917, С2= -555.628, С3= -48.588, С4= -268.279.

Таким чином, вирази для напруженості електричного поля і потенціалу приймають вид

Графіки зміни даних функцій уздовж радіуса представлені на рис. 1.30.

 
 

 Всі значення на графіку дані в відносних одиницях. За базисне значення напруженості поля і потенціалу прийняті їх значення на поверхні внутрішнього електрода Eb= 95.06кВ / м, Ub= 100В. За базисне значення радіальної координати прийнятий внутрішній радіус зовнішнього електрода R2.

Приклад 4. Дві довгі провідні пластини розташовані в повітрі під кутом a0= P / 4 один до одного і не стикаються (рис. 1.31). Напруга між пластинами U0= 100В.

Нехтуючи крайовим ефектом, визначити закон розподілу потенціалу і напруженості електричного поля між пластинами.

Поле між пластинами є одновимірним (всі величини залежать тільки від однієї кутової координати a циліндричної системи координат). Потенціал, в цьому випадку, задовольняє рівняння (1.32) з рішенням (1.34).

Постійні інтегрування визначаються з граничних умов

або

З даної системи рівнянь визначаємо постійні інтегрування З2= 0, С1= U0/ a0.

Таким чином, закон зміни шуканих функцій уздовж кутової координати a циліндричної системи координат можна остаточно представити таким чином:

Як видно з останніх виразів, еквіпотенціальними поверхнями є полуплоскости, що проходять через вісь OZ і ізольованими драг від одного, а лініями поля є дуги кіл з центром в початку координат.

Приклад 5. Куля з діелектрика (er = 4) заряджений і розташований в повітрі. Густина заряду є функцією відстані r від центру кулі: r = k ? r (k = 0,05p). Радіус кулі R = 2см. Розрахувати потенціал і напруженість електричного поля всередині і зовні кулі.

Дане завдання було вирішене в прикладі 3 розділу 1.14 за допомогою теореми Гаусса.

Покажемо, що цієї ж мети можна досягти і шляхом вирішення рівнянь Пуассона (1.35) і Лапласа (1.36), яким задовольняє потенціал поля всередині і зовні кулі, відповідно.

Вирази, що визначають цей потенціал всередині (1.37) і поза кулі (1.39), можна для даного випадку представити в наступному вигляді:

Постійні інтегрування визначаються з відомих граничних умов і за допомогою деяких фізичних міркувань. Так, потенціал в центрі кулі (r = 0) має кінцеве значення, тому постійну З1 повинна дорівнювати нулю (С1= 0). Далі, приймаючи потенціал рівний нулю в точці, що лежить в нескінченності (r = ?), отримуємо З4= 0.

Решта дві постійні С2 і С3 визначаємо виходячи з того, що на поверхні кулі (r = R) рівні між собою потенціали і нормальні складові вектора електричного зміщення

Перепишемо дані граничні умови в наступному вигляді:

Вирішуючи спільно останні рівняння, знаходимо постійні інтегрування. C2= 38460, С3= -709,964.

Підставляючи значення цих постійних в формули для потенціалів, отримуємо

 Звідси видно, що дані висловлювання повністю аналогічні тим, які були отримані в прикладі 3 попереднього розділу.

Приклад 6. Дві тонкі провідні поверхні у вигляді коаксіальних конусів з ізольованими вершинами розташовані в повітрі. Потенціал першої поверхні U1= 0, другий - U2= 100В (рис. 1.32), q1= P / 6, q2= 2p / 3.

Знайти закон розподілу потенціалів і напруженості електричного поля в просторі між конусами.

Дане завдання є одномірної, оскільки, в силу симетрії, рішення для потенціалу U залежить тільки від кута q. Поле в даному випадку характеризується рівнянням (1.40) і має рішення (1.41).

Виходячи із заданих граничних умов складемо рівняння для знаходження постійних інтегрування С1 і С2

 Вирішуючи дану систему, отримаємо З1= 53.583, С2= 70.567.

Таким чином, вираз для визначення потенціалу матиме вигляд

Напруженість електричного поля має одну складову

 Еквіпотенціальними поверхнями є поверхні конусів з ізольованими вершинами. При q = p / 2 один з конусів переходить в площину. Лінії поля лежать на меридіанах.

 



Попередня   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   Наступна

закон Кулона | Напруженість електричного поля | Електрична напруга. Різниця електричних потенціалів | Силові та еквіпотенціальні лінії | Вектор електричного зміщення | Теорема Гаусса. постулат Максвелла | Рівняння Пуассона і Лапласа | Граничні умови на поверхні розділу двох діелектриків | електрична ємність | Основне завдання електростатики |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати