Головна |
визначення.Точечнойназивают оцінку, яка визначається одним числом.
Всі оцінки, розглянуті вище, є точковими. При вибірці малого обсягу точкова оцінка може значно відрізнятися від оцінюваного параметра, тобто приводити до грубих помилок. З цієї причини при невеликому обсязі вибірки слід користуватися інтервальними оцінками.
визначення. Інтервальнойназивают оцінку, яка визначається двома числами - початком і кінцем інтервалу. Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність і надійність оцінок.
нехай - Це оцінка невідомого оцінюваного параметра . нехай - Це деяке позитивне число. Якщо виконується нерівність:
, То кажуть, що інтервал покриває невідомий параметр .
визначення.надійністю оцінки параметра для заданого називають ймовірність того, що інтервал покриває параметр , І позначають у вигляді
.
Іншими словами, є міра довіри обчисленої оцінці .
визначення.Довірчим інтервалом називають знайдений за даними вибірки інтервал , Який покриває невідомий параметр із заданою надійністю .
надійність задається за умовою задачі і звичайно приймається рівної 0,95, або 0,99, або 0,999.
Межі довірчого інтервалу і його довжина знаходяться за вибірковими даними, і є випадковими величинами. Величина довірчого інтервалу зменшується з ростом обсягу вибірки n і збільшується з ростом довірчої ймовірності ?. Якщо кількісна ознака генеральної сукупності X має нормальний розподіл, то довірчий інтервал для математичного очікування має вигляд:
, де - математичне очікування;
- Вибіркова середня;
- Обсяг вибірки;
- При великому обсязі вибірки;
- Значення аргументу функції Лапласа, при якому вона дорівнює , тобто , де - Задана надійність. аргумент знаходиться за таблицями значень функції Лапласа (додаток 2).
Дана формула довірчого інтервалу математичного очікування буде справедлива тільки при великому обсязі вибірки, тобто якщо . В іншому ж випадку, рівність не буде виконано і вважають невідомою величиною.
Таким чином, якщо обсяг вибірки не великий , То довірчий інтервал для генеральної середньої матиме вигляд:
,
де - Це виправлене середнє квадратичне відхилення;
- Це число, взяте з таблиці (додаток 3), і залежне від обсягу вибірки і заданої надійності , тобто .
Довірчий інтервал для оцінки середнього квадратичного відхилення обчислюється за формулою
,
де - Це виправлене середнє квадратичне відхилення;
- Це табличне значення, яке залежить від обсягу вибірки і заданої надійності , тобто (Додаток 4).
Приклад.Знайти интервальную оцінку ознаки генеральної сукупності, тобто довірчий інтервал для математичного очікування, якщо відомо, що
Рішення.
Для того щоб скористатися наведеної вище формулою, знайдемо з рівності
, отже .
Тоді, довірчий інтервал буде мати вигляд
;
; .
Таким чином, з імовірністю 95% можна стверджувати, що невідома генеральна середня може знаходиться в проміжку від 9,09 до 11,31.
Числові характеристики дискретної випадкової величини | Дисперсія випадкової величини | Знайдемо її математичне сподівання, дисперсію і середньоквадратичне відхилення. | Генеральна і вибіркова сукупності. види вибірки | Статистичний розподіл вибірки. | Графічне зображення статистичного розподілу вибірки і емпіричної функції розподілу. | Оцінки параметрів розподілу ознаки | Поняття генеральної і вибіркової середньої. формули обчислення | Критична область. Область прийняття гіпотези. критичні точки | Перевірка гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності. Критерій згоди Пірсона |