Головна

уточнення коренів

  1. Алгоритм знаходження раціональних коренів многочлена.
  2. Графічне відділення коренів
  3. На наступному етапі відбувається уточнення гіпотези і визначення змінних.
  4. Знаходження раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами.
  5. Постановка питань, визначення кола завдань, уточнення предмета дитячої психології
  6. Правопис коренів з випадають приголосними звуками.
  7. ПРАВОПИС КОРЕНІВ з низкою голосних

 Отримані методом Гаусса наближені значення коренів можна уточнити.

 Нехай для системи знайдено наближений розв'язок, що не задовольняє по «невязке». Покладемо тоді Для отримання поправки d = (d1, d2, ..., Dn)Т кореня слід розглянути нову систему

 або

де - невязка для вихідної системи.

 Таким чином, вирішуючи лінійну систему з колишньої матрицею А і новим вільним членом = (e1, e2, ..., En)Т, Отримаємо поправки (d1, d2, ..., Dn).



15.Метод прогонки:

Даний метод також є модифікацією методу Гаусса для окремого випадку розріджених систем - систем з матрицею трехдіагональной типу (крайова задача ДУ).

 Канонічна форма їх запису

aixi-1 + bixi + cixi+1 = di; i=; a1 = cn = 0, (9)

або в розгорнутому вигляді

b1x1 + c1x2 = d1;

a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2; (10)

a3x2 + b3x3 + c3x4 = d3;

. . .

an-1xn-2 + bn-1xn-1 + cn-1xn = dn-1;

anxn-1 + bnxn = dn .

При цьому, як правило, всі коефіцієнти bi ? 0.

Метод реалізується в два етапи - прямий і зворотний ходи.

прямий хід

кожне невідоме xi виражається через xi+1

xi = Ai ? xi+1+ Bi для i = 1,2, ..., n-1, (11)

за допомогою прогоночних коефіцієнтів Ai и Bi. Визначимо алгоритм їх обчислення.

З першого рівняння системи (10) знаходимо x1


З рівняння (11) при i= 1: x1= A1? x2+ B1 . отже


(12)

З другого рівняння системи (10) визначаємо x2 через x3, Підставляючи знайдене значення x1

а2( A1 x2+ B1) + b2 x2 + c2 x3 = d2 ,

звідки (12 *)

 і відповідно до (11) при i = 2: x2= A2? x3+ B2 , отже

де е2= а2? А1+ b2 .

 Орієнтуючись на співвідношення індексів при коефіцієнтах (12) і (12 *) можна отримати ці співвідношення для загального випадку

де еi = аi ? Аi-1+ bi (i= 2,3, ..., n-1) (13)

Зворотній хід. З останнього рівняння системи (10) з використанням (11) при i = n-1

(14)

Далі за допомогою (11) і прогоночних коефіцієнтів (12), (13) послідовно обчислюємо xn-1, xn-2, ..., x1.

При реалізації методу прогонки потрібно враховувати, що за умови

| bi | ? | ai | + | ci | (15)

або хоча б для одного bi має місце суворе нерівність (15), розподіл на «0» виключається і система має єдине рішення.

Зауважимо, що умова (15) є достатнім, але не необхідним. У ряді випадків для добре обумовлених систем (10) метод прогонки може бути стійким і при недотриманні умови (15).

Схема алгоритму методу прогонки може мати вигляд, представлений на рис. 2.2.



16.Метод квадратного кореня:

Даний метод використовується для вирішення лінійної системи (16)

у якій матриця А симетрична, тобто АТ = А,

aij = aji (i=j= 1, ...,n).

Рішення системи (16) здійснюється в два етапи.

прямий хід.

перетворення матриці А і представлення її у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць: А = S Т ? S (17)

 де

перемножая SТ и S, І прирівнюючи матриці А, Отримаємо такі формули для визначення sij:

 Після знаходження матриці S систему (16) замінюємо двома їй еквівалентними системами з трикутними матрицями (17)

(19)

Зворотній хід.

Записуємо системи (19) в розгорнутому вигляді:

Використовуючи (20) і (21) послідовно знаходимо

Метод квадратних коренів дає великий виграш у часі в порівнянні з розглянутими раніше прямими методами, так як, по-перше, істотно зменшує число множень і ділень (майже в два рази), по-друге, дозволяє накопичувати суму творів без запису проміжних результатів.

Машинна реалізація методу передбачає його наступне трактування. вихідна матриця А системи (16) представляється у вигляді добутку трьох матриць

A = S Т ? D ? S ,

де D - Діагональна матриця з елементами dii = ± 1; S - верхня трикутна (sik = 0, якщо i > k , причому sii > 0); ST - Транспонована нижня трикутна.

Вимога виконання умови sii > 0 необхідно для повної визначеності розкладання. Це і визначає необхідність введення діагональної матриці D.

 Блок-схема методу квадратного кореня:


17.Метод простої ітерації рішення СЛАР:

// * Нагадаємо, що гідністю ітераційних методів є їх придатність до погано обумовленим систем і систем високих порядків, їх самоісправляемость і простота реалізації на ЕОМ. Ітераційні методи для початку обчислення вимагають завдання будь-якого початкового наближення до шуканого рішення.

Слід зауважити, що умови і швидкість збіжності ітераційного процесу істотно залежать від властивостей матриці А системи і від вибору початкових наближень.

Для застосування методу ітерацій вихідну систему (1) або (2) необхідно привести до виду

і потім ітераційний процес виконується за рекурентним формулами

, k = 0, 1, 2, ... (25 *)

матриця G і вектор отримані в результаті перетворення системи (1).

Для збіжності (25 *) необхідно і достатньо, щоб | li(G) | <1, де li(G) - Всі власні значення матриці G. Збіжність буде також і в разі, якщо ||G|| <1, бо | li(G) | < "||G|| (" - будь-який).

символ || ... || означає норму матриці. * //

Технологія итерационного рішення виду (25 *) названа методом простої ітерації.

Оцінка абсолютної похибки для методу простої ітерації


нагадаємо, символ || ... || означає норму.

приклад 1. Методом простої ітерації з точністю e = 0,001 вирішити систему лінійних рівнянь


 Число кроків, які дають відповідь з точністю до e = 0,001, можна визначити з співвідношення

? 0,001


Оцінимо відповідність по формулі (26). тут ||G|| = =

= Max {0,56; 0,61; 0,35; 0,61} = 0,61 <1;

 = 2,15. Значить, збіжність забезпечена.

 В якості початкового наближення візьмемо вектор вільних членів, тобто = (2,15; -0,83; 1,16; 0,44) Т. Підставами значення вектора в формули (25 *):

Продовжуючи обчислення, результати занесемо в таблицю:


k х1 х2 х3 х4
 2,15  -0,83  1,16  0,44
 2,9719  -1,0775  1,5093  -0,4326
 3,3555  -1,0721  1,5075  -0,7317
 3,5017  -1,0106  1,5015  -0,8111
 3,5511  -0,9277  1,4944  -0,8321
 3,5637  -0,9563  1,4834  -0,8298
 3,5678  -0,9566  1,4890  -0,8332
 3,5760  -0,9575  1,4889  -0,8356
 3,5709  -0,9573  1,4890  -0,8362
 3,5712  -0,9571  1,4889  -0,8364
 3,5713  -0,9570  1,4890  -0,8364

Збіжність в тисячних частках має місце вже на 10-му кроці.

відповідь: х1»3,571; х2 »-0,957; х3 »1,489; х4 »-0,836.

Це рішення може бути отримано і за допомогою формул (27 *).



18. Метод Зейделя-Гаусса:

 Даний метод є модифікацією методу простої ітерації і для системи (25) має наступну технологію (32):

 Суть його полягає в тому, що при обчисленні

чергового наближення

 в системі (32) і в формулі (27 *),

 якщо має місце співвідношення (27), замість

 використовуються вже обчислені раніше, тобто (27 *)

перетвориться до виду, i = 1, ..., n. (33)

Це дозволяє прискорити збіжність ітерацій майже в два рази. Оцінка точності аналогічна методу простої ітерації. Схема алгоритму аналогічна схемі методу простої ітерації, якщо x0j замінити на xj і прибрати рядки x0i = 1, x0i = xi.

зауваження. Якщо для однієї і тієї ж системи методи простої ітерації і Зейделя сходяться, то метод Зейделя краще. Однак на практиці має місце ситуація, коли області збіжності цих методів можуть бути різними, тобто метод простої ітерації сходиться, а метод Зейделя розходиться і навпаки. Для обох методів, якщо близька до одиниці, Швидкість збіжності дуже мала.

Для прискорення збіжності тоді використовується штучний прийом - так званий метод релаксації. Суть його полягає в тому, що отримане за методом ітерації чергове значення перераховується за формулою:

w - як правило, прийнято змінювати в межах 0 h = 0,1 або 0,2). Параметр w підбирають так, щоб збіжність методу досягалася за мінімальне число ітерацій.

релаксація - (Фіз.тех.) Поступове ослаблення будь-якого стану тіла після припинення дії факторів викликали цей стан.

19.Вичісленіе визначників:

 На відміну від технології обчислення визначників в методі Крамера, для матриць загального вигляду, що є елементом СЛАР, для вирішення цього завдання успішно може використовуватися метод Гаусса. Прямий хід методу для системи дозволяє обчислити


так як послідовне виключення елементів величину визначника не змінює. тут аkk - Елементи перетвореної матриці А (Прямий хід Гаусса).

Знак залежить від парності або непарності перестановок рядків вихідної матриці при приведенні її до трикутного вигляду, щоб уникнути розподілі на «0» або необхідності пошуку «max»Провідного елементу в поточному стовпці на кожному етапі виключення невідомих.

Для симетричних матриць:



20.Вичісленіе зворотних матриць:

1. За методом Гаусса. Будь-неособлива матриця, для якої, має зворотну матрицю. Очевидно, що А*А-1 = Е. запишемо це рівність у вигляді системи n рівнянь з n невідомими

(37)

де аik - Елементи матриці А;

zkj - Елементи обр. матриці (А-1);

dij - Елементи одиничної матриці.

При цьому dij =

 Для знаходження елементів одного стовпчика оберненої матриці необхідно вирішити відповідну лінійну систему (37) з матрицею А. Так для отримання j-го стовпчика для А-1 (z1j, z2j, ... znj) Вирішується система:

(38)


Отже для звернення матриці А потрібно n раз вирішити систему (38) при j=. оскільки матриця А системи не змінюється, то виключення невідомих здійснюється тільки один раз, а (n-1) Раз при вирішенні (38) робиться тільки зворотний хід з відповідною зміною правій її частині.

2. Інший підхід до визначення зворотної матриці А-1

де D - визначник матриці, Аij - Алгебраїчні доповнення відповідних елементів матриці А.

3. Звернення матриці А за допомогою трикутних матриць

 Відомо, що будь-яка обернена матриця, якщо вона існує, то за структурою буде така ж, як і вихідна, тому що А-1?А = А?А-1 = Е = (39)

21.Метод ітерацій для уточнення елементів зворотних матриць:

Точність отримання елементів оберненої матриці природно оцінюється співвідношенням

А-1?А = А0 = Е.

Однак в загальному випадку елементи оберненої матриці виходять з деякою погрішністю, яка з'являється в результаті заокруглень в процесі обчислення і великого числа арифметичних операцій. Для зменшення похибок використовується итерационная схема уточнення елементів оберненої матриці.

Нехай для неособенной матриці А отримано наближене значення елементів матриці А-1. Позначимо її через D0 » A-1. Тоді для уточнення елементів оберненої матриці будується наступний ітераційний процес:

Fk-1 = E-ADk-1 , k = 1,2,3 ...; (*)

Dk = Dk-1(E + Fk-1); k = 1,2,3 ... (**)

Доведено, що ітерації сходяться, якщо початкова матриця D0 досить близька до шуканої А-1.

У даній итерационной схемою матриця F на кожному кроці як би оцінює близькість матриці D к А-1.

Схема працює в такий спосіб.

Спочатку по (*) при k = 1 знаходиться F0 = E-AD0, Потім знаходиться твір D0F0.

За ітерації (**) при k = 1 знаходиться D1= D0 + D0F0.

Щоб перевірити, чи досягнута бажана точність, обчислюється AD1, А по (*) при k = 2, обчислюється F1 = E - AD1 і, якщо найбільший елемент матриці F1 -1 » D1.

22.Постановка завдання для апроксимації функціональної залежності:

При вирішенні багатьох практичних завдань часто доводиться обчислювати значення якихось функціональних залежностей y = f(x).

При цьому, як правило, мають переважне місце дві ситуації.

1. Явна залежність між х и y на [a, b] Відсутня, а є тільки таблиця експериментальних даних {xi, yi}, i =  і виникає необхідність визначення y = f(x) На інтервалі [xi, xi/ 2] I [a, b]. До цієї задачі належить також уточнення таблиць експериментальних даних.

2. залежність y = f(x) Відома і неперервна, але настільки складна, що не придатна для практичних розрахунків. Стоїть завдання спрощення обчислення значень y = f(x) І її характеристик (f '(x), max f (x),  і т.д.). Тому, з точки зору економії часу і матеріальних ресурсів, приходять до необхідності побудови якоїсь іншої функціональної залежності y = F(x), Яка була б близька до f(x) За основними її параметрам, але більш проста і зручна в реалізації при подальших розрахунках, тобто ставиться завдання про наближення (апроксимації) в області визначення y = f(x). функцію y = F(x) Називають апроксимуючої.

23.Віди аппроксимирующих функцій:

основний підхід до вирішення даного завдання полягає в тому, що y=F(x) Вибирається залежить від якихось вільних параметрів експерименту, тобто y = F(x) = J (x, c1, c2, ..., cn) = J (x,). Значення вектора вибираються з якихось умов близькості для f(x) і F(x).

B залежності від способу підбору вектора, отримують різні види апроксимації. Якщо наближення будується на якомусь дискретній множині {xi}, То апроксимація називається точкової. До неї відноситься інтерполювання, середньоквадратичне наближення (МНК). Якщо безліч {xi} Безперервно, наприклад, у вигляді відрізка [a, b], Апроксимація називається безперервної або інтегральної (поліноми Чебишева).

В даний час на практиці добре вивчена і широко застосовується лінійна апроксимація, при якій j (x,) Вибирається лінійно-залежний від параметрів у вигляді так званого узагальненого многочлена:

F(x) = J (x,) = c1j1(x) + c2j2(x) + ... + cnjn(x) =  ; (1)

тут jk(x) - Якась вибрана лінійно-незалежна система базисних функцій. Як їх можуть бути, наприклад,

- Алгебраїчна: 1, x, x2, ..., xn, ...;

- Тригонометрическая: 1, sin (x), Cos (x), ... Sin (nx), Cos (nx), ...;

- Експоненціальна: ea0x, ea1x, ..., eanx, ...;

де {ai} - Деяка числова послідовність попарно різних дійсних чисел.

Важливим є, щоб ця система була повною, тобто забезпечує апроксимацію за допомогою (1) c заданою точністю на всіх інтервалах [а,b] визначення y = f(x).

24.Інтерполірованіе функцій:

Інтерполяція за визначенням припускає знаходження проміжних значень величини заданої таблицею або графіком за деякими її значенням. Щодо функціональних залежностей вона є одним з основних видів точкової апроксимації. Суть інтерполяції в даному випадку полягає в наступному:

нехай функція f(х) Визначена на відрізку [а, b], На якому повинна бути забезпечена близькість f(х) І j (х). На даному відрізку вибирається система точок, які називаються вузлами, за правилом:

a ? x0 < x1 < x2 <... < xn ? b.

Їх число дорівнює кількості параметрів з в (1).

Відомі значення функції f(х) В цих вузлах, тобто

yi = f(xi),

 Завдання інтерполяції зводиться до підбору многочлена згідно (1) виду:

(2)

з дійсними коефіцієнтами сk , Знайденими за правилом:

, i =  (3)

Такий многочлен називають інтерполяційним многочленом.

Процедуру (2) з використанням умов (3) називають глобальної інтерполяцією. Якщо ж многочлен (2) будується тільки для окремих ділянок відрізка [а, b] (Області визначення f(х)), Тобто для m інтерполяційних вузлів, де m < n, То інтерполяцію називають локальної.

Матриця системи (3) і її визначник мають такий вигляд:


| G | ? 0; (4)

так як вузли обраної системи точок різні. Отже, система (3) має єдине рішення, тобто коефіцієнти многочлена (2) знаходяться однозначно.

Зауважимо, що умова (3) забезпечує близькість f(х) і F(х), З будь-якої технології її отримання, тобто в вузлах інтерполяції f(х) і F(х) Збігаються з їх значеннями.

Якщо (2) і (3) використовуються для обчислення значень функції для випадку x < x0 и x > xn таке наближення називається екстраполяцією.

25.Лінейная і квадратична інтерполяція:

 Лінійна інтерполяція полягає в тому, що задані точки таблиці (xi, yi), i =  з'єднуються прямими лініями і початкова функція f(х) Наближається на інтервалі [а, b] До ламаної з вершинами у вузлах інтерполяції. У загальному випадку часткові інтервали [xi-1, xi] I [a, b] Різні. Для кожного відрізка ламаної можна написати рівняння прямої, що проходить через точки (xi-1, yi-1) І (xi, yi). Зокрема, для i-го інтервалу у вигляді:


Тоді робочу формулу можна записати:

 (5)

 де


З графічної ілюстрації видно, що для

реалізації (5) спочатку потрібно визначити інтервал,

в який потрапляє значення xT,

а потім скористатися його межами.

теоретична похибка R(x) = f(x) - F(x) ? 0

в точках, відмінних від вузлів.


де М2= Max, х I [xi-1, xi].

 В даному випадку в якості интерполяционного многочлена використовується квадратний тричлен на відрізку [xi-1, xi+1] I [а, b] у вигляді:

(6)

 Для визначення коефіцієнтів ai, bi, ci складається система з трьох рівнянь відповідно до умов (3), а саме:

(7)

Алгоритм обчислення аналогічний попередньому, тільки замість співвідношень (5) використовується співвідношення (6) з урахуванням рішення (7). Очевидно, що для xT I [x0, xn] Використовуються три найближчі точки.

Графічна ілюстрація методу


Теоретична похибка поза вузлів інтерполяції

R(x) = (x - x0) ? (x - x1) ? (x - x2)


26.Віди глобальної інтерполяції:



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

Постановка завдання для апроксимації функціональної залежності. | Види аппроксимирующих функцій. | Многочлен Лагранжа | Поліном Лагранжа на системі рівновіддалених | Для системи рівновіддалених вузлів | зауваження | Графічне відділення коренів | Метод простої ітерації для систем нелінійних рівнянь. Умови збіжності. | Умови збіжності методу простої ітерації для нелінійних систем рівнянь другого порядку | Чисельне диференціювання. Постановка задачі. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати