загрузка...
загрузка...
На головну

Кінематичні рівняння руху матеріальної точки

  1. I. Найпростіші тригонометричні рівняння
  2. VII. Неоднорідні рівняння першого ступеня
  3. Автокорреляция в залишках, її вимір і інтерпретація. Критерій Дарбіна-Уотсона в оцінці якості трендового рівняння регресії.
  4. аксонометрія точки
  5. Аналіз руху грошових коштів
  6. Аналіз руху грошових коштів непрямим методом
  7. Аналіз матеріальної бази трудового навчання

Описуючи будь-який рух, ми класифікуємо його з вигляду траєкторії. Остання задається нормальним прискоренням. У разі рівного розподілу його нулю траєкторія буде прямолінійною, в інших випадках нормальне прискорення задає радіус її кривизни. При його сталості тіло буде рухатися по колу.

Тангенціальне прискорення при русі по будь-якій траєкторії говорить про характер зміни величини швидкості. Швидкість може залишатися незмінною в усі час руху, збільшуватися або зменшуватися. Більш того, зміна швидкості може бути рівномірним - тобто за рівні проміжки часу зміни швидкості будуть однаковими. З цих причин прийнято розрізняти такі типи руху: рівномірний (при постійній швидкості), равнопеременное (при постійному тангенціальному прискоренні) і не равнопеременное (коли тангенціальне прискорення змінюється). Для двох перших видів руху неважко знайти рівняння, що дозволяють розрахувати характеристики руху в будь-який момент часу.

Оскільки характеристик всього три: шлях, швидкість і прискорення, то рівнянь буде не багато. Питання про знаходження виду рівнянь руху можна вирішити як графічним, більш наочним способом, так і аналітичним. Розглянемо їх послідовно спочатку на прикладі найпростішого виду руху - рівномірного.

 1. У разі рівномірного руху графіком залежності величини швидкості від часу буде пряма лінія, паралельна осі часу (рис. 2.8). З цього графіка неважко знайти і пройдений за певний час t шлях. Дійсно, з визначення величини швидкості випливає, що

 ds = udt.  (2.17)

Значить, на графіку величина ds знайдеться як твір ординати u на елементарний проміжок часу dt.

Весь пройдений за кінцевий час t шлях буде дорівнює площі прямокутника зі сторонами u и t, тобто:

s = ut.  (2.18)

В даному випадку одна з трьох кінематичних характеристик дорівнює нулю (тангенціальне прискорення), друга постійна (швидкість), значить отримане вище рівняння буде єдиним. Це рівняння можна отримати аналітично, інтегруючи рівняння (2.17) у відповідних межах:

,  (2.19)

що для випадку постійної швидкості призведе до отриманого вище результату. Це цілком природно, тому що площа, обмежена графіком будь-якої функції і віссю, на якій відкладена незалежна змінна (в нашому випадку t) Має геометричний образ інтеграла цієї функції.

 2. Для випадку равнопеременное руху слід розглянути два графіка, відповідних прискореному (at > 0) і сповільненому (at < 0) рухам. Перший з них представлений на рис. 2.9, де з плином часу швидкість зростає.

оскільки прискорення atТобто перша похідна від швидкості за часом, сталість тангенціального прискорення означає, що за рівні проміжки часу зміни швидкості однакові.

Постійним залишається і кутовий коефіцієнт

,  (2.20)

значить графік буде прямою лінією.

 Уповільнений рух обов'язково має початкову швидкість, яка з плином часу зменшується (рис. 2.10). Кут нахилу прямої до осі t тепер тупий, що відповідає негативному кутовому коефіцієнту.

Очевидно, що залежність швидкості від часу може бути отримана інтегруванням рівняння (2.10), що визначає тангенціальне прискорення. В даному випадку равнопеременное руху воно постійно, тому в результаті інтегрування отримаємо:

du = at dt; ?  ; ? u = u0 + at t .  (2.21)

Тепер перейдемо до висновку рівняння для знаходження другої, залежить від часу, характеристики руху - пройденого шляху s. для цього знову скористаємося рівняннями (2.17) і (2.19). Природно, що тепер при інтегруванні слід врахувати отриману вище залежність швидкості равнопеременное руху від часу:

 ds = udt; ?  ; ? s = u0t + .  (2.22)

Якщо взяти до уваги, що тангенціальне прискорення при уповільненому русі негативно, і домовитися далі під at розуміти його модуль, то в рівняннях швидкості і шляху в цьому випадку з'явиться знак мінус.

Наведемо все в систему і покажемо, що арсенал рівнянь і понять, якими володіє кінематика, не так великий, як це може здатися на перший погляд. Дійсно, якщо не брати до уваги питання про траєкторії, і, отже, про направлення швидкості, в кінематиці залишається тільки три характеристики руху: пройдений шлях s, Величина швидкості u і тангенціальне прискорення at .

Якщо покласти прискорення рівним нулю, тобто швидкість постійною, то з плином часу буде змінюватися тільки шлях:

s = u t .  (2.23)

При равнопеременное русі з'являється друге рівняння, що дає можливість обчислити швидкість в будь-який момент часу. Тоді рівняння залежностей u(t) і s(t) Можна записати у вигляді:

 u = u0 ± at ; .  (2.24)

тут під a слід розуміти модуль повного прискорення прямолінійно рухається точки, або модуль тангенціального прискорення, якщо точка рухається по криволінійній траєкторії.

Часто доводиться вирішувати і зворотну задачу: знаходження швидкості і прискорення по заданому закону руху s(t). Таке завдання вирішується дифференцированием шляху по часу. Швидкість знаходиться як перша похідна від шляху за часом, а прискорення - як друга похідна:

;  .  (2.25)

Тут крапки над буквами означають операцію диференціювання за часом (на відміну від похідної по координаті, яка, як відомо, позначається штрихом). отже,  - Друга похідна від шляху за часом.

Якщо точка рухається по кривій відомого радіуса R, То повне прискорення точки знаходиться по (2.16):  , Де нормальне прискорення визначається за (2.14): an= u2/R.

І, нарешті, останнє. Рівняння для равнопеременное руху мають два окремих випадки: коли початкова або кінцева швидкості дорівнюють нулю. Рівняння швидкості в цих випадках будуть одночленной:

 u = at t і u0 = - at t .  (2.26)

Рівняння шляху однаково для обох окремих випадків, якщо тангенціальне прискорення взяти по модулю:

.  (2.27)

Оскільки одночленним рівняннями легше користуватися, не слід ними нехтувати, вирішуючи конкретні завдання.

 



Попередня   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   Наступна

кінематика | Кінематичні характеристики руху матеріальної точки | Кінематичні рівняння обертального руху | Кінематика гармонійних коливань | власна частота | енергія коливань | затухаючі коливання | вимушені коливання | додавання коливань | Принцип відносності Галілея |

загрузка...
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати