На головну

теорема Чебишева

  1. Аксіома Больцано-Вейєрштрасса і теорема про стягують системі відрізків
  2. В) Теорема про зміну моментів кількості руху для матеріальної системи (теорема моментів)
  3. Друга теорема подвійності
  4. Друга теорема Шеннона.
  5. Друге нерівність Чебишева.
  6. Діфференціалданатин функціялар турали теоремалар
  7. Завдання Д-4. Теорема про рух центру мас

нехай  - Послідовність незалежних випадкових величин, дисперсії яких обмежені одним і тим же числом c:  c, i = 1,2 .., n Тоді при n > ? і для будь-якого

Це твердження можна записати інакше, в еквівалентній формі.

 , (33)

яку використовують при вирішенні прикладних задач.

Зокрема, це означає твердження:

якщо  - Послідовність попарно незалежних випадкових величин з однаковим математичним очікуванням a і дисперсією ?2, то при n > ? і для будь-якого

,

або в еквівалентній формі

 (34)

теорема Бернуллі.

Застосуємо теорему Хинчина до випадкової величиною  = M - число появ події А в серії n незалежних випробувань. Уявімо цю випадкову величину у вигляді суми попарно незалежних, однаково розподілених випадкових величин ,

=

 = M =  (35)

Ймовірності р (А) = р,р(  ) =1 - р = q,М(  ) = Р,D(  ) = Pq. тоді при

n > ? і для будь-якого

,

або в еквівалентній формі

 . (36)

Сенс цієї теореми полягає в тому, що відносна частота появи події за ймовірністю сходиться до ймовірності цієї події.

Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли випробування відбуваються при неоднакових умовах, що викликає зміна ймовірності появ події А в кожному випробуванні, є теорема Пуассона.

теорема Пуассона.

Розглянемо послідовність n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А настає з імовірністю р , I = 1,2, ... n.Міркуючи також,

як і в попередньому випадку, отримаємо М(  ) = Р ,D(  ) = Р q .За теоремою Чебишева отримаємо

 , де =  , Тобто відносна частота появи події А сходиться по ймовірності до середньої арифметичної ймовірностей цієї події в кожному випробуванні.

Запишемо твердження теореми Пуассона в еквівалентній формі

,  (37)

де  = M =  , а (i = 1,2, .. n)визначені виразом (35).

Розглянемо приклад на застосування закону великих чисел.

Приклад 17. з 100 виробів, що відправляються в складальний цех, було піддано обстеженню 200, відібраних випадковим чином. Серед них виявилося 25 бракованих. Прийнявши частку бракованих виробів серед відібраних, за ймовірність виготовлення бракованого вироби, оцінити ймовірність того, що

у всій партії бракованих виробів виявиться в межах від 15% до 20%.

Для вирішення задачі використовуємо нерівність (36). Імовірність виготовлення бракованого вироби за умовою  .Требуется Знайти ймовірність

Р (0,10  0,15). Віднімемо в кожній частині нерівності р, отримаємо

Р (0,10 - 0,125  0,15 0,125) = Р (- 0,025  0,025) або

.

Перше нерівність Чебишева.

Якщо випадкова величина  має кінцевий перший абсолютний момент

 , то

 . (38)

Зокрема, якщо  і існує  , то

 . (39)



Попередня   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   Наступна

Визначення випадкової величини. | Функція розподілу. | Математичне очікування. | Приклади дискретних розподілів. | Щільність розподілу. | Приклади розподілів неперервної випадкової величини. | центральні моменти | Багатовимірні випадкові величини | Лекція 11. | Локальна гранична теорема Муавра-Лапласа. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати